本科生如何才能學好量子力學？

01-06

已經研究生階段了，對於本科的量子力學仍然無法理解。它真的需要比高等數學更高級的數學工具才能駕馭嗎？或者是我要求得太多？真是越學越費解。。。

題主您好。謝謝邀請。我曾經在「作為非物理專業的學生，量子物理大學課程應該如何學？若要學習量子物理，還應該有哪些知識基礎？」這個問題里寫過給非物理專業學習者的一些建議，我想，如果是對物理本質的「理解」上存在問題，我的那個回答或許會有些幫助。

當然，您的情況可能跟非物理專業的學生情況很不一樣。既然你是物理相關的專業，並且已經學過本科量子力學，那我也不必說得太客氣。學會量子力學，其實不是需要更高級的數學工具的問題，而是你要會一些更簡單、更基本的數學工具——其中大部分是代數的工具、而非分析的工具。

據我觀察，凡是自認為沒學好量子力學的朋友，都是只會解 Schr?dinger 方程、或者是一本常規的量子力學書看下來，便停在解 Schr?dinger 方程有關的章節翻不過去了的。這一點非常可怕。

在我看來，學會量子力學的關鍵不在於你會那些「高等數學」的技巧，不在於你能解 Schr?dinger 方程不查表——而要學熟練地用「代數」來描述和推導。例如以下的一些問題，我認為是很基本的，它們都可以用代數的方法有很乾凈的推導：

諧振子問題的升降算符解法。
自旋（甚至角動量）升降算符的有關推導。
從 Fermi 子和 Bose 子的對易關係推導出 Fermi 統計和 Bose 統計。

我前面講的這些例子，都是從具體物理體系的一些對易關係出發，讓你親自感受到什麼是「量子化」。真正的研究也更像這樣。有了對易關係、找出一些守恆量、寫出系統的 Hamiltonian 並作進一步的處理、最終處理這些體系中的實際問題。而不是去處理無限深、有限深的勢阱。不需要那麼多的「高等數學」。這裡的「高等數學」是指與解 Schr?dinger 方程有關的那些小技巧。如果你想學懂量子力學，請一開始千萬不要在那些東西上浪費時間。一旦發現有自己急需但確實沒有掌握的數學或者物理背景，再臨時去學一點也好。

如果還有其它問題也可以在這裡跟比我更厲害的大神們交流。

怎樣學好量子力學，對不同的人有不同的答案。我不知道你屬於哪一種，是單純對物理和量子物理感興趣；還是其他專業（比如化學或者工程）有使用量子力學的需要；還是作為物理專業，但是非理論物理方向學習量子力學作為自己物理基礎和思維體系的一部分，還是你有志於從事粒子物理，宇宙學，核物理等理論相關方向，學習量子力學是為進一步學習量子場論和更前沿的理論做準備？

鑒於你說你已經在研究生階段了但無法理解本科的量子力學，我暫時假設你屬於情況三，即自己本身是物理專業，但是所在方向和平時科研不常用到量子力學。你希望打好量子力學的基礎，這樣當自己需要在工作中用到量子力學或量子場論時有正確的基本概念。

下面討論一下我個人對於學好量子力學的經驗，拋磚引玉。謬誤之處，尚析指正。

學好量子力學需要做到兩件事：

1. 掌握描述量子力學時用到的數學工具。

2. 理解用量子力學描述物理系統的思想方法。

學好量子力學需要掌握的數學工具如下：

1. 一些基本的數學分析知識，包括基礎的實變函數，複變函數，常微分和偏微分方程等。這些我認為任何理科的高等數學或者數學分析課程都會涵蓋。

2. 對一些基本的特殊函數的了解，如球諧函數，貝塞爾函數等。這些在物理系本科所開的數學物理方法課程中會有介紹，當然自行查閱亦無不可。

3. 對於線性代數基礎概念比較好的理解，包括線性空間，子空間，正交，基，矩陣和線性變換，本徵值和本徵向量。尤其要建立起矩陣就是變換，和本徵向量轉化為基的概念，因為這是描述量子力學的基礎。這些概念在本科的線性代數課程中也應該清晰明了的建立起來。

4. 最好有一點群論的基礎，對理解對稱性會有幫助。

以上四條，以我之見，1,2,4都可以要求不那麼嚴格。在學習量子力學的過程中遇到問題再回頭查閱解決也完全可行。但是對於線性代數，因為要求的是對其基礎概念的本質把握，不大可能遇到一個疑難現報佛腳。其實這些都是本科線性代數課程的基本知識；但是據我所知，由於缺乏好的中文線性代數教材，有很多學生在學完線性代數後對其本質仍然一知半解。如果你在這方面有所欠缺，而又想學好量子力學的話，就需要補一補課。我當年用的是藍以中和趙春來的線性代數引論，個人覺得不錯，引入行列式的脈絡很清晰。

以上是關於學習量子力學需要掌握的數學工具，因為看起來是你的難點，所以我多花了一點筆墨。在掌握了這些基本的數學工具後，學習量子力學就是一個理解其物理思想，即用算符和態描述物理系統的方法的過程。對此我有幾點建議：

1. 找一本好的教材。如果你是物理科班出身，我不推薦曾謹言的量子力學教程（更加不推薦他的習題集），不推薦程檀生的現代量子力學教程；推薦Sakurai的Modern Quantum Mechanics，尤其是前三章，直接從量子力學的思考方式出發，導出一系列物理量的思維軌跡非常精彩。

2. 關注算符和物理量的推導，尤其是角動量。

3. 一定要做習題！

4.在學習量子力學的過程中，你會遇到無窮無盡的形而上的困惑，或者自己無法理解的概念。我的建議是少思考些哲學，多關注下量子力學是怎樣用來描述某個特定的物理體系，從而解決這個體系下的實際問題。歸根到底，量子力學不是一種哲學，而是我們描述世界的一種方法.....

做到了這些，我覺得你的量子力學在本科生當中就算學得好的了。

讀Sakurai的書，做錢伯初和曾謹言的習題集

如果你說的「高等數學」指的是微積分的話，那你還完全沒有入門。

量子力學的本質是線性代數！

線性代數！（因為很重要所以重複一遍）

量子力學的理論複雜度來自於對稱性，所以要學一點群論！

群論！

群論！（因為特別重要所以重複兩遍）

微積分只是在你處理連續變數（粒子位置）時使用的，波函數本質上是一種「分布」而不是嚴格意義的「函數」（所以會有Dirac delta這種奇葩），你要更多地把波函數看成線性空間的矢量比較容易理解量子力學。或者你就先別碰波函數，用Dirac符號把量子力學的各種概念先搞清楚，再開始算波函數。記住：量子力學不是一門解薛定諤方程的學問！

量子力學不是一門解薛定諤方程的學問！

量子力學不是一門解薛定諤方程的學問！（因為極其重要所以重複三遍）

我對題主的問題深有同感，學物理經常會感到困惑，無法理解，通過這幾年走的各種彎路，與導師同學的交流等等摸索，總算對怎樣學好物理有些體會，先說一些原則性的方法，再針對量子力學給出具體建議。

? 通過理解學習（Learning
by understanding）

費曼說過「learning
by understanding」,
在他著名的物理學講義以及自傳中，都強調理解的重要性，不要試圖去背那些物理學公式，你也許可以通過背公式或習題解法順利通過考試，而且得到很高的分數，但是，當你所學的知識越來越多，處理問題越來越複雜，或者在做研究的時候，你是不可能去記住所有細節的。所以，盡量去理解公式所表達的物理含義，試著用文字去表達公式，例如，熱力學第一定律說系統吸收的熱量一部分用來對外做功，一部分用來提高內能，比單獨記公式「dQ=dU+pdV」要有意義得多，你記住的是各種概念之間的聯繫，而不是一些符號或者一些正負號約定。

? 對自己說，如果感到困惑和不解，這是非常正常的

看書或者學習中經常會遇到不懂和困惑的地方，這是非常正常的，而且還是一個好的信號，因為學習新知識的時候到了。其實，很多科學上的進步都是通過解決一個一個困惑獲得的，量子力學就不用說了，牛頓也是對行星的運動規律著迷，進而發現萬有引力。對待困惑和不解有個比較好的心態，就不會覺得挫敗感很強，就不會想七想八的懷疑自己，是不是自己不聰明呀，是不是自己不適合學物理呀什麼的，你就會去比較積極的解決問題，會去想自己為什麼會有困惑或不解，具體哪個地方過不來。

? 以自己為主體

不要把教科書看得太過神聖，感覺非要供起來讀才行，或者一定要理解裡面的每一句話。同一個問題，有不同解釋它的方法，如果你覺得一本書在論述這一點時，你懂個大概，但是不是很清楚，可以參考不同的書對這一點的論述，或者不是很重要的知識點，你可以對自己說，這裡它他大致想表達這樣一個意思，想要證明這樣一個論點，雖然不清楚細節是什麼，但姑且認同它這樣，看看它後面還有什麼要說的，這樣不要讓一些細節問題打斷你對整個主題的把握。張首晟介紹自己讀書方法的時候說過，他很少把一本書從頭到尾看完過，但他看過很多書，看的都是自己覺得很有意思的部分，而這些部分也是書的精華所在。

? 積極思考

我曾經問導師，學物理最重要的是什麼？不是熟練的數學技巧，不是要做很多題目，也不是要懂很多物理知識，而是「thinking」。而且，經常提醒我，不要覺得自己是「handicap」（腦殘？），因為我分析物理問題時，總是覺得自己準備不足，這裡要用到群論的知識，那裡要用到場論的知識，總覺得自己要去學了這些知識之後才能分析這些問題。其實，很多問題思路和關鍵並不在這些知識里，而是你怎麼分析和處理問題。要勇於去自己思考，一個好的想法，來自於一千個壞的想法。溫伯格給研究生的建議中也提到，不要覺得自己要學完所有知識才能做研究，就用你天真幼稚的大腦去想問題，不要怕犯錯。當年電子自旋的發現者們，就覺得電子的自旋和旋轉小球的自旋是一回事，直到泡利計算出自旋速度超過光速，我們才發現電子的自旋不能這麼簡單的理解。更別提科學史上一些更加千奇百怪的想法了。積極思考能讓你對所學的知識有更深的了解，通過問自己能不能這樣，為什麼要按這樣方法處理，你不僅知道如何分析和處理相關的物理問題，而且知道為什麼要這樣處理，為什麼這樣處理方法有效，這樣能容易將所學的知識靈活運用。

? 講給別人聽

檢驗你是否掌握好了一門知識，就想像著自己學完這麼知識後，馬上要給本科生上課，你要如果講。學完一個階段，就試著跟別人或者自己講，盡量不去堆積公式，而是給出一個大的框架，整個概念和理論是如何展開的，有哪些重要的實驗。在解決很困難的問題時，有時候僅僅是用自己的話把問題複述一遍，往往就可以找到一些突破口。你看費曼物理學講義裡面，他說著說著，說著說著，就把問題給解決了。

原理講了一大堆，主要的觀點是這樣的，針對物理專業的，要想學好物理必須靠理解來學習它，別無他法，學習新的物理概念和方法的時候，不解和困惑是難免的，非常正常，不要氣餒，遇到這些問題以積極的態度去對待，搞清楚自己到底不清楚在哪裡，以自己為主體積極思考，最後，通過把自己的理解講給別人聽來檢驗自己的理解程度。

一些建議：

我不知道你對量子力學不理解的具體是那些方面，這個最好你能自己具體列出幾條，因為你不是第一次學量子力學，有明確的目的，以自己為主體，效率可能會更好，不會被教科書一些細節的推導所分散精力。

至於教材，有國外的盡量選國外的，像格里菲斯，朗道的都是比較好的教材，你可以去
MIT 公開課上看有什麼好的教材，把各種教材花一天時間很快瀏覽一遍，重點看前言和目錄，知道它們大致講的什麼，是不是符合你的預期，一般的教材都有這麼一些內容：

1. 基本概念，不確定原理，疊加原理。

2. 一維薛定諤方程，方勢阱，諧振子。

3. 角動量，角動量疊加，自旋。

4. 氫原子，各種能級什麼，各種態什麼的。

5. 微擾理論，簡併，非簡併

6. 全同粒子

試著自己先對這些論題做一些簡單的描述，慢慢的理清楚自己想弄明白的到底是什麼，再去看書也許會更好。我給出一些概念性的問題，我覺得學完量子力學後應該了解的。

1. 經典力學裡面也有不確定性，像經典混沌，這些不確定性跟量子力學的不確定性原理有什麼區別？

2. 解釋電子雙縫干涉實驗結果

3. 一維薛定諤方程的解有哪些一般的性質？

4. 量子力學為什麼可以解釋氫原子的穩定性？

5. 兩個角動量如何疊加？

6. 經典力學和量子力學解決問題的一般思路和步驟是什麼？它們有什麼不同？

7. 如何計算二能級系統的微擾躍遷幾率？有什麼物理現象發生？

學好本科的量子力學對天賦的要求並不高，主要是物理教學方法問題，這個問題不光中國有，美國也有，不過這又是另一個話題了，但不管怎樣，祝你好運！

推薦一本書，Sakurai 的Modern Quantum Mechanic。這本書是大三時讀的，非常好的一本量子力學教材。

Sakurai 的 Modern Quantum Mechanics 對量子力學物理的闡釋是清晰透徹的，沒有物理的含混和數學的冗雜。很適合做第二本量子力學教材。（第一本可以讀Griffith。）

這本書沒有按照量子力學建立的歷史線來展開，而是直接從已經成熟的現代視角構建整個量子體系，這是非常精明的做法，免去了很多非中心的問題糾纏。一本好的量子力學教材應當清晰地闡明量子力學整體的物理概念和圖像，而不應沉迷在個別例子的處理技巧上。

Sakurai 論述直捷了當，一語破的，這部分歸功於貫穿全書的Dirac符號。許多證明用波動力學符號去做往往冗雜繁複不得要領，但本書中用Dirac符號往往輕鬆解決。

Sakurai 最令人稱道的是他對對稱性的處理，直接觸到了量子力學的靈魂。角動量SO(3)和後一章對稱性都十分精彩。實質上是群論的應用，但Sakurai 給出的物理圖像十分清晰。連續群的生成元方法從前兩章貫穿至第四章，清唽明白，沒有用到複雜數學。

可惜Sakurai 這本書尚未完成即猝然離世，後面章節由其友人按初稿大綱補寫完成，稍顯散亂。但是這本書仍是不可多得的一本好書。

謹以此回答緬懷英年早逝的Sakurai 教授。

你可能用的教材是曾謹嚴的吧，那個作教材不是很好。建議先看看喀興林寫的高等量子力學，邏輯論證比較強，想能解決你很多疑問

如果只是入門課的話，基本上是線性代數的內容

另外不要奢望能夠通過曾謹嚴的兩大本來複習和自學，你就是刷老論文都比看兩大本好

我覺得@傅渥成回答的比較好了，我想從另外一個角度談談怎麼才能更好地理解量子物理裡面的「物理」。(回答的時候我隱隱約約覺得這個問題可能沒用：專業的學生學了四年八年十年物理，在量子力學裡泡久了自然也就理解了；非專業的學生一味地想去理解「物理」真的可能就變民科了。。。)

我的一個文學系老師說，「you are as smart as your question」，我想在學量子物理上這點同樣適用。要想相對快速（不是一兩天，而是在以學期為單位的學習中）地理解量子力學，不妨在上課、讀書、做題時不斷問問自己這麼幾個問題並嘗試解答。這些問題中有些沒法一下解決，但是要意識到自己對這些問題的答案並不明確，而非斷然下定論。

1.這個概念是什麼意思？(自旋，角動量，概率，測量，對易，簡併能級, etc.)

2.這些概念在描述哪些具體的物理現象？物理學家在怎麼看到的這些物理現象？

這是一個很有趣的問題。在經典物理中，人是能直觀感受到物理量的（比如速度，角速度，旋轉，etc.）。但是在量子物理的尺度中，物理學家只能通過各種各樣的「測量」方法來測量到一些數據，然後再藉助數學與可感知的概念來建構一個物理學解釋的體系。熟悉康德哲學中「人為自然立法」這一概念的同學再看量子物理時會體會到其研究方法的妙處。

3.這些量子物理的概念對應著哪些宏觀世界中的概念？有和異同？again,物理學家通過什麼方法感知/測量這些量子物理的概念的？

舉個栗子，電子的自旋讓人很自然聯想到旋轉帶電小球，在物理教學研究electron spin resonance的時候也會用旋轉帶電小球來研究。但是二者有什麼異同？為啥Sx,Sy,Sz相互不commute?對與boson而言自旋怎麼和宏觀世界對應？建議感興趣的人可以看看bloch sphere的相關內容，會有更深的了解。

4.量子物理中最違背常規認知的是什麼？都具體有哪些表現？這些東西背後的核心是什麼？是什麼造成了量子物理和經典物理的不同？

5.回到和第二個問題相關的點，數學、世界本身、和物理解釋在某個具體的量子物理問題上是什麼關係？

提供個「問問題」的思路，如果各位有什麼更好的問題歡迎評論給我。

另外，學習更多以量子物理為基礎的物理或者應用層面的知識（比如粒子物理，量子計算，核磁共振的原理等等）會對更好地理解量子物理大有裨益。我個人在為時不長的專業學習中碰到最有趣、最inspiring的就是之前提過的bloch sphere，如果有對其感興趣並沒完全理解其中樂趣的同學我可以在之後有時間時更詳細地補充這部分的答案。

再有，如果你有一個個有一定的科學素養但是對量子物理不太了解並感興趣的朋友，可以嘗試向他用不那麼數學的方法解釋量子物理。我學量子物理的時候有個熱愛知識的社會學系室友，每次我興奮地向他解釋量子物理的時候都已我意識到自己沒懂量子物理而告終；但這也讓我能問出更好的問題，並在之後學習過程中完善了對量子物理的理解。

建議先看Griffiths的《Introduction》，再看Dirac或Sakurai的書來進階，順便回顧一下Feynman講義第三卷，或者讀一下相關領域的經典論文，這一點可以參考：有哪些可以在本科學量子力學時期就可以讀的難度低但很有意思的論文？進一步的話，可以深入一些專門的主題，比如相位、路徑積分、二次量子化等等。

當然了，學好數學也是很重要的，主要是線性代數，還有群論。前者是量子力學基本原理的數學基礎，後者則是描述量子力學中各種對稱性的有力工具。不通群論者，莫謂學物理。

費曼說過，沒有人真的懂量子力學，所以還是少談些經典對應，直入量子世界，多研究些實際問題，而非停留於似是而非的概念。

總之，還是要多思考，不要想當然，數學推導都熟練了，物理本質自然會來。

本科推薦這兩本：

線性代數應該這樣學 (豆瓣)

量子力學概論 (豆瓣)

這兩本要看不懂就別學了吧，畢竟我都看懂了...

研究生進階（沒看過，老師推薦的。囧rz）：

現代量子力學 (豆瓣)

量子力學 (豆瓣)

你的問題歸結於一點：沒有物理圖像。

拿到一個問題，先思考圖像，從圖像開始想方法，然後用數學工具去操作，最後對著答案驗證圖像，重塑圖像或者完善圖像。

所有的定義，定理，方程，結果都是圖像，先有的圖像再有的它們。本科量子力學無非是薛定諤方程和矩陣力學，都能解決問題，那引入矩陣力學有什麼好處？整本書都在講好處，自己去領悟。

量子力學不是應用數學。

物理就相當於寫詩，對於一副美景，詩人用詩句來描繪，簡潔，明了，美。

而物理，對於一個體系，我們用數學來描繪，簡潔，明了，美。

曹天元的量子物理史話其實非常不錯，主要是作者對量子力學還是有非常清晰的認識的，作為剛剛接觸量子力學的讀者，此書理解起來簡單，而且能夠收穫到一些打破常規的量子思維。

簡單的入門量子力學的話，我倒是比較推薦周世勛的小黃皮，理由就是"簡單"二字，快的話幾天看完。

櫻井的書確實不錯，尤其是對稱性那幾章節，講的風生水起，思維新穎。反正現在那本書上的其他知識我都想不起來了，蛤蛤。

——隆重推薦——

山卡大人的量子力學！

此書甚好，好在比較全，而且系統化，全面話都做的不錯。讀完相信一個不錯的量子力學的基礎是完全可以構建起來的。

說來也怪，為啥國人那麼喜歡櫻井的書呢，說是高等量子力學，其實沒高等到哪裡啊。大牛們不都打好基礎然後直接去看QFT了嘛╭(╯ε╰)╮

個人認為學好量子力學是需要天賦的。

我曾經下定決心學好這門課，全神貫注地聽了一段時間的課，最後還是放棄了。

因為我發現窮盡自己100%的注意力還是根本聽不懂。

切記不要看曾謹嚴的書就好了

趣味物理學書

趣味物理學_百度百科

為什麼我們學院無數屆學長學姐還有自己的親身經歷都告訴我錢伯初先生的量子力學非常好而這裡卻沒有一個人提到過呢…

簡而言之就是：不要背公式，不要一味鑽研解方程，要理解概念！

量子力學大體來說，是用來確定體系所處狀態的。而薛定諤方程只是其中的一種手段。轉化為矩陣也是一種手段。為了確定這個狀態，你需要通過各種方法去解波函數。所以這就需要你有一定的數學基礎以及數學物理基礎。所以建議去好好看看一下學科的相關內容(o′?`o)

1.線性代數。有利於將各力學量以及波函數轉化為矩陣進行求解。。。反正就是過程變簡單了 (?`н′?) 尤其是自旋波函數這一塊

2.高等數學。數學物理不分家這個大家都知道我就不說了哈～

3.數學物理方法。這個學科我一直認為比高等數學有用得多。。。。至少對於物理專業來說(╮(￣⊿￣)╭把物理和數學結合了，感覺思維方式都有轉變

4.原子物理。自旋波函數這塊就是在解釋原子物理中的很多知識，先學習原子物理有助於相互理解～

總之量子力學的道路任重道遠啊ㄟ(▔ ,▔)ㄏ

反正我是現在都沒學懂[白眼]

量子力學很難，需要持之以恆的學習。