關於實數理論的幾個想法？
我現在在上大一。學習了高等數學（同濟大學版），我在學習過程中十分困惑極限理論這一塊內容。
具體的迷惑點是：1.極限是一個數嗎？求一個函數的極限是求其能無限接近的那個值，這個值稱為極限值，這個極限值與極限是同一個概念嗎？2.我查到資料顯示微積分是建立在極限理論上的，而極限理論是建立在實數理論上的，所以當我對極限理論迷茫時，我想通過學習實數理論來解決我的迷茫，以便更深入理解極限的的概念，這樣的做法行的通嗎？3.我也查到實數理論有七個等價定理，我看啦幾遍還是不明白，還有其他資料能輔導學習嗎？4.我在看華東師範大學編寫的《數學分析》，記得實數的稠密性的形象解釋是數軸上連續的點，這個很好理解，問題是怎麼表示這些連續的數（這些數是無限的，不可計量的，我的理解），當然能否從從數系的發展來理解實數理論？
你從自然數開始一步一步構造出實數的時候就會明白你所有的疑問了。
第一步：找到皮亞諾公理做為這一切的起點。參考書：陳天權數學分析講義第一章，陶哲軒實分析第一章。
第二步：從自然數構造整數。參考書：見上。第三步：從整數構造有理數。參考書：見上。第四步：從有理數構造實數。有兩種基本方法：1.戴德金分割法：梅加強 數學分析講義,菲戈金戈爾茨 微積分學教程，rudin 數學分析原理，陳天權 數學分析講義 華羅庚 高等數學引論。2.柯西序列逼近：陶哲軒實分析，鄒應 數學分析。註：1.實際上我們可以從集合論公理推出皮亞諾公理中的命題。也就是說我們可以只用空集合來構造出上述一切東西。
2.戴德金分割不容易推廣，柯西序列逼近法實際上是對空間做完備化的一般方法，實數對有理數的完備化只是一個特例，應該重點學習這種方法。3.七條等價關係的命題中，敘述比較好的是徐森林的數學分析，但是七條中最重要的是是實數的完備性，可以敘述為任何有界的實數集合均有最小上界。當你構造完畢之後你的問題將全部得到解答。個人認為實數理論最好的處理方法是，用簡單的公理化承認之。
可以參考Apostol的數學分析和Dieudonne的現代分析原理。
為什麼呢？因為大多數人並不是不承認實數理論的可靠性，他們在學習的過程中，一直都弄不清楚什麼是已知的，什麼是未知的，搞不明白到底哪些是重點，不理解這樣做的動機……
也許有的人不理解為什麼0.999……=1，他們不能接受這個結果。
為此你建議他們去學習實數理論……然後他們看到實數被定義為有理數集的分割或者是有理數的柯西等價列，這樣比0.999……=1更好接受嗎？他們根本就不知道為什麼這麼定義。
儘管課本上是先下定義再證明，但事實的過程是，先有結論，然後為了得到這些結論選出公理和定義。
如果定義和公理不能保證預期的結果，那麼，就說明這不是個好的定義或好的公理體系，丟掉重來。如果你能理解這一點，就應該領悟到，與其說實數是有理數集的分割，或者是有理數的柯西等價列。
不如乾脆地講，實數集構成完備序域。序域可以理解為有加減乘除四則運算，滿足一定規律，有大小關係，與四則運算相協調。
有理數集就構成序域，但不完備，實數集是有理數集的完備化。戴德金分割或者柯西等價列的理論就是假定你知道有理數構成序域，然後在有理數的基礎上實現完備化。
但整個過程冗長而僵化，大多數學生之前也根本沒學過有理數理論的嚴格論證，看起來糊裡糊塗。有興趣可以參考陶哲軒的分析與陳天權的數學分析講義，從自然數開始補習，跳過也不影響後續內容的學習。完備性是什麼？「有上界的實數集必然有上確界」是完備性的一種陳述，在保證序域的情況下，還有一些等價陳述。不要去背七個還是八個，先結合圖像理解，有個印象就行，用到再背，等價性證明也不必太在意。大致理解了極限理論甚至學到連續乃至學了積分之後，想補這幾個等價陳述也來得及。
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1.極限不一定要定義在數集上，只是定義在數集上最初等、最常用。數列或函數的極限就是一個數，這時可以說極限值，而函數列的極限是函數，初學者不會接觸到。2.敘述極限的語言應當掌握，最起碼要能看懂。
3.如上所述，完備性的等價陳述先結合圖形理解，用到再背。
像(有界)閉區間的開覆蓋有有限覆蓋，這個是緊性的刻畫，你剛學極限的時候可以不理它，學連續以後可能再理解。4.表示這些連續的數？寫成區間即可。如果想具體給出某個數，用小數之類表示。但學習極限理論的過程中，用小數計算的例子不多，大多數是設字母a表示一個實數之類之類。謝謝洪老師的回答。也認真看了老師的ps，非常感謝！
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