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幾何學數學數學公式

為什麼球體積公式對半徑求導是球面積公式，而圓面積公式對半徑求導又是圓周長公式？

01-06

這個問題困擾我好多年了= =問高數老師他只笑稱是巧合

想一想球體積可以怎麼算。因為對稱性，你可以把半徑分成無窮多小段，然後把這些球殼的體積加起來。球殼的體積可以用表面積乘以「高」來近似，全部加起來於是有：

$int_0^r4pi r^2dr=frac{4}{3}pi r^3$

圓周長類似。

這要真正解釋起來需要用到體積元素，即volume element,更廣泛地說這是一個同調群問題，但是在初等層面上來講，好吧這就是一個定義的問題，因為你是採用積分定義球殼面積的，因此通過計算顯然有你所說的結果。我不知道 @趙永峰怎麼定義「球殼的體積」，但是他的論證就基本上是我想告訴你的初等部分。

至於高等部分，我們需要了解的相關內容是同調中外代數相關的內容（假如你願意用流形去處理這個問題，參見M.Spivak Calculus on manifolds是簡明易懂的）或者是實分析中的Randon-Nikodym導數，而這就從定義上確定了球殼表面積的Lebesgue外測度（假如你願意用實分析去處理這個問題，參見P.Halmos Measure theory Chap IV是簡單易懂的）。

不過在初等層面的直觀才是這個問題的主要核心。

by L

給個不那麼高端也不那麼低端的解釋

余面積公式 coarea formula

Coarea formula

為方便理解，我們從計算角度去攷慮此問題。

Vn（R）表示n維球的體積，Sn（R）表示n維球的表面積

我們有公式

（1） $V_n(R) = frac{pi^{n/2} R^n}{Gamma(frac{n}{2}+1)}$

（2） $S_n(R) = frac{2pi^{n/2}R^{n-1}}{Gamma(frac{n}{2})}$

運用公式1和2，結合 $Gamma$ 函數的性質，可得

（3） $S_n(R) = frac{d V_n(R)}{dR}$

顯然，你所說的情況是n為2和3的特例。

公式1和2 的推導較繁，可以參攷n-sphere

上面的鏈接給出了更多的n維球的有關信息，所以說不是巧合，有一定的必然性。

下面的圖片來自維基，可以參攷，要說明的是1維球實際上已成為線段

體積求導是球表面積，不是圓面積。

漁：請從幾何思考，半徑增長一點，體積增長多少？

求導降維，哈哈

是初等概念對你的誤導。三維的球對應二維的圓，球體積對應圓面積，球面對應圓周。

首先說明，絕對不是巧合，以下是證明

設球體的半徑為r；

體積為 $v=frac{4}{3} pi r^{3}$ ;

則 $v$ ;

其中dv為r的增量趨近於零時的增加體積；

設球表面積關於半徑的公式 $s=delta r$ ;

當 $Delta r$ 趨近於零時，由函數的連續性可知， $Delta s$ 也趨近於零；

當半徑獲得增量 $Delta r$ 時，增加的藍色部分的體積就為 $Delta v$ （如上圖所示）

由於當 $Delta r$ 趨近於零時，「外層」的球表面積與「內層」球表面積相等，所以可以把藍色部分展開成一個柱體，其高就是dr，體積就是dv，底面積就是s；

由柱體的體積公式可知 $s=frac{dv}{dr}$ .

本來想找兩張圖說明一下的，沒找到。求導其實就是沿切線方向嘛，對一個圓求導，不就是圓的切線沿著圓轉了一圈么？不就是圓的周長了么？對一個球體求導，不就是球體的切面與球面上的每個點接觸一遍么？不就是球面面積了么？我覺得這樣比較容易理解。

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不是用的諸如

類型的，圓的表示公式。

而是直接用圓的面積公式：

圓的面積只與圓的半徑有關，對其半徑求導：

其結果就是圓的周長。

體積求導為面積，同理：

如果想要詳盡的解釋，參照樓上各位的回答，很不錯。如果只是想有個形象的認識，我覺得這樣想是可以的。

球體積公式對半徑求導是球面積公式，以及圓面積公式對半徑求導是圓周長公式，如果不好正向理解，不妨反過來。想想球體積積分（用一個個空心球殼積分，別用一個個平行平面的積分），再想想圓面積積分（用一個個同心圓環積分）。

如果你在大一水平及以上，應該很容易理解吧。所以就不多說了好嗎？如果還是不清楚，我再說細一點。

非常淺顯的一點思考。數學基礎只有高數。相信前幾位答案更加透徹。

求圓的面積時，可以用圓的周長作為微分運算元，r=0，1，2，3.... 周長0，2pix1, 2pix2,2pix3.....

把這些微分的更細，就可以得到一組r漸增的連續的周長累加起來就是圓的面積。也就是對不同r 積分從0到R就是半徑為R的圓面積。

同理把一個球體看成，半徑從0到R的同心球拼起來的球體，這些同心球的表面積的累加就是R球的體積。

然後求積分和求導互逆。

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