如果證明了哥德巴赫猜想，會對人類社會有什麼重大的推動作用嗎？

01-06

為什麼證明1+1那麼難？針對此條問題提出的新問題。

相傳歐幾里德有個學生問他，學幾何有什麼用，他說：給他個硬幣，因為他想從學習中獲得實利。

雖然我知道哥德巴赫猜想在密碼學中有直接應用；

雖然我記得在一些定理的證明中使用了假設為正確的哥德巴赫猜想；

雖然為了證明哥德巴赫猜想，人們提出了各種方法，大大推動了數論和整個數學的發展，並在博弈、工程、經濟等各個領域得到應用；

我還是願意說，哥德巴赫猜想對人類社會沒有重大推動作用！數學總是花大量時間去嚴格證明一些顯而易見或者沒有用處的東西，哥德巴赫猜想是其中之一。

數學是人類挑戰思維的極限，就像運動員挑戰人體的極限，證明哥德巴赫猜想就像運動員打破世界紀錄一樣沒用。

數學是滿足人類的好奇心，就像藝術滿足人類對美的追求，證明哥德巴赫猜想就像創作出一副傳世之作一樣沒用。

如果你覺得打破世界紀錄或者創作一副藝術珍品是值得的，那哥德巴赫猜想的證明也是值得的。

證明一個類似哥德巴赫的問題，首先對於很多在相關領域的數學工作者都是一個夢想，不想成為將軍的士兵不是好士兵，同樣的，沒有野心的數學工作者也不是好的數學工作者；另外，也許這個定理本身不會有太大的推動，但是在證明這個定理過程中所發展的方法往往會對今後的研究產生很大的影響。例如費馬大定理，在wiles證明他的過程中得到更充分的發展的modular forms，Iwasawa theory等的影響遠遠大過定理本身。

有個數學家對哥德巴赫猜想的評價是：素數是用來乘的，哪個笨蛋去加了？！

也許是八卦。不過，除了在解決哥德巴赫猜想過程中數學家開發出新領域、新方法外，該猜想本身大概用處真的不大，至少遠遠無法和黎曼猜想的用處相比。

問題應該拆成兩部分：

1。哥德巴赫猜想本身：沒什麼作用，以目前計算機探知的數字（至少10^18）已經完全夠人類目前用了，到了這個數量級通常更有用的是前面幾位數字或者統計規律。

2。證明哥德巴赫猜想所產生的方法：因為到了1+2許多「舊的辦法」就已經走到頭了（參見http://zhi.hu/EvQz），所以很可能產生新的方法，新的方法將可能很有用。

丘成桐說過一句話，大概意思是我們的研究是要用未知的辦法去解決已知的問題，而不是用已知的辦法去解決未知的問題。

舉個例子：

1+2+3+...79203

這個題目（嚴格相同的題目，不是類似的題目）估計沒人做過，來個人把它做出來沒有任何意義。

但是第一個想出用1+100，2+99……這種方法來求和，就是和之前的硬加不同的思路，這種方法可以應用到其它很多地方。

單單就這個問題本身來說，是確實沒有任何意義。如果是單純地看數學的話，數學對人類社會也沒有任何意義。但是，當人類把現實生活的現象抽象為數字之後，數學的威力就會展現。沒有數學指導人類的各種實踐活動，人類就很難發明各種精細的機械和設備。眾所周知，人類文明程度的其中一個指標就是工具的先進性。從這個角度來說，沒有數學，就沒有現代人類文明。

至於「哥德巴赫猜想推動計算機技術發展」，全看你是否願意把一個數學問題的「副作用」也看作貢獻。這一點純屬個人信仰，我個人是認同把解決數學問題的過程中的副作用也看作這個問題的貢獻。

創新數學的研究《數數論》

薛海明

「數數論」也稱「數論」，它是研究存在於整數之間的聯繫和規律，並通過這種聯繫來研究數的性質的一門學科。在數論的發展史中，曾是數學家們熱門的研究領域，並取得許多成果。在計算機普及的今天或數論研究中還存在著某些問題一直得不到圓滿的解決，致使這門古老的數學分支，近幾年幾乎在數學研究領域中未有較大的突破。

在數論研究中，由於像「哥德巴赫猜想」這些數學問題的研究，涉及到數論研究中的許多性質，而且有些性質我們還未了解，雖然哥德巴赫提出這一問題已將近二百七十多年的時間，但現在世界許多知名的數學家們，仍然未取得實質性研究結果。從上世紀到本世紀初期開始，因「哥德巴赫猜想」這一問題的研究，它與「數論」中的許多性質有關，曾一度成為數學研究中的重點課題，當一些研究「哥德巴赫猜想」的數學家們，經過不斷地努力還看不到任何研究前景，也提不出新的思想或研究方法時，不得不放棄對它的探討。所以，現在一旦有人提及與此有關的數論問題時唯恐避而不及，不再理睬。數學家們不僅放棄對此問題的研究，他們同時也苦口婆心地一再告知對此問題具有愛好的數學研究者們，沒必要再為此把時間與精力浪費掉。但因「哥德巴赫猜想」這一難題，與存在於自然數中的素數性質有著緊密關係，而素數又被人們看作是組成自然數的基本材料，由此看來，當數學家與數學愛好者都對此問題不再進行研究時，那麼，像解決「哥德巴赫猜想」這樣一些數學難題，則將永遠成為數學研究中的一個迷，人們對組成整數中的素數這種「材料」的性質研究或認識，也同樣永遠成為數學研究領域中的一個盲區。顯然，關於對數論這一數學分支的研究，也將影響到它今後的正常發展。當現代人們在各個自然科學領域內不斷地取得許多研究成果時，尤其是數字化快速發展的今天，我們把數學中存在的某些問題看為一個個高不可攀的山峰，或視為深不可測的深淵不再去討論，對整數性質認識上的一些難題不去解決，這將成為時代發展與數學研究之間一種不協調的諷刺。如果因噎廢食，對影響數學領域中這樣一個具體問題 — 素數「這種組成材料」的性質沒有充分的認識，只能會成為數學研究史上的最大悲哀。

大凡自然科學研究中，都與數學有關，一旦脫離數學的參與，即將失去科學上的研究意義。這是因為數學表現出的規律與性質，實質上是反映著存在於空間事物的量化規律與性質。而在數論研究中，當我們不能真正或全面了解自然數的某些性質時，那麼，同樣在對自然科學研究中，也會遇到這樣或那樣的不解之迷。

數學這門科學，雖說是一種抽象的科學，但卻像條清澈見底的河流一樣，容不得一點泥沙。在某些問題研究過程中，一經渾濁，則讓我們很難看清它的真實情況。例如在算術的第一級運演算法則中，不論任何情況下， 13 + 5 = 18 還是5 + 13 = 18 都是成立的，無一例外。而在另一種叫做「模算術」的數學運算結果中，根據模數的大小其運算結果雖不會相同，但對於同一個模來說，則運算結果同樣是唯一的。如果在數學運算中，即是由於粗心而使小數點的錯位，也將會得到一個極為嚴重錯誤的結果。可以說在數學研究中，它是失之毫釐差之千里的一門最精確的科學。在數學這一繁花似錦的園地中，任何人都可欣賞它的美麗，但任何人又都必須遵守它的客觀規律和性質。數論作為研究現實世界的空間形式和數量關係的科學，它容不得半點差錯。在數學研究中，如果由於人為的一點錯誤或沒有真正認識其性質而引起混亂時，即使河水很淺，也會覺得像深不見底的深淵一樣，讓人們望而生畏不敢涉及。在數學研究領域中，當人們對於整數中存在的某些性質缺乏深入地了解，總是以猜想、相似、逼近、近似等這些不確定的概念因素定義，這成為人們對數學產生了深不可測的認識根源。然而首先使此河水變為渾濁的人不是別人，卻是對自然數進行分類的數學家。據說，早在公元前約 500 年以前的古希臘時代，數學家畢達哥拉斯就已根據一些自然數所表現出的不同性質，把自然數分成三類，即第一類，自然數「 1」，它不僅是自然數的一個基礎數，而且它只有「1」這一個因子；第二類：一個自然數只有「1」或它本身這兩個因子能夠被整除的數，叫做素數（也叫質數），如：2、3、5、7 、11 ... ；第三類數就是「合數」，也叫「複合數」，它可以被 1 和本身所整除外，還可以被其他數所整除，如：4、6、8、9 、12、15 等 ; 同時又把能夠被「2」整除的數叫做「偶數」或「雙數」，如：2、4、6、8、10 、12 ... ，其餘的數叫為「奇數」或「單數」，如：1、3、5、7、9 、 11 ... , 根據自然數的這些現象，把自然數按因子多少與其表現的性質分為三類，或把自然數分成奇數與偶數兩類形式，從表面上看，這是一種既簡單又明了的科學分類方法。這種分類方法，在算術中有著非常特殊的性質，其應用是無法替代的。因此，幾千年來我們一直沿用至今，並未提出任何異議。由於計算上的需要和不可替代的作用，從古至今，也沒有一個數學家對自然數表現出的這些性質再去進行過更深入的研究或探討。正是由於這種原因，當我們今天在對自然數的性質研究過程中，遇到難以解決的疑難問題時，我們不得不進行反思，重新從自然數的產生及發展過程中，來了解人們在對空間事物進行計數行為時，是否存在人為因素對自然規律所造成的影響。

當人類通過數數計數這種最初的數學形式產生自然數後，這種計數方法最初也只能夠對空間事物的數量進行加法與減法的初級計算行為，但這卻是人類對空間事物進行計數時的最基本性質和方法。在經過漫長的生產活動過程後，人們才有可能發現運用乘法與除法這種二級計算方法，可以減少計算時的過程，且省事實用，這就很容易發展為最初的四則算術運算的規律。這種對於用自然數進行四則計算的發展過程，雖然難以通過歷史可以進行考證，但這並不影響人類利用自然數作為計數或計算工具的性質。當數學家畢達哥拉斯在對自然數四則運算方法進行研究後發現，在運用第二級算術方法進行計算時，某些自然數之間存在著一些共同的性質，並把它們分為以上三類性質和兩種形式。但在這種分類過程中，畢達哥拉斯實質上僅僅是對第二級算術運算方法中，自然數所表現出的這些表面性質進行了分類，而他卻對在第二級算術運算過程中，自然數為什麼會表現出這些不同的性質，卻沒有進行深入地研究。畢達哥拉斯在未了解自然數為什麼會存在這種性質的前提下進行分類，人為地直接建立在乘法或除法這種運算基礎上，而乘與除這兩種計算方法，又源於人類在計數過程的一種簡化形式，因此，根據這種基礎作為分類方法，其本質上存在著很大的人為因素。不能從自然數產生時的「數數」這種最本質上認識計數與計算的性質，顯然這並不是一種科學的研究方法。這是第一次讓我們對數學產生神秘感的最主要因素，也是我們沒有完全揭開自然數神秘面紗的基本原因。

從數數計數這種初級數學運算形式，當發展為第二級算術運算方法後，自然數為什麼會產生如此多的一些不同性質，從畢達哥拉斯對自然數進行分類後的兩千五百多年歷史中，直到現在也沒有人們對這種現象進行過更深入地探討。由於第二級算術運算方法，它仍然是源於數數計數過程中的一種簡化形式。因此，當我們對自然數本身性質與規律的研究中，未對「數數計數」這種最基本的計數規律與性質進行深入地研究時，卻對第二級算術運算方法中所產生出來的那些具有不同性質的自然數，直接作為研究對象，實質上已經成為對自然數進行間接的一種研究方法。

在畢達哥拉斯這種間接分類的基礎上，人們對自然數的應用與研究雖經過兩千五百多年的歷史，但對這種間接分類現象並未引起重視。因此，對於自然數與數數之間存在的有那些不可分割的複雜關係的認識與了解，成為數學研究領域中的一大空白。當發現在自然數中，對某些數所存在著的不同性質與規律不能夠做出圓滿解釋時，卻被變成今天數學研究領域中的難題。例如在數學家華羅庚先生所著的《數論導引》這一著作，作為數論研究的專著中，從第一章第一頁開始，直接就進入到對「整數之分解」的討論。在數學研究領域中，當脫離對「數數計數」這種最基本的數學形式的認識，並把「數數計數」從數學研究領域中遊離出來後，從第二級算術這種間接基礎上研究數學的性質，對於研究中的某些難題得不到解決，也就不足為奇了。現代在對自然科學的研究領域中，越來越趨於對其微觀世界進行深層次的探討，而所取得的成就也越來越顯得十分突出或重要。但在數學研究中，畢達哥拉斯只是根據自然數的表面現象與性質，作為對自然數的分類方法，這種主觀上的人為分類方法，不能不使我們懷疑它的合理性。因為我們無法了解自然數為什麼會存在著以上性質的真正原因。這在種對自然數本身表現出的基本性質與規律還沒有完全了解時進行分類，一開始就讓人們在算術運算時，對某些性質進入到一個知其然不知其所以然的認識中。分布在自然數列中各個自然數存在的性質，它們所含的因子有多有少、有大有小，而且這些自然數的大小與因子的個數多少並無關係，例如：133 = 7×19 385 = 5×7×11 415 = 5×83 各個自然數中所含的這些因子，又表明它們與自然數數列之間存在著什麼樣的關係呢？在素數中，為什麼唯有「2」這樣一個偶數呢？諸如這樣的問題，我們從未有去進行過更深入地探討。

自然數雖是一種抽象的數學運算符號，但它的產生卻原於對空間事物所存在的具體形式，通過「數數」計數這種基礎方法所產生的。可以說「數數」計數過程是客觀事物與自然數這種抽象符號連接的唯一途徑。我們對類似「數數」計數這樣簡單的方法與以上因子的性質沒有進行了解之前，而以人為的方法，僅僅根據自然數在算術的第二級運演算法則中所表現出來的不同性質，或一個數所含因子個數的多少對它們進行分類，看似雖然這是科學的，但我們卻難以了解在分類過程中，這些自然數為什麼會出現不同因子個數的基本原因。以上出現的這些問題，看似雖然十分簡單，它們卻預示著在數學中存在著某些「微觀世界」，我們現在還並非真正認識或了解它。

在對自然數性質的研究過程中，對自然數本身所表現出來的一些性質，應該多問幾個為什麼。自然數中所含因子的不規則出現，素數在自然數列中無規律的分布形式，它們與「數數」計數形式之間是否有某種聯繫，所有這些，我們都無法給出正確的答案。在數學中對這樣的「微觀世界」進行研究，有必要對它進行一次追根問底的探討。從數字元號的產生到它的應用，以及對數學這門學科的研究，雖已經過數千年或上萬年的漫長歷史，但我們人類總是囿於已有的數學知識，卻看不到數學中這種「微觀形式」的存在。當小學生最初學習加法、減法時，他們都要通過數自己的手指或其它物品作為參照物，然後進行計數時的主要方法。然而，當我們一旦有了一定的數學知識後，從來未有把「數數」計數這樣的「微觀形式」看做是數學的一部分。數學家們在數學的研究中，幾乎更不認為「數數與計數」這樣的簡單形式就是數學，然而在生活中，數學家和不會數學知識的普通人一樣，在清點錢幣與商品數量時，都同樣應用「數數」這一最基本的計數方法，作為數學形式在應用的。重新認識創新數學《數數論》中的數學規律與性質，它將是數學研究領域中一種重要的「微觀數學」模型。不僅數論研究中的許多性質或規律都與它有關，並且有些新發現的性質或規律，將會給我們帶來出人意料地驚喜，甚至讓我們為這些性質與規律達到拍案叫絕的地步。

人們在自然數列中看到，所定義的「合數」與「素數」，這些數在自然數列中分布的方式並沒有具體的規律，因此，要從自然數列中把合數與素數能夠很方便地找出來，或者對合數進行分解，只能根據對自然數分類時因子多少的基本性質，通過除法對它們一個一個地進行運算加以識別。為了減少運算過程，隨之便產生了一種簡便的方法，這就是「埃氏篩法」。這種方法傳說是生活在公元前二百五十年左右，著名的古希臘數學家埃拉多斯染尼（埃拉托色奈斯）所創立的一種在自然數列內尋找素數時的一種方法，也稱「埃氏篩法」或「古典篩法」。這種方法既是建立在畢達哥拉斯對自然數性質分類基礎上，又是建立在乘法與除法運算基礎之上的。其篩法的大體步驟是：

對從1到n進行篩選：先找出不超過n的全部素數，依次排列如下：2 = p1 &< p2 &< ... &< p r ≤ n . 然後把大於1，而不超過n的自然數，按大小順序排列如下：2，3，4 ... ，n. 在其中留下P1 = 2, 而把P1的倍數全部劃掉，再留下P2，而把P2的倍數都劃掉，繼續這一手續，最後，留下Pr，而把Pr的倍數都劃掉，留下的就是不超過n的全體素數了。

在《數論導引》中可了解到：「現在所做出之素數表，無一不由此法略加變化而得者」。可見今天所能夠做出的素數表，都是建立在乘法與除法這種運算基礎之上的，除此別無他法。在這種尋找素數的所有「篩法」中，我們同時也了解到，這些篩法與產生自然數的基本規律「數數」計數這種形式沒有任何關係。

所謂「埃氏篩法」從自然數的分類到篩選素數的方法，雖然我們已經應用了數千年的歷史，但卻沒有一個數學家對自然數所表現出的這些性質或方法去做更深刻的研究。當我們提出在自然數列內進行篩選素數方法中，是根據自然數本身的什麼性質或規律為理論基礎時，沒有一個數學家能夠做出正確的回答。對於這樣的問題，最多也只能認為是根據畢達哥拉斯對自然數分類基礎上進行的。當通過對各種數學資料進行查找，是不會找到這方面的任何記載或研究中的信息。就是數論研究中有關素數分布個數定理，在華羅庚先生的《數論導引》中也只能看到「其中之推測及定理，類多先由經驗得來」這種人為經驗的結果。可以說，在專門研究自然數性質的「整數論」或稱「數論」中，我們只能了解到通過「數數」過程產生自然數的這種方法，以及對自然數數碼進行定義的最初級形式，但對自然數本身與「數數」之間所存在的有那些最本質的性質與聯繫規律，卻無法了解。而在《數數論》的討論中，卻讓我們明顯地了解到「數數」計數這種方法與自然數之間的許多性質，兩者之間存在著不可分割的複雜關係。

《數數論》是一個不同尋常的數學模型。在研究「數數」計數與自然數數列之間所存在的規律與性質時，則是根據這種數學模型進行的。數學中這種創新數學的研究方法，為填補數學研究中的空白與數論的發展，今後將起到不可估量的作用。可以毫不誇張地說，在對類似哥德巴赫猜想這些數學難題中，關於不同性質的自然數之間所存在的各種關係，除重新認識這種創新數學中表現出的性質以外，別無他法。

在數學領域內，從數學的產生到現在已有幾千上萬年的歷史，直到現在對它的研究中，由於四次關鍵研究過程涉及到有關數數計數問題沒有得到本質上的認識，致使我們對數學產生模糊的了解，這就是：

1：兩千五百多年前，畢達哥拉斯在對自然數的分類過程中，不是建立在數數計數基礎上，同時又沒有對其進行更深入地研究。

2：兩千多年前，數學家埃氏篩法的創建，同樣是建立在乘法與除法基礎上，沒有對因子產生的原因和性質進行深入地研究。

3：二百七十多年來，關於哥德巴赫猜想問題沒有得到解決的真正原因，沒有從最基本的計數方法中去找原因。

4：在現代數字化快速發展的時期，數學研究領域仍未有對數數計數這一數學形式引起重視。由於以上關鍵問題都沒有從根本上得到解決，對數學今後的發展所產生的影響是十分深遠的。

《數數論》中所討論的問題，由於這種計數方法本身就是大眾化或小學生就已了解的一種數學知識，因此對這一數論知識的深度學習，可以普及到小學生中去，對於數論知識的學習與了解，將不會再是一種深奧莫測的數學知識。

在《數數論》中，除對自然數的微觀世界了解外，還有一些規律具有一定周期分布的性質，這同樣會對某些自然規律及科學研究，帶來一定的作用。

人們根據自然界的生物結構與生活習性，它們表現出的各種現象，以自然為師，成功地建立了仿生學原理，創造出不同形式的仿生機械。當通過自然數表現出的各種規律與性質後，也將建立起一個新的系統學原理，以及密碼學、程序設計等學科。

由於在《數數論》的討論中，可以從中了解到各個不同素數因子的結合規律和它的不同分布周期的形式，這為我們對許多自然規律的研究提供了數學的表達依據。例如生物的生物鐘節律還是中國醫學中所謂的子午流注學術，天文學中的星體在宇宙中運轉周期，這些一切具有周期活動的自然規律，都可以從中尋找出不同因子的結合與它們的分布形式，作為研究中的數學依據。

哥德巴赫猜想」的擱淺

與創新數學的研究

薛海明

一關於「哥德巴赫猜想」

關於「哥德巴赫猜想」的提出或研究，從 17 4 2 年開始，世界許多知名數學家或數學愛好者，都對它進行了不同程度地探討，同時還創造了多種形式的研究方法，雖經過將近 270 年的歷史，但直到現在仍然未取得實質性的證明結果。

當時德國數學家哥德巴赫發現並寫信向瑞士大數學家歐拉提出如下問題· 1：在自然數中，凡大於 6 的偶數都可以表示為兩個素數之和； 2：任何一個大於 9 的奇數都可表示為 3 個素數之和。容易證明『2』是『1』的推論，所以最重要的是證明『1』。即一般簡稱為（1＋1 ），例如：8 = 3+5 10 = 3+7 12 = 5+7 14 =3+11 ... 。他在信中說：「我這個論斷是不是永遠正確？如果是正確的，希望你替我證明它，如果不對，希望你舉出一個例子來」。歐拉在複信中說:「雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認為這是完全正確的定理」。該問題看似非常簡單，並且有人曾驗算到三千三百萬以內的所有偶數都是對的，但由於自然數列中的素數與偶數都是無窮無盡的，我們並不可能對其一一去進行驗算，又不能對其作出證明或給出圓滿的解釋，因此只好稱之為「哥德巴赫猜想」。

在數學領域對自然數的研究中，由於人們發現素數（也稱質數）是組成自然數的基本材料，這些數在自然數列中分布又無一定規律，因此要研究自然數的性質，必須對素數的性質進行全面的了解，而哥德巴赫猜想則是「素數這種材料」性質的一種具體表現形式。眾所周知，如果在任何生產工作或科研話動中，當我們對自己所用材料的性質不了解時將會得到什麼樣的後果。正是因為這種原因，在哥德巴赫提出這一問題後，一直受到數學家們對它的重視。如：1900 年德國大數學家衛·希爾伯特、1912 年德國數學家 E·郎道、1921年數論泰斗英國數論學家羅德·哈代則宣稱「解決猜想的困難程度，是可以與數學中任何未解決的問題相比擬的」。世界上這些知名的數學家不但都為此做出了研究，而且為了證明這一問題，在1918年，英國數學家哈代、李特伍德和印度數學家拉馬努金並發展了第一個「園法」，1918年，挪威數學家布郎又改進了具有2000多年歷史的埃拉多染尼氏（生活在公元前三百年左右）提出的篩法（一般也簡稱為「埃氏篩法」或「古典篩法」），同時還有一些數學家創造了其他不同的篩法和研究方法。最初，數學家們想用 n 個素數之積加 n 個素數之積等於一個偶數的方法，來逐步逐步地用縮小它的範圍進行證明，如是有了所謂的（9+9 ），（8+8）... , 等證明方法，直到 195 6 年，才由我國數學家王元在以上基礎接著證明了（3+4），1957年他又進一步證明了（2+3）的結果為止。

為了簡捷，數學家們又接著改用一個素數加 n 個素數之積的方法進行證明。因為這樣只需考慮後一種 n 個素數之積的情況，即證明到當 n 表為 1 個素數時即可。這樣就又有了後來的(1+9)、(1+8) ... (1+3) 這些證明結果，在我國以華羅庚為首的一些數學家們同樣對該問題進行了大量的研究工作。從 1742 年該問題提出開始，直到 1973 年，才由我國數學家陳景潤在以上證明基礎上做出現在最好的結果：每一個充分大的偶數都是一個素數加上一個素數或者不超過兩個素數的乘積之和，這個定理可以表示為 (1 + 2 ) 。看似雖離 (1+1) 僅一步之遙，而這最困難的一步卻一直得不到證明。數學家們通過近幾十年長期對這類問題研究後看出，用這種方法進行證明幾乎已經走到盡頭，不可能再得到進一步的結果。除一些數學家能夠指出在「哥德巴赫猜想」這一問題研究中，其真正意義上在於它是一個數學模型，可以給數學帶來新的方法、新的概念和新的理論，但又不能說明所謂的這些數學模型、新的方法、新的概念及新的理論具體是些什麼，這僅是數學家們的一種猜測而已。更沒有一個數學家能夠指出今後正確的研究方向或方法。在數論研究中，由於素數的特殊性，很多問題都與其有關，所以現在數學家們，普遍認為我們還達不到研究這類問題的時候。如果沒有新的思想或方法，不會再有多大的進展。從1973 年陳景潤做出 (1+2) 的最好證明結果而被擱淺後，近幾年在我國數學領域內對於哥德巴赫猜想的研究也已處於停止階段。

時至今日，當人們仍未看到一絲研究曙光而感到束手無策時，不得不使人們產生各種不同的看法。這時甚至有人懷疑對「哥德巴赫猜想」的證明，這只是一種數學遊戲，並無多大的實用價值。這也就難怪有人開始說，數論屬於所謂純數學領域，而純數學是不考慮是否有實際用途的，只是純粹的智力遊戲。因此，哥德巴赫猜想曾被認為是數學皇冠上的明珠這一世界著名的數學難題，現在一下子則被一些人說成像是忽悠人們的一種無稽之談的數學遊戲。該問題不僅從我國知名數學家的研究課題中消失，同時數學家們還多次語重心長地告誡數學愛好者們，不要再為此問題去付出不必要的時間或精力，而應首先是把數學基礎打好，這才是最重要的。不論是數學家還是數學愛好者，現在像是被忽悠了的一些受騙者一樣，當提及該問題時，唯恐避而不及地不再理睬。因為在每個研究者中，都為此付出了無法挽回的時間與心血。可想而知，作為一個知名的數學家或是一般數學愛好者來說，當經過數年或數十年時間得不到任何研究結果，並為此付出大量時間和心血時，心理等各方面所承受的壓力是多麼沉重的。數學家們在對此問題的研究中，認為已用盡了各種方法未能取得研究結果而失去了信心；數學愛好者不但得不到來至社會任何力量的支持和幫助，反而遭到更多的是白眼與譏諷。在對於哥德巴赫猜想研究中，當數學家們得不到最終證明結果時，顯然，對於這些數學愛好者的證明結果就更不屑一顧。由於受這些原因的影響，甚至在社會上，把與數學毫無關係而未能解決的一些現實問題，也用「哥德巴赫猜想」作為一種「時尚」的代稱，把「哥德巴赫猜想」幾乎變成了一種表述未解之謎的「成語」。

在信息技術快速發展的時代, 從網路中很容易了解到，不論從所有失敗者的教訓中還是大量的數學資料中不難發現，在數學研究中，數學家們不是對近幾十年研究中所應用的那些方法、工具及出現的困難進行認真分析總結或反思，並堅持認為只能通過這些高級數學中的篩法、圓法、三角和這些方法相結合的解析數論等方法來探討，才有可能取得最終研究結果。由於受這種思想的束縛，並自以為對初級數學知識已十分精通的數學家們，反而對自然數本身所表現出的某些最基本性質與規律，再去進行更深入地研究則認為沒有必要了。一般數學愛好者又由於對高深的解析數論知識不太精通，總是想在現有的一些數學知識中找到突破口加以證明。甚至還有一些數學愛好者，則想通過哲學方法以及其它一些方法進行探討，然而在以上所有研究者中，他們所取得的研究結果不論正確與否，總是得不到數學家們的審查或認可。在哥德巴赫猜想問題研究中，通過這樣多種形式的思維探討仍無結果時，對該問題的研究也不得不停滯下來。

不論是數學家還是數學愛好者，只是囿於對現有數學知識的了解，在所有研究方法和討論過程中，把力量直接集中於哥德巴赫猜想問題本身，其研究結果總是經不起數學上的檢驗或推論而被放棄。但對自然數列中為什麼會有這種性質或規律存在的原因，卻避而不談，從不進行追根問底地探討。從陳景潤所取得的（1 +2）這一最好證明結果中可以設想，就連陳景潤本人恐怕也難以回答自然數中，為什麼會存在（1+2）這種性質或規律的具體原因。因為這種證明結果中，僅是應用數學語言進行的一種推理形式。作為人們探索自然數性質與規律的研究，我們還是管中窺豹，很難認清自然數的本質。要不然，為什麼總會有人提出證明哥德巴赫猜想有什麼用的質疑呢。

當時哥德巴赫向大數學家歐拉所以提出這一問題的實質，是要求回答在自然數列中，是否大於6 的任意一個偶數都可以用兩個素數之和來表示？從信中可以看出，哥德巴赫需要回答的是他在自然數列中所發現的這種現象，即：素數與偶數之間存在著的這種關係的具體性質、規律是否有其必然性或其形成原因？因為這一問題直接涉及到「素數這種基本材料」與組成自然數列之間的具體關係或性質。因此，對這一問題研究的意義和重要性，不是解決數學中的一個難題，它將成為現代數學研究中，人們對組成整數的「基本材料」和它的性質、規律，進一步認識起著十分重要的作用。這是今天數字化技術快速發展的一種需要，是時代進步對數學發展的需要。

二「哥德巴赫猜想」證明中的困惑

由於人們對自然數列中的素數與偶數之間的關係並不十分了解，當數學家們用「大偶數」這種不確定範圍，採用逐漸縮小這種證明範圍作為研究方法時，這種證明方法本身從一開始就存在著一定的錯誤。數學家們一直認為，雖然素數在自然數列內的分布個數沒有一定的規律，但從總體的分布趨勢上看，素數與合數分布的個數之比呈如下形式進行的：素數分布的個數將逐漸趨向於零。即當自然數列越來越大時，在最大自然數列段內，幾乎都將成為合數的分布形式，素數的分布個數可忽略不計。但數學畢竟是數學，應用「幾乎」、「忽略不計」等這些不確定因素，用於主要證明範圍的一種指標，作為探討自然數的性質，顯然這並不是科學的研究方法。因此在證明該問題的過程中，當數學家們在自然數列這一集合內，很難找到一種作為證明範圍的參照依據時，不得不採用以「大偶數」這樣一個不具體的數界作為一種證明範圍，然而卻一直得不到正確的結果。

對於「大偶數」這樣一個不確定的範圍來說，在自然數列中又怎能去證明它呢？陳景潤證明的充分大偶數有多大？數學家們只知道存在這樣一個界，但卻不能具體給出來，因為我們知道，自然數列本身是無限大的，而在自然數列中同樣也包含有無窮多個素數, 例如在1979年，美國兩位計算機專家使用兩台運算速度達8千萬次／秒的巨型計算機所得到的最大素數是 244497 －1，這個數共有13395位。人們估計宇宙中存在的原子微粒總和大約是一個八十位左右的數。即是在浩瀚的宇宙中，星體多的無法計算，但也只是一個二十位左右的數字，可想而知，這個素數將大到怎樣的程度。1983 年人們又曾發現一個素數為 2 86243－1，但這也不是最後的素數。由於在自然數中，素數是無限多的，可見人們在研究素數的工作中，做出了多少大量的繁重工作，但卻不可能找到自然數列中最大素數的界，更找不到大偶數的界有多大。現在假如有一個偶數正好是可以用以上這樣大的兩個素數之和所表示，或者一個合數可以由以上兩個大素數之積組成，又能怎樣去證明它呢？在自然數這一無限多的數列中，它們能夠組成的規律又是在怎麼樣情況下進行的？當這樣兩個大的素數結合在一起時，其性質又說明了什麼呢？從計算技術上講，如果我們用人為的方法，使用計算機能夠把這樣兩個大的素數，直接通過加或乘的計算方法把它們結合在一起，雖然看似計算方法十分簡單，卻主觀上違背了自然數列的有序規律，不能從根本上認識自然數列本質上的規律，像以上這樣的素數結合在一起的積或者和，是否就是所謂的大偶數呢？以及這樣兩個大素數能夠結合在一起的整體規律表明什麼呢？同樣可以設想，當超出這樣大的偶數是否也適合其證明結果呢？當用以上n 個這樣大的素數因子結合在一起時，我們又該怎樣去理解呢？

顯然，在對於哥德巴赫猜想這類問題的研究中，關於大偶數可表示為 1 + n 個素數乘積之和，其研究範圍本身就存在著明顯錯誤，它代表不了自然數列這一範疇的基本性質。這是因為在自然數列內，對於「大偶數」這個不確定的範圍很難界定。例如前面提到那兩個大的素數，我們既可以得到它們的積，也可以得到它們的和，但這也不能就是組成的所謂的大偶數，因為還存在著比它們更大的素數。我們無法了解多大的素數是大素數，同時也無法了解多大的偶數為大偶數。所以當數學家們應用大偶數作為證明範圍時，已經脫離了對自然數列這一集合整體性的研究。即便證明到（1＋1) , 也不會認為符合哥德巴赫提出問題的本意，這可能是數學家們放棄對此問題繼續研究、告誡數學愛好者不必為此問題付出時間與精力、對與此問題有關的任何研究結果不予審查和不再理睬的原因。

在自然數列內，作為研究素數的性質或規律，應該首先是了解素數在自然數列中的分布規律以及素數因子的形成原因，素數與偶數的關係。而對這種規律的認識，又必須是自然數列內存在的一種基本規律，這才是破解哥德巴赫猜想等難題在理論上的真正證明結果。這不是數論研究中，依靠某些定理本身，就存在類似於估計或幾乎、逼近等這些不確定因素的工具，通過所謂高深的數學言語所能證明的。可以說，「1 + 1」是自然數列這一集合中存在的一種普遍規律與性質，它適用於任意一個偶數，也適用於任意一個大偶數的分布範圍。對解決哥德巴赫猜想的重要性，也正在這裡。我們不能夠對自然數列以上這些性質進行了解，說明我們對自然數的性質認識不僅是不完善的，同時也由於這種原因，又造成數學領域內所存在的許多性質，我們根本無法了解，更談不到對這些性質的充分應用和發揮。

雖然從表面上看，哥德巴赫猜想本身似乎並沒有多大的研究價值，但在它的背後卻存在著更多的性質與規律需要我們去研究、去發現、去認識、去開發或應用。可以說，對哥德巴赫猜想的證明，不是單純的一道數學難題，而是將使我們對自然數列或某些自然規律的一種重新認識或研究過程，也是對分布在自然數列中的「素數」這種材料性質與規律進行具體地探討過程。如果沒有一種新的思想或一種創新的數學理論，對於以上的諸多問題是很難解決的。哥德巴赫猜想所以引起數學家們的重視，這是對自然數的具體性質與規律的一種探討，我們不僅僅是要知其然，而更需要回答的是知其所以然。如果有人單純用數學語言作為證明方法，即便是得到最終結果，充其量也只是一種推測而已。大數學家歐拉當時認為哥德巴赫提出這一問題的重要性，並在回信中告知自己不能加以證明，以致近 270 年未能取得實質性結果，可能其中也許是由於這樣的種種原因在內吧。

假設以前數學家們的所有證明結果，如：（n + n )、( 1＋n ）等，（『n』表 n 個素數的乘積）對於一個「大偶數」來說，即便這些推測結果都是正確的，但他們也沒有一個人能夠對各自做出的證明結果及表示式，回答出自然數列中為什麼會存在這些性質與規律的具體原因。所謂高深的解析數論不可能回答這一問題，其它任何證明方法也同樣不能夠回答這一問題。自然數列本身表現出的這些性質、規律，並不只是單純地對於充分大的偶數這種情況而言的，而是對自然數列這種集合內的性質、規律，進行整體上的認識。由於我們現在還無法了解素數與合數在自然數列內，兩者之間不同的分布規律、性質時，數學家們不得不放棄對哥德巴赫猜想的證明。這是現代數學研究領域中，經過將近270年研究歷史，在世界範圍內涉及研究人員最廣，知名數學家參與人數最多，引起學習數學熱情最高，受到中外媒體最為關注報道的數學問題。但卻是研究結果毫無進展的一次失敗，也是數學研究史上是絕無僅有的社會現象。

哥德巴赫所提出的問題，是對組成自然數列中的素數這種基本材料，有關它的性質與規律的全面認識和了解。同時也是我們對自然數的性質進行更深入地一種研究過程。但有些人們對研究結果的失敗原因不進行反思，仍然堅持認為必須通過應用高深的數學語言與方法，才能取得證明結果。總是迷信於歷史上那些大數學家們的證明結果與方法，使自己思想卻變的保守與僵化。作為對數學研究中久攻不克的難題，我們必須總結經驗教訓，尋找失敗原因，創新研究方法，這是解決數論研究中那些難題的唯一出路。

將近 2 7 0 年來，哥德巴赫猜想沒有能夠得到證明，其另一主要原因是現在的數論研究中，仍然在用「古典篩法」作為基礎。在著名數學家埃拉多斯染尼提出這一方法時，雖然看似是簡單實用的一種形式，但是僅僅局限於篩選素數的方法而已，他對素數的具體性質和分布規律並沒有任何性質的研究。在這種篩選素數過程中，我們很難了解素數與合數的性質及分布規律。同時他在提出這種篩選素數方法時，並不是建立在自然數最基本性質上的一種篩選素數方法，而是建立在第二級算術運算方法上的一種篩法，即根據乘法或者除法的性質進行篩選素數。對自然數列內為什麼會存在這些不同性質的素數、合數，卻找不到任何答案。可以說這是一種間接的篩選素數方法，在這樣的篩法中，對研究自然數列內具有不同性質的數與數之間的關係，起不到任何作用。

在數學研究中，篩法作為篩選素數的一種最基本方法，但是從古至今，並沒有引起數學家們對「埃氏篩法」的本質引起注意。雖然近代數學家們在對哥德巴赫猜想的研究中，又提出數種不同的篩法，但也都是大同小異的一些方法。篩法作為數學領域內的一種最基本研究工具，而對素數的性質與分布規律卻得不到了解。在這種篩法的基礎上，作為研究類似哥德巴赫猜想這樣與素數有關的問題，只會遇到難以克服的困難。在這種情況下，數學家們又只能夠在根據歷代數學家們的方法和基礎上進行研究。因此在研究過程中，其中所推測的定理，也大部分都是先由經驗得來的。就連自然數列某一範圍內的素數分布個數，也多是在古人對此問題所猜測的結果基礎上，作為進行計算並用於證明的主要依據或方法，數學作為一種最精確的學科，顯然憑藉推測、甚至猜測這種理論或經驗結果為根據，用於證明哥德巴赫猜想這樣與素數的性質、規律直接相關的問題，如同在沙灘上建築大廈一樣不堪一擊。因為當對各種不同的證明結果在進行追根問底地提出為什麼時，每種方式都不可能自圓其說。因此，不論是數學家還是數學愛好者，其研究工作都同樣以不了了之而被停止。

三關於創新數學的研究

在哥德巴赫猜想的研究過程中，對於另類數學愛好者來說，由於發現了自然數一些特殊規律後，不僅從未停止其研究腳步，而且更加堅定了對自然數所表現出這種性質的探討信心。在研究中，它不是針對哥德巴赫猜想問題本身，而是完全跳出了原有思維的束縛，從新的思維角度來探索自然數列內部的各種規律，並作為對「創新數學領域」的一種深入認識，不斷地進行著研究工作。

在這種創新的研究方法中，對自然數表現出的這些性質或規律的認識，雖是我們人類認識或應用自然數以來，一直都把它作為最基本的計數形式或方法，但在數學領域中卻是從未對其進行過深入研究的「處女地」。因此，在對這一空白領域的整個研究過程中將會發現，它涉及到存在於自然數列內許多以前從所未有認識的性質與規律。作者經過數十年不斷地探索，並取得了初步的研究結果。

作為「創新數學」的研究宗旨或方向，這裡則是對自然數的性質、規律重新認識或探討過程。這是一個組織系統非常嚴密的數學模型，通過對不同性質的自然數在這一模型中的實際分布情況，以及各數之間存在的具有普遍意義上的互相關係及表現形式，從本質上認識自然數性質的一種新的數學理論。因此在這種對具體關係的研究方法中，是靠對自然數列本身經過長時間的觀察，並對發現的每個規律不斷地提出為什麼存在，又不斷地進行分析或探討，從本質上認識這些規律與性質存在的真正原因後，一步步逐漸被揭示出來的。在創新數學中，對於每種規律的認識與計算公式的創建，都能夠找到它們形成的根源。對於每個規律與性質的了解，不僅知其然也會讓我們能夠知其所以然。

處於現代信息化和高科技快速發展的今天，當我們坐在電腦桌前辦公時，當面對各種數碼產品時 …，不能不想到數學在我們生活中所起的作用以及科學研究中的重要性。雖然計算機的普及與多媒體的廣泛應用，使我們進入到一個高科技快速發展的數字化時代，顯然更不能排除對數學性質進行深入地討論。對於數論的研究，它也不像有些人說的那樣：「數論屬於純數學領域，純數學是沒有實際用途的」。也不是有些人認為現在已進入高科技時代，對於一些複雜的數學計算，完全可以由計算機來完成，關於對「數論」這一數學領域進行研究已無關緊要。從我們人類對數學應用的幾千年歷史中可以看出，科學技術越是發展，越迫切需要數學工具的不斷地更新; 反之亦然，越是對數學知識有更深入的了解，科學技術才越會得到更進一步的提高。所有科學技術的發展與進步，都是在對其不斷深入的研究過程中取得的。所以人們把數學這門科學，看做是一切科學技術發展的支柱，沒有數學參與的任何事與物，都不會認為是一種科學上的研究成果，所以人們才會把數學這門科學，冠以「數學是科學之母」這一真理般的稱號。而「數論」則是研究存在於整數中的性質的一門學科。

作為一種創新數學的研究，這裡不能不從自然數的產生談起。所謂創新數學，也正是在這種最原始的數學基礎上產生的，因為這是數學的源頭。所以只有這樣，才有可能發現在數學中存在「困惑」的根本原因。這像用顯微鏡發現細菌與疾病的關係一樣，才會找到真正癥結的根源。因此，也可把這種「創新數學」看做是對數學研究中存在的難題，從「微觀數學」角度上去認識它的研究方法。

儘管我們在幼兒時期，父母或老師就已教我們扳著手指學習「數數」並開始認識數學了，（因在創新數學《數數論》的研究中，關於『數數』一詞應用非常之多，有時名詞『數』與動詞『數數』兩詞常會在單個字的應用時更易顯得混擾，為了區別它們之間的真實涵義或簡化其注音形式，則分別用繁體『數』字作為動詞應用；用簡體『數』字作為名詞應用，在閱讀時請注意『數數』兩字的區別。）而「數數」這種方法則將伴隨我們走過一生。但是，人們卻從來未對日常生活中，應用十分廣泛的「數數」這一最基礎的計數形式做任何實質性地研究工作。從我們最初認識數學時，「數數」僅僅作為在兒童時期的一種啟蒙教育形式後，接著就從小學生時期起，便開始通過學習加法、減法這種最初級算術運算方法，逐漸進入到對高級數學的學習或研究領域。然而在對自然數的產生與「數數」計數之間究竟存在著怎樣一種規律或性質？由簡單的「數數」計數形式所產生出來的自然數本身，為什麼會存在著許多奇妙的性質？它們之間是否存在著某種因果關係？數學中存在的某些性質為什麼我們現在都難以解決？在科學技術發達的現代化社會，最原始的「數數」這種計數形式，為什麼總是在日常生活中應用著而不能摒棄？難道說「數數」計數這一形式是由於幾千上萬年來人類對它的應用已成為一種習慣嗎？在以上這些問題中，有些問題似乎顯得幼稚，然而對於以上這些貌似人們從不曾提及過的不是問題的問題，我們每個人卻無法做出正確回答，更談不上對「數數計數」這種方法的探討或有更深的了解。我們除了在一些介紹初級「數論」書籍中，僅僅能夠了解到通過「數數」這一方法產生了自然數外，關於「數數」與自然數之間究竟發生了怎樣一種關係，基本找不到任何有關內容的介紹。當我們在一般《數學小詞典》這樣的數學工具書中，如果逐項仔細查找，甚至連「數數」這一概念的具體表述都不會發現。數學家華羅庚先生所著的《數論導引》這一數論著作，作為引導研究整數性質的一部專題著作，然而從第一章第一節一開始就進入到關於整數的整除性的討論。在華先生的另一著作《數學的用場與發展》中，作為介紹數學的發展史也只是說：「...數起源於數...所以『數』是各種各樣不同量的共性，必須通過它才能比較量的多寡，才能說明量的變化」，僅此而已。而對「數起源於數」時，在「自然數列」中的一些整數，是否就必然會存在「素數」、「合數」等這些不同性質呢？不再去進行深入地研究。即是從一些國外有關數論方面的參考資料中也可以看到，各國最初的原始數學與數學符號形成或形式雖然各不相同，但這些數學符號卻都是不約而同地通過「數數」這種方法產生的，而對「數數計數」的研究，各國也都同樣處於一個盲區之中，找不到任何有關「數數計數」這方面深入的研究資料。對於「數數計數」的研究，古今中外處於同一種「盲區」的認識水平。如果這時我們反問一句：「數起源於數，那麼是否數就顯得更加重要，因為在這裡顯然看出，數才是數的真正本質」。

從以上介紹中可以了解到，人們在研究自然數的過程中，基本對「數數」這一最簡單的計數方法，僅僅看做是一種習以為常的生活行為（單純作為一種「動詞」應用），在數學研究中存在著明顯的漠視態度而不加以認可。不論作為一個從事研究數學的數學家還是一個普通人，把「數數」這種原始的計數形式，好像都看做是對兒童進行啟蒙教育階段的一種方法，或認為是「小兒科」的一種輔助教育形式，沒有必要存在於數學研究領域中一樣，人們不僅沒有引起對「數數計數」這一本質進行深入地研究，而且在數學研究領域中，就基本不包括「數數」這一計數形式的討論。不知是這種方法特別簡單還是其它原因，古今中外，所有的數學家們在對數學研究時，都幾乎忘卻「數數計數」這種方法曾是數學發展史上最基本最直接的一種數學形式，也是數學產生的根基。更不了解「數數計數」形式的背後，隱藏著更多至今人們未知的數學規律與性質。在探討「數數計數」這一創新的數學領域中，數學家和我們每個普通人一樣，將站在同樣的起跑線上，作為探索自然數這一王國的研究者。把「數數計數」這一形式第一次作為創新數學的研究理論，也將會成為今後我們在研究數學領域中的一種重要工具。

人類在探索自然科學世界時，總是先從物質表現出的本質現象開始，然後逐漸去進行深入地研究。不論是化學的元素學說，物理學的量子理論，還是天文學中對星系的觀察、生命的進化演變及遺傳基因等諸多自然科學所取得的研究成果，無一不是從最基礎的本質開始，經過不斷地深入探索或研究後所取得的。當我們想想元素周期表的發現、顯微鏡的發明、蘋果從樹上掉到地上引發萬有引力的的故事 … ，有那一項偉大的科學技術不是從微觀現象上產生的。因此，自然科學的研究或發展史，是貫穿於對未知事物或其本質進行研究的一種整個過程。但在數學研究中，正好缺少的就是對產生自然數時的唯一途徑「數數計數」這一最本質的研究工作。數學家們一再苦口婆心地告誡數學愛好者，在研究類似哥德巴赫猜想這樣的問題時，首先要把基礎數學學好。然而，作為專業研究數學的數學家們，卻對「數數計數」這種最原始最基本的數學形式，與自然數之間存在著有那些內在關係，則一無所知。這種現象，甚至越是自以為對數學十分精通的那些人們，越對「數數計數」這種方法存在著不屑一顧的心理。由於精通數學知識的人們，如果對兒童時期就已學到的方法再去進行研究，可以說這是一種滑稽到令人可笑的地步。因為我們總是以為「數數計數」本身就是一種最基本方法，它沒有什麼「背後」，更不存在背後會有什麼性質，對於「數數計數」這種方法來說，沒有任何研究價值。

這裡把「數數計數」作為創新數學的研究，也可以比作是在數學研究領域中，一種對「微觀數學理論」的討論方法。在這種方法中，涉及到算術中所有不同性質自然數的規律與性質，並讓我們從本質上真正了解它們之間存在的互相關係。這在整個討論過程中，不存在任何人為因素在內，只是通過對自然數從產生過程中，本身就已存在的性質、規律的一種自身揭示或深入地開拓。因此創新數學的研究，這是對自然數自身固有性質的一種本質上的重新認識或探索。自然數表現出的這些性質與規律，在任何時候都不可能通過數學上的任何證明方法所能得到的。如果在對自然數這些性質與規律不了解的情況下，想通過所謂高深的數學語言來證明哥德巴赫猜想這樣的難題，這將永遠成為數學研究之謎，猶如用數學語言去證明『什麼是數字』一樣無知。

「數數計數」這種最基礎的數學形式或做法，是我們每個人每天都必須面對的事實，如購買商品清點錢幣或貨物的數量時，不論你的學位高低還是運用點鈔機這樣的高級的計數工具，「數數」總是成為首選的計數方法。然而，對於「數數」這種計數方法來說，不論從對它的規律還是性質的認識上，可以說處於一片空白。在數學研究領域中，這一未被開墾的「處女地」既顯得荒蕪而又顯得多彩多姿般地迷人。

當自然數從「數數」過程中形成後，把「數數」只是看做生活中一種最簡單的計數方法，這在人們心目中已經成為一種不可爭辯的認識。由於從兒童時期起，就對「數數計數」方法有了普遍的了解，這種現象對於我們大多數人而言，顯得並不十分重要是無可非議的，但在數學研究領域內，作為人們對數學進行深層次地認識或探討，卻只是囿於注重對高級數學的研究，並完全放棄對原始的「數數計數」這一最基礎知識的進一步討論，這不能不讓我們進行反思。尤其在「數論」這一有關對整數性質的某些問題研究中，人們犯了一次南轅北轍的研究方法，造成高級數學中的一些難題難以解決，對最基礎數學的本質研究成為空白的兩種對立存在形式。

當人類進入文明初期時，從結繩記事或擺放石子多少，通過與空間事物一一進行對應的比較關係，成為對空間事物多少識別的最初方法。在逐步進入到應用「數數」作為對空間事物的數目進行「清點」，並用「計數」形式了解這些事物「量」的多少，這時「數數計數」方法已經成為算術的基本雛形。當發展為加法、減法這種初級算術方法表現出來時，則成為算術中的第一級運算方法。這是「數數計數」過程的一種必然結果，也是「數學」產生的基本形式。在人類生產活動中，對空間事物需要進行計「量」結果時，這是我們所採用的最基本實用的方法。在數學研究中，其它所有計算方法的產生，都是在這種第一級算術運算方法上產生的。

「數數計數」作為最基本的數學方法，實質上這一概念本身包含著兩種數學的基本要素。「數」作為一種動詞時，是指數學中採用的方法；「數」作為一種名詞時，是指數學中「量」或者與其運算結果。但在數學研究中，對「數數計數」這一數學方法一直沒有引起人們的注意。由於我們僅僅把它看為一種方法，完全忽略了「計數」這種最基本功能，使之成為數學研究中的空白課題。人們在缺乏對微觀世界意識時，這種小小的一次疏忽與失誤，卻成為人類研究數學發展史上最大困惑產生的根源。

當人們憑藉對這種「數數計數"形式建立起來的加法和減法後，根據初級計算經驗的長期積累，又在此基礎上為了簡化計算過程，再次轉換為乘法、除法這種第二級算術的運算形式後, 不論從對空間事物進行基本計數的形式上，還是從自然數的產生角度上看，對於這種第二級算術運算方法來說，這時其實質上已經成為一種間接的計數行為。同時在這種間接的計數行為中，自然數列本身的許多具有不同性質的數也伴隨著表現出來，諸如：乘數、被乘數、積數、除數、被除數、整除、因子、餘數、商數、素數、合數、偶數、奇數等許多新的概念。對於這些概念的產生原因，人們僅僅認為是由於計算方法的改變和計算過程需要的結果。而對這些不同性質的自然數，它們在自然數列中互相之間存在的整體規律或性質，卻未有做更深入地研究或了解。實際上這些具有不同性質的自然數，通過「數數計數」產生自然數時就已經存在。因在「數論」中，我們是直接從第二級算術運算時的乘除法開始，分別對具有不同性質的自然數進行研究，來了解數與數之間存在的不同關係，這無形中使我們脫離了對自然數本質上的認識。對「素數」這種組成自然數的「基本材料」的了解，也只好「越級興嘆」了。這是數學研究中，造成許多困惑的根源。當我們在「數論」研究中，從數的『整除性』開始進行討論時，對素數的某些性質認識，猶如霧裡看花一樣，很難認清它的本質。因為我們在這種間接的研究方法中，如同瞭望空中的飛機，很難了解它的起飛基地一樣。

四創新數學對數學研究的影響

在自然數列內，數與數之間不僅有著特殊的性質和規律，更重要的是「數」與「數」對某些空間事物中存在的規律，都有著極強的數學表現體系，這是其它任何方法都無法做到的。由於自然數的產生，是通過「數」與空間事物的一一對應關係，在「數數計數」方法中形成的，而對其兩者之間性質的認識，則是我們人類從未涉及的。

創新數學《數數論》的研究，雖然看似「數數計數」這一方法，是從兒童時期就已學習的最簡單最基本的數學知識，但是，在《數數論》的研究中，「數數計數」這種形式，卻是對數學研究向縱深範圍進行擴張的理論。因為這種理論本身就是建立在對空間事物進行一一對應基礎上的，其中一些規律與性質，同樣也對應於空間事物的規律與性質。在自然科學研究中，這對空間事物中的物質世界認識有著極其深遠的意義。《數數論》所討論的問題，基本上全部是對整數中存在的各種規律、性質，進行「追根問底」地探討過程，而這些規律與性質又是現在我們不曾認識或了解的。

在數學研究領域中，人類對數學的認識，習慣於是對空間事物進行「量」化的一種重要手段。對於自然數列內，不同性質的自然數，它們在這一集合中的分布關係、數與數之間的結合關係、數與數的對應關係、數與數的對稱關係等許多性質，這些都是我們很少或從未了解的。對自然數列這一集合的整體性質，只是部分認識。每個數在這一結合整體結構中，有些規律甚至可以在空間事物中，直接找到與之相對應的表現形式。數與空間事物這種「形」的對應關係，有可能引發數學研究領域的再次擴張。

在數學研究領域中，不論我們是在討論其規律還是性質，一般最終達到的目的就是對空間事物的各種「量化」運算結果。在自然數這一系統中，當我們從頭再來對「數數計數」這種方法進行研究或討論時，將會使我們驚奇地發現，「數數計數」與自然數之間，竟存在著人們從來未有認識到的許多非常有趣的性質與規律，甚至可以讓我們達到拍案叫絕的瘋狂程度！（這也是作者幾十年來未能放棄研究的主要原因）而「數數計數」所表現出的這些重要性，不僅是維繫自然數整體性質與規律的一種系統模型和基本方式，也將激發我們產生更多的聯想思維和靈感。所以，對「數數」這一簡單的計數方法進行探討，是對自然數這些性質進行追根問底的研究方法。一旦這些性質與規律被我們掌握，對於數學的應用範圍或一些自然科學的發展將是一個劃時代的突破。因為通過對「數數計數」探討時可以使我們了解到，其所表現出的規律與性質在很大程度上表明，在這種創新的數學模型中，則表現出存在著如下的情況：自然數的應用，將不再是一種單純而抽象的運算形式，在「數數計數」這一系統模型中，它本身就在很大程度上存在著具有可能成為研究自然界某些事物或現象變化規律與性質的重要方法。以前如果對整數性質的探討，是一種研究自然數中的計算、計序、計數、排列、組合、性質等不同方法；創新數學則是一種通過「數數計數」與自然數之間的關係，討論自然數本身包含的數與數之間的結合、數與數之間的關係、規律、性質、不同對應關係的形成、不同分布周期、不同分布形式、因子的各種表現形式、倒數規律、互數規律、不同模數的創建與性質等各種內在因素。這兩種不同的數學研究方法，雖然都是在探討自然數這種抽象的數學知識，但對自然數所表現出來的後一種具體內容我們卻了解甚少。因自然數的產生源於對空間事物的認識，因此，對自然數後一種性質的研究，其表現出的某些性質、規律，也同樣可直接對應於空間事物，通過「數數計數」這種對自然數列內的微觀性質進行研究，在對新發現的這些性質得到充分認識後，「數」的一些性質、規律與某些空間事物之間將建立起更為科學的數學表達關係。

在科學研究中，總是脫離不了數學的參與，或把數學稱為是「科學研究之母」，或把數學作為我們學習知識時的基本學科，無一不與數的這種基本性質有關。作為伴隨人類應用了幾千上萬年的自然數這種抽象的數學形式，我們對其本身的內部規律、性質卻研究甚少，更談不上在科學研領域中，對「數」本身就存在的這些性質的應用。在創新數學研究中，根據自然數表現出的這些性質，將會成為科學研究中，一種新的有力工具。

「數數計數」作為人類從蒙昧時期進入文明社會的一種文化現象，並在此基礎上逐步發展為現代化高科技時代，從計算機的普及與數碼產品和多媒體的廣泛應用，然而對「數數計數」這一最原始最基本的數學形式則沒有深入地研究。在從兒童時代就已認識的「數數計數」這一數學方法，當我們成長為某某「大家」時，卻不了解這種基本知識的性質，這不能不讓我們為此種現象感到汗顏。在人類現在認識的所有自然科學研究領域中，作為最基礎的數學形式，經過幾千年這樣漫長悠久的歷史而沒有得到充分的認識或研究，在其它科研領域內，這種現象是很少存在的。

「自然數」，作為人類認識自然了解自然的一種特殊抽象的數學形式，在使用「數數計數」方法形成的過程中，當對「數」與」數「兩者之間的關係進行過認真地研究後，對於自然數列本身存在的某些性質與規律，將會得到全面的認識，同時也將知其性質、規律形成的必然關係。在數學領域研究中，對於像「哥德巴赫猜想」等有關素數問題的研究，自然數列中為什麼會產生諸如「猜想」等這樣的問題，我們不是去多問幾個為什麼，而是一味地想方設法地去做出證明，這不能不讓我們對數學中存在的某些問題產生一種神秘感。單純用數學語言作為研究數學工具，這種方法即便做出證明結果，我們也很難了解形成這種性質的真正原因。如果在不了解自然數中產生這種規律的原因前提下，而只是應用現有的數學方法和工具去進行證明，形成難以克服的困惑也就成為一種必然結果。

在數論研究中，人們如果不是囿於對高級數學的研究，而是對數學中表現出的不同性質不斷地提出為什麼，那麼，我們這時就會很容易發現在數學研究中存在著一些奇怪的現象。如在關於素數的某些問題討論時，既是在研究與討論偶數中，有關素數的個數相加之和時的多少問題，或者是一個合數所含素因子個數多少的問題，我們同樣在前面提到的所有數學資料中，找不到關於偶合數或者奇合數中，它們所含素數因子個數多少的原因是什麼？因子與積數之間所存在的關係說明了自然數中的什麼樣的性質？被除數、除數、商數、因子、餘數之間存在的關係，它們有著什麼樣的性質與規律？素數或素數因子是怎樣形成的？素數在自然數列中的分布是怎樣一種規律？素數為什麼只能被『 1 』或其本身這兩個因子所整除?合數中所包含的不同個數的那些因子又是怎樣形成的？一個素數平方數中的三個因子之間是否也存在著特殊不同的關係？（如：25 = 1×5×5 49 = 1×7×7 … ，在「數數論」表現出的性質，並不像我們一般想像的那樣簡單）當一個合數中含有兩個以上的素數因子時，這些因子是以什麼樣的規律結合在一起的？對自然數這些明顯的基本性質都未能夠做出圓滿的解釋，而卻利用所謂高深的解析數論方法去證明哥德巴赫猜想存在的可能性，這很難認為是一種科學的研究方法。例如素數：13＝1×13 偶合數：18 =2×3×3 奇合數：21 = 3×7 含多個因子的合數：364=2×2×7×13 2618 = 2×7×11×17 可見，不同合數中所含素因子個數的多少，與這個合數大小無關，而直接去證明哥德巴赫所提出的凡大於 6 的每個偶數是否都能夠用兩個素數之和來表示，或證明大偶數中所含素因子個數乘積之和的多少問題，在對自然數以上這些性質或基本規律都不了解的情況下，其盲目性是不言而喻的。正是這種盲目性，導致數學家們難以指出今後「哥德巴赫猜想」正確的研究方向是什幺。

作為創新數學自然數原本《數數論》的研究中，它所表現出的性質與規律，就是這樣一種特殊的數學模型。在對以上所提到的問題，基本上都可以從中找到相對應的規律與性質。在本書中有關素數與偶數之間所形成的規律也是顯而易見的。從這些規律中，我們不僅知其然也會知其所以然，在《數數論》中所討論的規律和性質，它不是指證明大偶數可用兩個素數之和來表示，而是從客觀上揭示出在自然數列中的所有偶數，都能夠用兩個素數之和進行表示的這種普遍規律或其性質存在的本質。因此，對於哥德巴赫猜想來說，揭示出關於素數與偶數之間在自然數列中存在的這些性質與規律，這將不證自明，有充分理由說明哥德巴赫當時所提問題的正確性。這是自然數本身從產生時所形成的一種必然性質與規律。對創新數學《數數論》的研究，將綜合提升數學研究理論的水平。

《數數論》里，在對自然數的討論中，它不但涉及到素數、合數、因子這些數的性質，同時也涉及到除數、被除數、商數、餘數、乘數、被乘數、積數等貫通於整個算術中的基本性質與具體規律。當漫步在《數數論》這一數學處女地時，將使我們感到自然數與「數數計數」兩者之間所存在的性質與規律，具有不可分割的緊密關係。這不僅使我們對自然數有了一個全新的認識或全面的了解，同時也將使我們對數學的應用領域，會擴大到一些新的科學研究範圍。在對這種創新數學探討的整個過程，所發現的一些新的性質與規律已有跡象表明，對自然數這些規律與性質的研究、開發與運用，已不僅僅限於對算術領域範圍內的討論，它也將對自然界中所存在的某些現像與表現形式，形成一種新的研究工具或引起更多創新理論的誕生。

《數數論》這一數學模型，還在於也是一種創新「篩法」。在該篩法中，不但可以了解到素數分布的一些具體情況，同時在這一篩法中進行篩選素數時，最重要的它不是建立在乘法或除法的性質上篩選素數，而是直接用簡單的加法形式進行篩選的。這是根據自然數本身存在的基本性質，通過其客觀規律所決定的。顯然這種篩法與其它任何篩法比較，有著本質上的不同，在這種創新篩法中，當作為對自然數進行判別素數時的一種方法時，並可根據篩選範圍大小而改變運算程序，相對地會使運算程序範圍大量縮小。根據這種的篩法性質，我們對不同數學研究範圍的需要，隨時都可以從中找到篩選素數時的最佳計算規律或計算方案及計算公式。它的靈活性，這同樣是其它任何篩法所不能辦到的。

在《數數論》中，同時也有跡象表明，自然數列中的一些組成規律或其分布方式本身中，還具備不同螺旋形式的分布規律，這充分表現出自然界中某些螺旋規律存在的必然性。因此，這種新的數學模型很可能對具有這樣螺旋結構的自然現象，將成為一種定量化的研究方法。因為用數學模型解釋某些自然現象時，其表現形式更具有科學性或研究價值。如生命遺傳密碼那樣各種不同類型的螺旋結構形式，當用數學模型表現時，很可能作為用數學研究生命時代的到來；再例如從上世紀 60 年代起，就有科學家在進入天體物理的研究領域後，創立了星系螺旋結構的密度波理論並克服了困擾天文界數十年的「纏卷疑難」，進而發展了星系旋臂長期維持的動力理論，因此，《數數論》中表現出某些數的螺旋分布形式，也很可能對星系這種螺旋結構形式會產生某些影響；航天科學創始人科學家錢學森的最大興趣是完成《系統學》的新的理論思想。當在《數數論》中看到具有不同性質的自然數之間，它們所表現出的嚴謹系統關係時，不能不為《系統學》這種新的理論思想所折服。

在《數數論》這一模型中還可以找到其它一些具有不同性質或規律模型的多種表現形式，從表面上看，這一模型中的規律雖然十分複雜，但每種規律、形式都是唯一的，即這種模型內根本就不存在估計、逼近、近似、假設等這些不確定因素。對自然數列中這一無限多的數，不論取任意 n 值內的自然數為研究範圍，即使是其中任何一個素數或合數的因子在篩選過程中出現問題，都會很容易地被發現出來。因《數數論》作為一種嚴謹的系統模型，當用於計算機的程序設計時，也將會產生某種新的設計程序與方法。同時根據其不同規律與性質，也很容易產生新的密碼技術。不論從以上那方面來看，在對《數數論》這一創新的數學體系研究中，它不同於現代任何數學的研究方法，對這一創新數學的研究，將會成為現代創新科學研究中的一種助推工具。

在對這一「數學中的處女地」的研究中，因第一次認識這種系統的數學模型或工具，作者雖經過幾十年的深入探討，作為研究數與數之間，數與數之間的複雜關係或規律的一種創新方法，雖取得一定研究成果，但對各種不同性質的自然數之間所存在的複雜關係或規律，也並不可能會得到全面地了解。作者在幾十年研究的實踐中深深地體會到，在對這種數學模型的研究中，它像一座永遠開採不盡的金礦一樣，每發現一個規律後，又會接著發現另一個規律。在《數數論》里的所有規律都是通過這樣一個接著一個被逐漸發現的，它不具有任何人為因素的參與，也不是人們不曾了解的性質或規律。相信今後還會根據《數數論》中的方法，逐漸不斷地發現自然數中更多的性質與規律。在這種具有系統的數學模型與研究方法中，也必將會應用到其它不同的科學研究領域。對《數數論》這一創新數學的研究，在某些數學或自然科學研究中，也將會成為數學研究中具有深遠意義的有力工具，成為數學研究工作或數學研究者，開創更為廣闊的創新思維平台。

數學是其它學科的理論儲備。有太多的數學知識實在百年後用於實踐。

可以用來開發二維碼

當初相對論被提出來時，有人覺得有用嗎？

因為必須證明它是正確的，嚴格的說，它是在什麼條件下正確的。我們的很多應用都是在假設它正確的情況下延伸出來的，但是萬一有一種情況下，它錯誤了呢？那產生的後果將會有多嚴重。真理是絕對的，也是相對的，就像平面幾何定義在空間中產生的錯誤一樣。所以證明哥德巴赫猜想是人類追求真理，認知真理的過程，不贊同尋找人類極限，好奇心驅動的說法，體育競技的極限也是人類對自身構造的一種多方位探究的道路，極限是人類無限趨近於真理的目標。

結果不重要，過程才重要，因為這不是個填空題。看不看能有新方法，當然該方法必須基於必須滿足的數學基礎，重要的是方法。一旦被解出來，也只是個定理，其實完全可以仿照牛頓第一定律總結，可牛頓第一定律是物理學基礎，而哥猜並不是數學基礎，即若未證明，不能成為定理，但說實話，你把它當定理用，天也不會塌下來，但過多的關注導致如果貿然將其當做定理，會引起很多反對，甚至會使某些別有用心的人鼓吹類似民科等反智言論，於是就把它當做一個招牌，吸引更多的人投身數學研究。

解決這個問題的過程的意義遠遠大於解決這個問題的結果

數學這種東西，是基礎性學科，你非要讓Tag 出一個貢獻是很瞎扯的事情，又不是應用科學，還是有些功利了。不過往往基礎理論學科的成果，往往會影響到相關應用學科的突破，拭目以待吧

實際意義說不準，重要的是在解決猜想而創立的理論或研究成果。例如，一隻會下金蛋的雞——費馬大定理。

可以看看數學史和物理史，在攻克它的過程中，誕生了太多太多影響人類社會進程的東西了。哥德巴赫猜想對人類社會當然有重大的推動作用。

對人類社會確實沒有太大的推動作用，或者說至少目前沒有看出有什麼太大的作用。所以現在的數學家也不是很積極的投入去證明。好像是說在指望著理論體系上有什麼突破，可以解決很多新問題的時候」順帶「把它給解決掉

從某個側面來看我覺得這個即使被證明了不能給人類社會帶來直接實質的推動作用，但是就像我們去探尋宇宙從哪裡來，我們為什麼是人不是別的形態一樣，可能讓我們的思維發展能夠更進一步。

1：哥德巴赫猜想（屬於數論）本身就可以非常的有用。

2：證明了哥德巴赫猜想的結論本身沒有，但是證明過程可以產生很多方法。

解不開這些數學難題，全人類都活在舊觀念之下，所有文明都追不上時代，更沒說有健康人類出現

歌德巴赫是一個名不見經傳的數學家，歌德巴赫猜想不論在藝術性還是奇妙性上都比不過黎曼猜想

數學應該是純粹的，如果一個定理在數學以外的地方有了應用，我認為這個定理就被污染了，這一點上我與哈代是一致的，很多卑鄙的人把數論應用到密碼學計算機，使人有一種砸電腦的衝動。

陳浩：

顯而易見？沒有用處？

上世紀30年代，人類首次跑進11秒大關。當時，就有科學家預測，人類的極限不會突破10秒。但是現在能跑進10秒的比比皆是。不挑戰怎麼知道極限？