從正方體的一個頂點出發，沿著棱到達另一個頂點，經過n條棱後首次回到出發點。求n的數學期望？

01-05

從每個頂點的出發方向隨機，n≠0。
如果是正四面體、正八面體，數學期望又是多少？
在思考骰子翻多少面能回到初始面時想到的。

考慮一個圖G,寫出它的鄰接矩陣M,計算以M為轉移矩陣的離散馬爾科夫過程...

該過程以起點為終點的首達分布之期望即為所求...

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正方體與正方體圖

鄰接矩陣

$left( egin{array}{cccccccc} 0 1 1 0 1 0 0 0 \ 1 0 0 1 0 1 0 0 \ 1 0 0 1 0 0 1 0 \ 0 1 1 0 0 0 0 1 \ 1 0 0 0 0 1 1 0 \ 0 1 0 0 1 0 0 1 \ 0 0 1 0 1 0 0 1 \ 0 0 0 1 0 1 1 0 \ end{array} ight)$

以起點為終點的首達分布:

$p(k)=left{ egin{array}{ll} 2× 3^{1-k} 7^{frac{k}{2}-2} left((-1)^k+1 ight) k=1lor k>2 \ frac{1}{3} k=2 \ end{array}<br /> ight.$

期望: $E(n)=8$

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全部算一遍得到,正四面體4步,正六面體8步,正8面體6步,正十二面體20步,正20面體12步......

似乎有什麼深層聯繫......令人困惑............

正方體共有 8 個頂點。選定一個特定的頂點 A 後，剩下的頂點可以分為 3 類：3 個頂點與 A 間隔 1 條邊、3 個頂點與 A 間隔 2 條邊，1 個頂點與 A 間隔 3 條邊。從每個頂點出發，下一個頂點都有 3 種選擇。

設從 A 出發，回到 A 的期望步數為 a；從與 A 間隔 1, 2, 3 條邊的頂點出發，達到 A 的期望步數為 b, c, d。可以列出方程組：

$left{egin{align} a = 1 + b \ b = 1 + 2c/3 \ c = 1 + 2b/3 + d/3 \ d = 1 + c end{align} ight.$

解得 a = 8, b = 7, c = 9, d = 10，所以從 A 出發回到 A 期望需要 8 步。

正四面體、正八面體的情況留作練習。

期望的話不難，列個方程組就行了，每個節點的期望是相鄰節點走回原點的步數的平均值加1。也可以用馬爾可夫鏈，可以算出具體多少步走回來的概率分布。這題應該有過了。

這個問題很簡單，只需要用到隨機過程的一個結論。不可約馬氏鏈，從一個頂點出發到達該頂點的首入時的期望等於從該點出不變分布的倒數。

對於正多面體而言，每個頂點上的不變分布等於頂點數的倒數。

所以首入時的期望等於頂點數，立方體的話就是8

如果是骰子翻面的話相當於把6個面當作頂點來看，也就是正八面體的情況所以是6。