如何證明ln10是無理數？

01-05

出於好奇。。。
問題來源，如何證明一個無理數的無理數次方是有理數。有人給出了根號二的說明。
而又有人說，因為e是無理數ln10也是無理數。

好奇如何說明ln10是無理數。怎麼感覺不帶根號的都不好寫成p/q的形式，然後用數論來說明。

首先當然嘗試一下反證法，反設ln10=p/q是有理數，那麼有10=e^(ln10)=e^(p/q)也就是10^q=e^p，e是方程x^p=10^q的解，然而我們知道e是超越數，不可能是整係數方程的根，矛盾。

實際上，由林德曼-魏爾斯特拉斯定理，如果ln10是代數數，那麼e^(ln10)=10是超越數，矛盾，所以ln10不僅是無理數，而且是超越數。

ln10=p/q =&> e^p=10^q

因為p,q都是整數

導致等式左邊必定是小數,右邊必定是整數

不成立

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因為e是超越數,所以e的整數次方一定是小數

為什麼e是超越數?

恩,我不會證⊙▂⊙

首先設ln10=p/q，p，q互質，則e^p/10^q=1，因為e^p首先不能整除10，更談不上與10^q相等，假設不成立。ln10是無理數。

或令ln10=x，則e^x=10；而

反證能用p/q表示，再不等式放縮證明。