在邊長為1的正方形中隨機取三個點，構成三角形的面積期望是多少？

01-05

問題來源：CodeVS交流群
自己重寫了驗證程序，答案確實在0.076左右。
另外，隨機選取點的方式是：
(x=rand[0,1],y=rand[0,1])，選取兩個實數。

答案是 $frac{11}{144}$ 。

更新了一個圓內三角形面積期望值是 $frac{35}{48pi}$ ，在最後。

第一步先想到的肯定是多重積分。

積分內部必然是一個用三點坐標寫成的面積公式，剛剛好有這個公式。

假設三點為 $A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2),C=(c_1,c_2)$ ,

則面積是 $S=frac{1}{2}left| {egin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}{{a_2}}1\{{b_1}}{{b_2}}1\{{c_1}}{{c_2}}1end{array}} ight| =frac{1}{2}|{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1} - {a_1}{c_2} + {a_2}{c_1} + {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}|$ .

但是這個積分

$int_0^1 {int_0^1 {int_0^1 {int_0^1 {int_0^1 {int_0^1 {Sd{a_1}d{a_2}d{b_1}d{b_2}d{c_1}d{c_2}} } } } } }$

是沒法手算的,因為絕對值所需區分的區間太多了。

積分內部應該還有一部分是probability density function（概率密度函數,簡稱pdf）,因為這6個變數是獨立的，所以總的joint pdf就是各自的pdf相乘，但是他們都是1，所以可以忽略。

這條路走不通那就硬算，但是利用對稱性簡化一下計算量。

一. 分情況

這三個點的橫坐標的大小順序一共有六種，每種情況沒什麼區別，算其中一個積分就行，得到的答案乘以6就是最終答案。

下面只考慮 $a_1<b_1<c_1$ 的情況，

換句話說， $B$ 點在 $A$ 點和 $C$ 點的中間那條 $x=b_1$ 這條線上。

這時候考慮 $AC$ 交 $x=b_1$ 於 $D$ 點，

$b_1=(1-t)a_1+tc_1$

那麼 $q=(1-t)a_2+tc_2$

因為 $OD=(1-t)OA+tOC=(egin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\qend{array}) = (1 - t)(egin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}\{{a_2}}end{array}) + t(egin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}\{{c_2}}end{array})$ .

當然 $q$ 也可以直接寫成關於 $a_1,a_2,b_1,c_1,c_2$ 的函數

$S = frac{1}{2}({c_1} - {a_1})|{b_2} - q|$

二.按順序對6個變數積分

首先對 $b_2$ 進行積分，在這裡 $q$ 是常數。

$E_1=int_{0}^{1} frac{1}{2}({c_1} - {a_1})|{b_2} - q|db_2$ $=frac{1}{2}({c_1} - {a_1})(int_{0}^{q} q-b_2db_2+int_{q}^{1} b_2-qdb_2)$ $=frac{1}{4}({c_1} - {a_1})(1-2q+2q^2)$

再對 $b_1$ 積分

$E_2=int_{a_1}^{c_1} E_1db_1$ $=int_{a_1}^{c_1} frac{1}{4}({c_1} - {a_1})(1-2q+2q^2)db_1$ $(b_1=a_1+t(c_1-a_1),db_1=(c_1-a_1)dt)$ $= frac{1}{4}(c_1-a_1)^2 int_{0}^{1}1-2q+2q^2dt$

接下來因為 $q=a_2+t(c_2-a_2)$ 是 $a_2,c_2,t$ 的函數而已，右邊那部積分部分跟 $a_1,c_1$ 沒關係。

然後對 $a_1$ 從 $0$ 積分到 $c_1$ ，再對 $c_1$ 從 $0$ 積分到 $1$ ，再對 $a_2,c_2$ 積分，寫成

$E_3=frac{1}{4} int_{0}^{1} int_{0}^{c_1} (c_1-a_1)^2da_1dc_1 imesint_{0}^{1} int_{0}^{1}int_{0}^{1} 1-2q+2q^2dtda_2dc_2$ $int_{0}^{1} int_{0}^{c_1} (c_1-a_1)^2da_1dc_1=int_{0}^{1} frac{1}{3}c_1^3 dc_1=frac{1}{12}$

$int_{0}^{1} int_{0}^{1}int_{0}^{1} 1-2q+2q^2dtda_2dc_2$ $=int_{0}^{1} int_{0}^{1}int_{0}^{1} 1-2(a_2+t(c_2-a_2))+2(a_2+t(c_2-a_2))^2dtda_2dc_2$ $=int_{0}^{1} int_{0}^{1}int_{0}^{1} 1-2a_2+2a_2^2+t(-2c_2+2a_2+4a_2c_2-4a_2^2)+t^2(2a_2^2-4a_2c_2+2c_2^2)dtda_2dc_2$ $=1 - frac{2}{2} + frac{2}{3} + frac{1}{2} imes ( - frac{2}{2} + frac{2}{2} + frac{4}{4} - frac{4}{3}) + frac{1}{3} imes (frac{2}{3} - frac{4}{4} + frac{2}{3})$ $=frac{11}{18}$

所以最終期望是

$E_4=6E_3=6cdot frac{1}{4} cdot frac{1}{12} cdot frac{11}{18} =frac{11}{144} approx 0.07638888$

貼一個模擬，

模擬結果是0.0762564，相當接近。

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下面簡寫一下在單位圓內取三角形。

只要思考稍微久一點，利用圓的對稱性，基本上都能想到把情況簡化到以下這種，

固定點 $C$ 在 $(1,0)$

先計算出這時期望值，假設為 $s$ ,

讓 $M=max{|A|,|B|,|C|}$ ,如果你稍微懂一些概率分布，應該知道CDF是 $x^6$ ,那麼PDF是 $6x^5$ .

$mathbb{E}(A)=int_0^1mathbb{E}(A|M=r) imes6r^5dr=int_0^1sr^2 imes6r^5dr=frac{3s}{4}$

那麼問題只剩下算出 $s$ ,這時我們要尋找一下能夠利用角度表示三角形面積的公式。

第一個進入腦海中的自然是 $frac{1}{2}absin(alpha)$ ,這裡 $a,b$ 指的是三角形兩條邊的長度然後 $alpha$ 指的是這兩條邊的夾角。

我們思考下如何利用這個公式，比較直接的想法是，考慮 $riangle AOB, riangle AOC, riangle BOC$ 等等，但是要分圓心是否在三角形內兩種情況，如果再仔細思考會發現還有更多種情況，很麻煩，放棄。

那麼暴力一點就是考慮 $frac{1}{2} AC imes BCsin(angle ACB)$ ,這個公式只分兩種對稱情況 $alpha >eta$ 和 $eta >alpha$ ，但是用我們的坐標表達出來特別麻煩，這時候狠下心，把坐標系改成以 $C$ 點為原點的極坐標那麼就很好表達了。

剩下的就是寫下表達式然後計算我就不說了，Mathematica積分算出來是 $s=frac{35}{36pi}$ .

總期望是 $frac{3s}{4} =frac{35}{48pi} approx 0.232101$

再貼一個模擬，

模擬的結果是0.232216，挺接近的。

在圓內能否用四條直線割成九塊面積相等的部分？ - Lancewu 的回答

圓內能否用四條曲線割成九塊面積相等的部分？ - Lancewu 的回答

在一個平面內n條直線和1個圓最多能把一個平面分成幾部分？ - 數學

感謝 @Lancewu 很優雅的證明。

我來驗證這個證明是對的：%三行蒙特卡羅[MATLAB]

n=100000000; area=@(x1,x2,x3,y1,y2,y3)((1/2)*(x1.*y2+x2.*y3+x3.*y1-x1.*y3-x2.*y1-x3.*y2)); mean(abs(area(rand(1,n),rand(1,n),rand(1,n),rand(1,n),rand(1,n),rand(1,n))))

其中 area 是求面積的依照下式定義

$area=frac{1}{2}left| {egin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}{{x_2}}1\ {{y_1}}{{y_2}}1\ {{z_1}}{{z_2}}1 end{array}} ight| =frac{1}{2}|{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1} - {x_1}{z_2} + {x_2}{z_1} + {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}|$ .

n是所取的三角形個數，取過面積之後求平均

運行了三遍

結果分別是：

0.076386375473171105876524222821899

0.076382214877171686340240341905883

0.076386090994591787639578228663595

而解析的期望11/144 = 0.07638888888.....

已經非常接近了

The expected area of a triangle formed by three points randomly chosen from the unit square

Expected area of triangle formed by three random points inside unit circle

按照這個題目下的回答

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的概率？ - Aria 的回答

Sylvester"s four-point problem 在正方形下的情況，知道正方形內隨機4點構成凸四邊形的概率是25/36.

就是說任取四點，有一點在另外三點內的概率有11/36. 那麼任意四點，其中一點落在另外三點的三角形內的概率就只有11/36的四分之一，就是11/144.

其實用excel就能算出，前6列，每兩列表示一個點坐標=Rand()

第GHI列，勾股定理求三邊長度=sqrt(A1*A1+B1*B1)

第J列用GHI列求半周長

第K列用已知三邊求面積公式

取1000組

求K列平均值。