如果博弈中只有唯一純策略納什均衡，是否意味著不存在（完全）混合策略均衡？

博弈論

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謝@劉銳邀

可惜啊，題主的猜想是錯誤的。存在這樣一個博弈，只有一個純策略納什均衡，但還存在其它（完全）混合策略納什均衡。

話說我有兩個朋友，L和R。在一個陽光明媚的早晨，他們決定來我家玩「Meet Penny」遊戲。什麼叫「Meet Penny」遊戲呢？就是猜硬幣，R將一枚一元硬幣攢在手裡，L猜是正面還是反面，猜對了R給L一元，猜錯了L給R一元。

聰明的L和R早就知道這個遊戲沒有純策略納什均衡，只存在一個混合策略納什均衡。且說這天我突發奇想說：「這遊戲太無聊了，咱來加點變化。保留原來的遊戲規則，咱再來加幾條規則。現在R可以在手裡什麼也不放，L也可以猜R手裡是空的。如果R手裡什麼也不放，而L又猜對的話，作為裁判的我就給你們每人10元。可是如果R手裡是空的，L卻猜了「正」或「反」的話，你們每個人給我10元。類似的，如果R手裡有硬幣，L卻猜R手裡是空的的話，你們也每人給我10元。」

學過博弈論的L和R聽了覺得新奇，向我借了一張草稿紙，畫了個3x3的支付矩陣的草圖，發現只有一個純策略納什均衡（R手裡是空的，L猜對），此外還存在原來Meet Penny的混合策略納什均衡。

本故事並非虛構，有圖為證：

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這個題目不錯。

在對稱二人博弈下，如果每個人都只有兩個策略，那麼這個結論是成立的。

比如說有兩個人，小明和小紅。小明可以選上和下，小紅可以選左和右。支付矩陣是

a b

c d

現在設，（上，左）是唯一的純策略納什均衡。於是我們可以推出：。

然後，有一個混合策略均衡：小明以的概率選上，小紅以的概率選左。如果兩個混合策略都是退化的，那就退回純策略了，所以至少有個人不是。因為兩個人是對稱的，不妨設小明的混合策略是非退化的，即

第一種情形，小紅的策略完全退化到左，即。小明選擇混合策略，說明他在兩個策略下的支付是一樣的，不然就會選擇支付更大的那個策略，這樣就推出了。於是對於左，下也是最優反應。由於要求（下，左）不是納什均衡，所以左絕對不能是下的最優反應，推出。結合前面的，得出。所以（下，右）是納什均衡，矛盾。

然後考慮其他情形。小明選上得到，選下得到。前面說了，混合策略納什均衡的性質是這兩個要相等。然而，要讓這兩個相等必須有。然後再看小紅，選左得，選右得。，要讓這兩個相等必須有。所以（下，右）是納什均衡，矛盾。

證畢。

但是多人博弈就沒這麼容易推了，應該不成立。如果還是二人博弈，但有人的策略數至少3個呢？顯然由這個推理就可知，只要有混合策略以0的概率取納什均衡策略就行了。這就是 @曉風殘月舉的反例。

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題主直覺的方向沒錯，任何有限博弈必有奇數個納什均衡。

@曉風殘月的博弈矩陣有三個納什均衡（除了舉例用的兩個，還有一個（1/3,1/3,1/3）的混合策略納什均衡）

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For two players, each has two strategies (two-by-two) game, if you can prove the existence of unique pure strategy N.E., then usually no.

If there exist even number of pure strategy equilibria, there must be at least a mixed strategy equ. as the total number of equilibria should be odd.

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暈，上學期期末還都懂的題目，怎麼半年一過全忘了.....回家翻筆記複習去。

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一般來說一個博弈中 可能存在奇數個納什均衡（包括純策略納什均衡和混合策略納什均衡）就是所謂的博弈奇數定理 所以題主的猜想是錯誤的 還可能至少存在兩個混合策略納什均衡 奇數定理的證明比較複雜 下次參考文獻 有機會再補充 希望採納 謝謝

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一直覺得 量不變的情況下 多數玩零和 拳頭足夠大 就均衡

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據說，

在一個博弈中大多數情況下有奇數種均衡（包括純策略和混合策略），但有一種純策略均衡並不代表沒有混合策略均衡。以及樓上的栗子真是好：）

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