如果博弈中只有唯一純策略納什均衡,是否意味著不存在(完全)混合策略均衡?

博弈論


謝@劉銳邀

可惜啊,題主的猜想是錯誤的。存在這樣一個博弈,只有一個純策略納什均衡,但還存在其它(完全)混合策略納什均衡。

話說我有兩個朋友,L和R。在一個陽光明媚的早晨,他們決定來我家玩「Meet Penny」遊戲。什麼叫「Meet Penny」遊戲呢?就是猜硬幣,R將一枚一元硬幣攢在手裡,L猜是正面還是反面,猜對了R給L一元,猜錯了L給R一元。

聰明的L和R早就知道這個遊戲沒有純策略納什均衡,只存在一個混合策略納什均衡。且說這天我突發奇想說:「這遊戲太無聊了,咱來加點變化。保留原來的遊戲規則,咱再來加幾條規則。現在R可以在手裡什麼也不放,L也可以猜R手裡是空的。如果R手裡什麼也不放,而L又猜對的話,作為裁判的我就給你們每人10元。可是如果R手裡是空的,L卻猜了「正」或「反」的話,你們每個人給我10元。類似的,如果R手裡有硬幣,L卻猜R手裡是空的的話,你們也每人給我10元。」

學過博弈論的L和R聽了覺得新奇,向我借了一張草稿紙,畫了個3x3的支付矩陣的草圖,發現只有一個純策略納什均衡(R手裡是空的,L猜對),此外還存在原來Meet Penny的混合策略納什均衡。

本故事並非虛構,有圖為證:


這個題目不錯。

在對稱二人博弈下,如果每個人都只有兩個策略,那麼這個結論是成立的。

比如說有兩個人,小明和小紅。小明可以選上和下,小紅可以選左和右。支付矩陣是

a b

c d

現在設,(上,左)是唯一的純策略納什均衡。於是我們可以推出:ageq b, ageq c

然後,有一個混合策略均衡:小明以p的概率選上,小紅以q的概率選左。如果兩個混合策略都是退化的,那就退回純策略了,所以至少有個人不是。因為兩個人是對稱的,不妨設小明的混合策略是非退化的,即0<P>。</P></p>
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第一種情形,小紅的策略完全退化到左,即q=1。小明選擇混合策略,說明他在兩個策略下的支付是一樣的,不然就會選擇支付更大的那個策略,這樣就推出了a=c。於是對於左,下也是最優反應。由於要求(下,左)不是納什均衡,所以左絕對不能是下的最優反應,推出c<d。結合前面的ageq b,a=c,得出d>b。所以(下,右)是納什均衡,矛盾。

然後考慮其他情形。小明選上得到qa+(1-q)b,選下得到qc+(1-q)d。前面說了,混合策略納什均衡的性質是這兩個要相等。然而ageq c,要讓這兩個相等必須有dgeq b。然後再看小紅,選左得pa+(1-p)c,選右得pb+(1-p)d。,要讓這兩個相等必須有dgeq c。所以(下,右)是納什均衡,矛盾。

證畢。

但是多人博弈就沒這麼容易推了,應該不成立。如果還是二人博弈,但有人的策略數至少3個呢?顯然由這個推理就可知,只要有混合策略以0的概率取納什均衡策略就行了。這就是 @曉風殘月舉的反例。


題主直覺的方向沒錯,任何有限博弈必有奇數個納什均衡。

@曉風殘月的博弈矩陣有三個納什均衡(除了舉例用的兩個,還有一個(1/3,1/3,1/3)的混合策略納什均衡)


For two players, each has two strategies (two-by-two) game, if you can prove the existence of unique pure strategy N.E., then usually no.

If there exist even number of pure strategy equilibria, there must be at least a mixed strategy equ. as the total number of equilibria should be odd.


暈,上學期期末還都懂的題目,怎麼半年一過全忘了.....回家翻筆記複習去。


一般來說一個博弈中 可能存在奇數個納什均衡(包括純策略納什均衡和混合策略納什均衡)就是所謂的博弈奇數定理 所以題主的猜想是錯誤的 還可能至少存在兩個混合策略納什均衡 奇數定理的證明比較複雜 下次參考文獻 有機會再補充 希望採納 謝謝


一直覺得 量不變的情況下 多數玩零和 拳頭足夠大 就均衡


據說,

在一個博弈中大多數情況下有奇數種均衡(包括純策略和混合策略),但有一種純策略均衡並不代表沒有混合策略均衡。以及樓上的栗子真是好:)


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