在三個同心圓上分別取一個點連接成三角形，何時面積最大？何時周長最大？

拓展：在n個同心圓上分別取一個點連成n邊形，何時面積最大？何時周長最大？

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--update1

分別設三個圓的半徑為

易知如果固定較小圓上的兩個定點（不妨設為A，B），則大圓上的點C是過O點垂直AB與大圓的交點中的一個……這樣的話可以枚舉大圓的的弦，且該弦與圓心距離d小於最小圓半徑的弦，則這條弦與較小兩個圓有一共4個交點（每個較小圓各2個），很顯然取最長的那一條（由於對稱性顯然，而且長度可以根據弦長計算出來，並不需要解方程），然後就變成固定弦怎麼取內接三角形面積最大（也是顯然……）。

三角形的情況就愉快的解決了……

有圖有真相

擴展情況容我繼續腦洞

------原答案

一個腦洞，不一定對

分成三個小三角形的面積和，每個三角型的兩條邊是固定的（同心圓的半徑），然後變成三角函數的極值問題

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設圓心角為α1，α2，α3，和為2π

則三角形面積是S=1/2(R1R2sinα3+R2R3sinα1+R3R1sinα2)

對α1和α2求導

1/2R2R3cosα1-1/2R1R2cosα3=0

1/2R3R1cosα2-1/2R1R2cosα3=0

R3cosα1=R1cosα3

R3cosα2=R2cosα3

即cosα1/R1=cosα2/R2=cosα3/R3

注意到如果三個角的cos值均大於零，則和至多為3π/2

故三個角都是鈍角

令上式=k，和差化積

kR3=kR1*kR2-sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)

sqrt(1-k^2R1^2)sqrt(1-k^2R2^2)=k^2R1R2-kR3

(1-k^2R1^2)(1-k^2R2^2)=(k^2R1R2-kR3)^2

1-k^2R1^2-k^2R2^2+k^4R1^2R2^2=k^4R1^2R2^2-2k^3R1R2R3+k^2R3^2

2R1R2R3 * k^3 - (R1^2+R2^2+R3^2) k^2 + 1 = 0

注意到k趨於負無窮時左式為負無窮，k=0時為1，所以必有負解。

求導得6R1R2R3k^2-2(R1^2+R2^2+R3^2)k=0

k1=0 k2=(R1^2+R2^2+R3^2)/3R1R2R3，0是極大值，故負解唯一。

以上是n=3的情況。

update:

某一位匿名用戶的回答很贊啊，用調整法，則O到一點的半徑一定垂直於相鄰兩條半徑的末端的連線：

1. 在三角形的情況下O一定是垂心。

2. 在四邊形的情況下四個內角都是90度，所以四邊形面積最大值是1/2(R1+R4)(R2+R3)。

n&>=5待更

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注意到圓的半徑是不變的。把三個小三角形的面積用半徑以及半徑之間的夾角表示（公式

1/2absina)，目標是使大三角形面積達到最大，而三個夾角加起來等於360°。

條件極值問題，自己解。

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注意O是垂心

update

周長最大的時候O是內心

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不要問到一半改問題啊

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三角形的情況有人解了:O是垂心時面積最大，O是內心時周長最大.

我研究下n個同心圓的情況...為簡化問題先假設同心圓差為1.

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n&>4時面積的定義很麻煩,同樣的點可以定義出完全不同的面積.

所以啊,我就定義下所謂的有向面積,從內圈依次連接到外圈最後連回來的面積稱為有向面積.

如圖,n=4時的有向面積定義為這個圖形,而不是四邊形FHIB...

但是我沒見過這玩意的面積公式,所以就用蒙特卡洛方法了.

Pol3[{a_, b_, c_}] :=
Polygon[{{Sin[a], Cos[a]}, {2 Sin[b], 2 Cos[b]}, {3 Sin[c],
3 Cos[c]}}] // DiscretizeRegion
data = RandomReal[{0, 2 Pi}, {1000, 3}];
gra = Pol3 /@ data;

ans = Area /@ gra;
{ans // Max, Histogram[ans, 100], ans // SmoothHistogram}


n=3,模擬值近似的不錯,模擬方法還是不錯的.

可惜把那一組數據挑出來很麻煩,沒法知道這個圖形長什麼樣.

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n=4時(我覺得我的代碼low到哭)

Pol4[{a_, b_, c_, d_}] :=
Polygon[{{Sin[a], Cos[a]}, {2 Sin[b], 2 Cos[b]}, {3 Sin[c],
3 Cos[c]}, {4 Sin[d], 4 Cos[d]}}] // DiscretizeRegion
data = RandomReal[{0, 2 Pi}, {1000, 4}];
gra = Pol4 /@ data;

ans = Area /@ gra;
{ans // Max, Histogram[ans, 100], SmoothHistogram[ans, 0.1]}


反正我是不知道n=4時的解析值了,看圖的話我覺得比較可信.

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Go On,哪位大神教教我高逼格的代碼寫法.......

n=5,還是看不出規律

n=6,1000次模擬的可信度已經下降了......

擬合數據量太小了搞不定,還是哪位大神來求一下解析解吧.

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謝邀～看樣子也是個蠻有趣的題目，先佔個坑，我來做一下，待會用電腦更(*/ω＼*)

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開學事務繁忙，有畢業實習，得推遲些日子更了(′?? ? ??`) ?

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