公式x*x+[x]=10用matlab怎麼編程求解?

01-05

這題有點意思，可以作為一道「逆向思維」的分析題，用到的知識也不多，初高中的一元二次方程足以應付，沒必要完全藉助編程。

簡單看下這個方程 $x^2+igllfloor x igr floor = 10$ ，無非就是在一元二次方程中疊加了「高斯取整函數」。但是直接去求解 $x$ 還是比較困難的，原因就是你沒辦法用一個顯式的數值形式來表示 $x$ 的小數部分，進而表示出 $igllfloor x igr floor$ .

但是你把關注點放在 $igllfloor x igr floor$ 上就豁然開朗了，如果可以順利解出 $igllfloor x igr floor$ ，最終要得到 $x$ 無非就是在 $igllfloor x igr floor$ 上疊加一個在 $[0, 1)$ 內的實數罷了。

我們令 $y = igllfloor x igr floor, x = y+varepsilon, varepsilon in [0, 1)$ ，顯然原有方程可以轉化為 $varepsilon^2 + 2yvarepsilon + (y^2+y-10) = 0$ ，若 $x$ 存在，那麼關於 $varepsilon$ 的該一元二次方程必定有根，回想一下初中數學的相關知識得到：

$Delta = -4y+40geq 0$ ，顯然就有 $x$ 的整數部分 $y=igllfloor x igr floor leq 10$ .

現在已經保證了關於 $varepsilon$ 的二次方程有根，但還需要進一步保證在 $[0, 1)$ 內至少有一個根。事實上，在該區間至多也只可能有一個根，因為 $y$ 的取值顯然不可能在 ${-1, 0}$ 中，這樣對稱軸 $-y$ 就一定在區間 $[0, 1]$ 之外。所以就簡單證明了 $varepsilon$ 在 $[0, 1)$ 上至多僅有一個根（拋物線在該區間單調）。

根據零點存在定理，函數 $f(varepsilon) = varepsilon^2 + 2yvarepsilon + (y^2+y-10)$ 在端點 $0, 1$ 處必定異號，即有：

$f(0)f(1)=(y^2+y-10)(y^2+3y-9) leq 0$ .

這個多項式不等式很好解，相關的四個根分別是：

$frac{-3pm 3sqrt{5}}{2}, frac{-1pm sqrt{41}}{2}$

syms x solve((x^2+x-10)*(x^2+3*x-9)==0, x)


ans =

- (3*5^(1/2))/2 - 3/2 (3*5^(1/2))/2 - 3/2 - 41^(1/2)/2 - 1/2 41^(1/2)/2 - 1/2

函數形態如下（點擊放大）：

x = linspace(-5, 4, 1000); y = (x.^2+x-10).*(x.^2+3*x-9); plot(x, y, "LineWidth", 1.5) hold on plot(x, zeros(size(x)), "--", "LineWidth", 1.0) ylim([min(y)-5, max(y)+5])


xlabel("$x$", "Interpreter", "Latex", "FontSize", 12)

ylabel("$f(x)$", "Interpreter", "Latex", "FontSize", 12)

title("Polynomial function", "FontName", "Arial", "FontSize", 15)

lg = legend("$f(x)=(x^2+x-10)(x^2+3x-9)$", "$g(x) equiv 0$");

lg.set("interpreter", "latex")

grid on

new_x = x(y&<0); new_y = y(y&<0); patch([new_x fliplr(new_x)], [new_y zeros(size(new_y))], "red") alpha(0.5)