如何理解常微分方程的解？

在學習線性代數後學常微分方程，我個人有點想把線性代數裡面的東西套到微分方程裡面，所以有了下面這些問題：

1.如果n階齊次微分方程有n個解，那能否將這n個解看成一個基？如果可以，這組基張成的空間有什麼含義，指的是什麼？

2.在線性代數裡面有線性無關時只有0解。那麼在微分方程裡面是否有這種情況，所有的解只能是0？這種情況是什麼，有什麼含義？

3.如果n維線性空間有子空間。那麼微分方程裡面的n維空間對應的是什麼？它的子空間對應什麼？

4.線性代數中知道一組基的n-1個元素，可以求出餘下的那個元素。那麼n階微分方程中知道n-1個解，能求出餘下的解嗎？如何求？

5.如何定義微分方程中解的單位化與正交化？

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首先正兒八經答題，然後拋個磚頭：

事實上，題主的問題可以歸結為：

微分能不能是個線性運算元，能不能具有線性代數里一些美好的性質。

當然啦！

我舉個例子：

假設有個多項式空間，裡面每一個元素都是一個多項式。

給定一組基：

這個時候假設求導是個線性運算，不妨讓我們試著給出標示這一組基表達微分的矩陣：

對第一組基求導：

得到多項式空間在該基下標示D（微分運算元）的矩陣：

其實離散Fourier變換也是類似的，可以用矩陣描述。

而Fourier變換本身就是構造了無窮個，無窮到了連續的程度的正交基對函數進行分解。

然後說到題主認為微分方程的解正交的……這個還真的不一定，有的時候解是一片連續的空間，怎麼正交？

再說回線性齊次微分方程，我們完全可以使用Laplace變換以後的多項式來進行正交之類的操作，會比直接去想微分方程要方便的多。

至於零解的意思么，也就是只有恆為0才能滿足方程，其他的意義怕是沒有了，而且有些問題我也不知道怎麼回答，因為沒有思考過。初步的斷論是：要用線性代數的方法分析微分方程，那隻能分析滿足一定線性性質的微分方程，比如線性微分方程（組）？

和自動控制的狀態空間理論有聯繫：

也就是這樣表達的方程：

但因該不局限於那一種表達方式，也就是說，還可以擴充。

我給大家拋個磚頭，為什麼要有微分方程：

假設你惹了一條狗，比如單身的那種，比如我：

然後狗開始追著你跑，當然狗是知道兩點之間直線最短的：

狗不管你怎麼跑，他只是每時每刻根據你的方向修正他的方向，然後儘力的跑。

這個時候，你的坐標函數可以描述為

設狗的速度大小函數是,那麼狗的坐標是：

這個時候我們寫出了一個函數和自己的積分相關的式子，也可以理解為函數和自己的一階導數相關的式子，我們稱之為一階微分方程。

映射到代數方程裡面，是一個量和他自己的代數量有關係，最後得以解方程。

如果要用線性代數的方法分析，那麼也要有一些線性的性質，否則就好象用現在的線性代數直接對非線性的東西做分析，肯定是不行的。

你試試了解一下線性微分方程的理論。

寫的比較亂，見諒。

以上。

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把你的常微分方程寫成Lx=b，其中L表示線性微分方程對應的線性運算元。就可以套用線代里的知識了。為什麼可以這麼寫？因為你學的微分方程都是線性的，所以可以表示成線性運算元，而線性運算元是滿足線代里線性映射的定義的，所以你可以愉快的使用線代里的結論了。所以你要的逐條答案可以去翻線代書了

又看了下你的問題，覺得有必要逐條回答

1.我想你想問的應該是n階齊次方程有n個獨立的解，那麼答案是L=0,n個獨立的解說明核空間為n維

2.你想說的應該是Lx=0當L滿秩時只有0解。實際對應的是微分方程中無解或只有平凡解的情況。

3.一樣的道理，微分方程中的空間仍然是獨立的向量張成的。例如x1,x2是兩個獨立的解，在線代的環境下就是向量，那麼空間中的任一元素就是c1x1+c2x2。

4.我想你想說的應該是基的擴充，然而擴充並不是唯一的

5.把函數看成向量後，內積也隨之定義，，所以單位向量，正交化都是可以做到的

希望可以幫到你

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學了泛函就知道了，微分運算元是線性運算元，本質上和線代中的線性映射一樣。

常微分運算元可以看成一個矩陣，是有限維，所有線代的結論都成立。

偏微可能是無限維，比較複雜。

可以看看丁同仁的常微分方程

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