無差異曲線是如何加總的？

01-05

從個人消費決策到社會（市場）總需求，一般有兩種途徑:其一是由個人偏好和預算約束推導出個人需求，再水平加總得到社會總需求；其二是由社會偏好和社會預算線直接推導。那麼，問題是社會偏好（社會無差異曲線）是怎麼推導出來的？必須從個人偏好推導么？請不要只回答中級教材的內容，還希望不吝賜教，介紹一些高級水平的內容或者目前的研究進展。拜謝~

感謝題主 @何聰的邀請，仔細看了一下題主的問題，大概是問何種社會福利函數是我們可以接受的，或者說是有根據的。這是個困難的問題，但非常非常重要。像國內的論文，很多時候需要提一個叫做政策建議的東西，但是何種政策應該被建議呢？其實就是模型推出一組可行政策，討論每一組政策相應的後果。然後在可行域上面定義一個社會偏好，從偏好中選出排序最大那個。只是討論社會偏好這一塊有時候不會明顯寫出來罷了。

本質上看，構造社會福利函數意味著我們在滿足一些公理的前提下把一個經濟中許多個體的偏好和經濟體中所有可行分配方法的直積映成一個可以做優化的函數。如果滿足Gorman的位似（homothetic）條件，那其實每個人的偏好都是幾乎一樣的，問題就解決了，可惜現實並非如此。於是我們需要討論更一般的情況，這裡的難題有兩個，一種是何種公理是正當的，這裡很難，而且不全是經濟學問題，很多大人物做過，比如說森、羅爾斯、德沃金，等等。這一塊實在不敢妄議，有待專業人士介紹。二是在給出一些公理以後，我們可以怎麼做，包括添加一些技術性的假設來讓社會福利函數可以處理，這屬於經濟學問題，也許可以試著回答一下。這個問題和已知阿羅的不可能定理的前提下，微觀經濟學為什麼還要研究社會福利函數？ - 阿羅不可能定理（Arrow#x27;s impossibility theorem）聯繫也蠻深的。

經濟學不可能不研究社會福利函數的，不然怎麼做宏觀的建議呢？不過，一般我們會接觸的到的關於社會福利函數的內容都是一些不可能定理，比如阿羅不可能定理、森不可能定理，黃有光的不可能定理，等等。Fluerbaey和Maniquet的經典書籍A Theory of Fairness and Social Welfare也提到，這一塊更像是"the science of impossibility"。這個回答技術性比較弱的內容也主要來自這本書的前兩章。但一些比較新的內容，比如說怎麼把行為經濟學做到社會福利函數里，不可避免要涉及一點點技術性的內容和一些比較新的論文。

我們先討論何為社會效用函數。我們考慮最簡單的情形：一個社會，內部有一些人，每個人有各自的偏好。我們假設這個最基本的偏好是理性的，也就是說，滿足完備性、自反性和傳遞性，這意味著效用函數的存在性。還有一些物品，這些物品都可以消費。在物品數量的限度內，我們可以用很多種方法把這些物品分給大家。因為偏好是定義在消費的物品束上的，並且偏好完備，所以，對於每一種分配方法和每個人的偏好，如果我們能找到一個映射，使得所有二元組｛個體效用函數，分配方案｝中的一部分，每一個都能夠對應到一個關係｛偏好於、不偏好於｝，我們就稱這個映射是一個社會福利序（Social Welfare Order，SWO）。這是最松的定義了。在社會偏好函數中，我們不一定要求諸如傳遞性這麼強的定義，完備性也常常滿足不了。又或者我們不可避免地要用一些字典序的東西。所以很多時候，就算知道了序，函數也寫不出來。同理，無差異曲線也未必有，能夠有函數或者無差異曲線，已經算是很好的結果了。不過在這個回答中，我不會嚴格區分社會福利序、社會福利函數和社會效用函數這些概念。

應該注意的是，這裡只要求一個映射，而不是要求依賴於。最原始的想法也許是這樣的：既然叫做社會福利函數，那應該自變數是每一個人的效用，然後這個函數像機器一樣，把個人的效用輸進去，馬上可以出來社會福利值。這就是我們平時說的Bergson-Samuelson社會福利函數。但是，很多時候我們不是這樣來定義，或者思考社會福利函數的。比如說廣義基尼函數，按照我們的定義，也可以成為一個社會福利函數，但它和個體偏好沒有任何關係。因此，社會福利函數不一定要依賴於個體效用的。

如果我們不做任何限制，只是考慮所有的映射，範圍太大了。為了得到一些合意的效用函數，我們需要做一些假設，給一些公理，精鍊出一部分福利函數來。前面提到過公理有兩類，一類是技術性的，比如說我們希望，挑出來的函數是連續的，這意味著對於兩個比較對象y和x，y好於x和x好於y這兩個集合都是閉集。如果我們再貪心一點，我們希望找到的函數還要是凸的，這意味著前面這兩個集合是凸集。這部分和個體的選擇理論一致，如果不滿足這些技術性條件，我們就沒法做優化，或者說需要一些比較奇異的數學工具來做比較。

另一類假設更重要，爭議也多得多。第一點就是序數性。僅僅是這一點，就可以展開寫一本書。D"Aspremont和Gevers把這一點叫做不變性。在個體選擇理論中，我們要求個體的效用函數對於任何單調變換都保持穩定，這一點對於社會福利是太強了。社會福利函數面臨的序數性假定要同時被放在兩個層面上考慮：如果社會中所有個體的一個子集，他們的效用函數發生了單調變換，社會福利函數會變動嗎？如果社會福利函數本身發生了一個單調變換，這還是同一個福利函數嗎？從這兩點出發，我們可以考慮豐富多彩的假設。一般來說，我們會把這個假定減弱到某種程度的放射變換不變性上。比如說，如果每個個體的效用函數加了一個常量，社會福利函數會變嗎？如果是乘了一個常量呢？如果每個個體的效用函數加了一個不同的常數呢？如果社會福利函數加了一個常量呢？這每一個問題都是一篇文章或者一篇文章中的命題，在這裡不能展開了，給一張圖吧，來自D"Aspremont和Gevers的總結（2002），總結了兩個層面上各種仿射變換和單調變換的關係。這個假定有時候也叫不可比性，因為它維持了我們的一個常見觀念：不同個體之間的效用不可比。

另一個非常重要的特性是弱帕累托性。在經濟學中，一般是這樣定義帕累托佔優的：使至少一個人境況嚴格變好，並且沒有一個人境況變得更壞。社會福利函數中的弱帕累托性也是類似的：如果對於兩種分配結果，社會中所有人都更偏好於其中一種，那麼社會福利函數也應該偏好於這個分配結果。比如說，如果所有人都覺得平均分配比讓一個人獨佔所有財富好，那社會福利函數在評價平均分配和獨佔時，也應該認為平均分配比獨佔要好。弱帕累托性可以推出一個稍微弱一點的假定：帕累托無差異性。帕累托無差異指的是如果所有人都認為兩個分配結果無差異，那社會福利函數也應該認為這兩個分配結果無差異。帕累托無差異性不是非常弱的假設，由此可以推導出社會福利序和社會福利函數之間的等價關係。沿著這條路走下去，我們的研究題目就從弱帕累托性進入到了一系列針對效用函數設定的獨立性、中立性等假設，對這些假設的些微加強或削弱都會導致非常微妙的結果。另一個問題是個體層面偏好的獨立性，一個人認為x&>y&>z，另一人認為y&>z&>x，社會福利函數應該加總出y&>z嗎？如果我們承認這一點，獨立性加上弱帕累托性就必然導出獨裁的社會效用函數，此時社會對各類結果的排序必然和社會中某個體的偏好完全相同，這就是阿羅不可能定理。

找到一些合適的社會福利函數的難點在於：即使是序數性和弱帕累托性這兩個我們已經幾乎不能再後退的假設，它們之間也仍然存在權衡取捨。一個加強一點點，一個就要弱一點。比如說，我們可以把弱帕累托性稍微加強一點點，設定成Suppes佔優假設。我們可以把這一點想像成匿名性：假如現在有N個人，兩種分配方案x和y，在兩種分配方案中每個人都可能分配到不同的東西。比如說y是張三得200，李四得500，如果社會福利函數讓x優於y，那麼x也應該優於z，z是張三得200，李四得500。回到N個人的一般情況，此時我們要求x優於y，僅當x優於y的每一種排列，社會福利函數應該是不記名的，它只關注大家到手好處的分布。可是，如果總人數大於等於3，Suppes佔優和個體層面上正仿射變換的不變性是矛盾的。我們找不到一個既有這種匿名性質，又能對任一個體正仿射變換免疫的社會福利函數。如果有一個個體效用函數乘了一個2，加了一個3，我們就要瞎眼了。兩個重要假設，你進一步？我退一步？真的都可難了。我們當然還可以施加很多其它的假設，比如說，我們可以要求增強的帕累托性，或者一致性，這些都不容易，都需要取捨。

在繁多的公理中，有一些可能還是值得單獨拿出來說一下的。一個是平等性。平等性的實質是：它假設不同個體的效用有一個大致平等的地位。這裡最松的應該是哈蒙德平等性：如果現在有一分配結果x，在人群N中隨便取兩個人i和j，如果此時i享受的商品突然有了一個正的增量m，那我們總是可以通過在j的消費中扣除一個n，來讓在（i，j）上做過手腳的新分配和原來的x在社會福利上無差異。一個更強的平等性叫做庇古-道爾頓平等性，大致要求和哈蒙德一致，但要求存在m=n。另一個是分離性。假如現在還是有x和y兩個分配結果，我們可以把人群分成兩塊，M和N。如果兩個社會福利函數在M中是完全相等的，那麼，這兩個福利函數等價當且僅當它們在N中也給出同樣的排序。這個性質也很強。既然一開始的兩個都已經要打架了，毫無疑問，如果我們還想要這些假定，那也需要在其它維度上做出犧牲。

接下來我們可以考慮一下不同的構造社會福利函數的思路。我們可以有以下兩種思路：一是從現實出發，看看我們平時是怎麼去評價政策的，然後找一些公理，證明一下這種評價方法有什麼優點，來佐證我們的經驗；第二種方法是直接先說明我們想要有什麼性質的社會福利函數，然後把這些性質作為前提公理，看能不能把待選的福利函數縮到一個很小的範圍內。兩種方法不是截然分開的，有時候我們會發現，用第二種方法得到了一個我們已經熟悉的結果，這時候我們就會更有信心。我在這裡給出一些從第二條路走到的，非常經典的結果。比如說，如果我們想要一個滿足強帕累托性（比之前的要強一點）、匿名性和連續性，並且對個體層面的正單調變換不變，那滿足這個條件的只有不加權的功利主義的效用函數：直接把所有人的效用按同等權重加起來。實際上，帕累托性、連續性和正仿射變換不變性和功利主義函數是緊密聯繫的：允許這三點，我們的選擇範圍就限制在了加權功利主義函數族內。如果我們希望我們的社會福利函數滿足連續性、N分離性（比分離性強）、匿名性、強帕累托性和庇古-道爾頓平等性，那麼，通過施加不同的序數性，我們可以得到很小範圍內的社會福利函數。如果我們要求個體層面上的正仿射變換不變形，唯一滿足的就是廣義基尼函數。如果把仿射變換減弱一點，變成只對乘以正數不變，或者只對加上常數不變，我們分別可以把目標壓縮到一族特定函數內。

另一種思路是通過尋找現實生活中我們的一些決策思路，來相應構造社會福利函數。上面這個表格來自Fluerbaey和Maniquet，基本囊括了大部分常見的思路。可以看到，這裡給出了每種社會福利函數的特性，包括是否完備（左起第一列），是否滿足弱帕累托性（左起第二列）和是否滿足正單調變換不變性（最右一列）。第一點是公平分配，這種辦法的思路是先找到一個最理想的分配狀態，然後用到達這個狀態需要的路程/距離來衡量其它分配結果的好壞。一些特別激進的人可能主張所有產出平均分配是最好的，那他們選取的基點就是徹底的平均分配；一些人可能覺得效率很重要，那他們可能會取所有Arrow-Debreu均衡中的納什討價還價解作為基點。還有兩種很有影響力的辦法，一是平均稟賦基點，這種辦法特別有意思。假設現在有一個經濟體滿足Arrow-Debreu一般均衡的9個前提，現在，我們可以把所有稟賦平均分配並假定分配後的稟賦仍然符合這9個假設，並把所有在這個稟賦下能夠達到的分配狀態作為我們討論的基點。二是等價稟賦基點，我們可以要求每個人對分配結果的效用至少和總體效用的一個比例相等，這裡的總體效用指的是如果一個人擁有經濟體的所有資源，他將獲得的效用，這裡的比例也是一個常數。運用這種思路，基點和距離的定義都可以非常靈活，基點可以包含很多種分配狀態，成為一個集合。距離也可以根據我們的要求和現實恰當選取，有非常非常多討論的空間。這種思路非常自然，我們在生活中考慮問題的時候，常常也會先預設一個烏托邦，再去想辦法接近它，即使無法到達。

第二列是阿羅選擇函數，這裡主要指代一大類嘗試著去微弱地放鬆阿羅的假定以求獲得一個還算良好的社會福利函數的文獻，技術細節繁雜，我們不再討論了。第三和第四列指的是福利主義的社會效用函數，所謂福利主義，核心思路就是加總，也最符合題主的問題要求。這一塊的外延非常廣，最常見的功利主義效用函數、加權的功利主義效用函數、lexmin、lexmax，都屬於這一類。所謂的lexmin，指的是這樣一種排序方式：分配結果x好於分配結果y當且僅當x中最差的個體效用要比y中最差的個體高，這實際上就是羅爾斯主張的社會福利函數。lexmax則是另一個極端，完全是一枝獨秀。第五列指的是多維情況下用佔優途徑去定義社會福利，大體思路如下：取一個效用函數空間，算出兩個分配結果x和y在整個效用函數空間中的加權和（泛函空間中的求和/積分），然後再用這個和定義一個新的社會福利函數。很明顯，這種定義方法又有很大的自由度，什麼樣的效用函數空間是適當的，是不是要取一個權重，都需要研究者自己想辦法去衡量。而且，由於一些細微的技術性問題，這方面的假設也常常是武斷的。

第六列是經典的Bergson-Samuelson社會福利函數，這種定義方法可能也最符合我們對社會福利函數的認知：我們需要一個以每個人的效用值為自變數的函數，把一個多維實向量映射成一個實數，從而得到社會福利。這可能也比較貼近題主所說的「從個體效用中推導出社會效用這一點」。一些老一點的教科書，比如經典的Mueller的《公共選擇理論》，基本上也只講這種社會效用函數。這一類效用函數和前面的也是有重疊的，有些通過其它思路得到的社會福利函數實際上也可以表達成Bergson-Samuelson效用函數。如果能夠表出，那是最好，這不僅允許我們自如地做一些運算，還允許我們對不同經濟體的社會福利做比較。它的局限性就在於不允許我們對極端值做比較，比如說像lexmin、lexmax這種社會福利函數，就不可能表達成這種方便的形式。通過回憶「不存在表達字典序偏好的良好的效用函數」的證明，這一點很好理解。

最後三列中的前兩列在某種程度上是一致的，歷史也相當悠久了。人類對社會福利最原初的探索，幾乎都脫不出這兩個路子。倒數第三列的思路我們不能再熟悉了，叫做成本-收益分析，它和一些光輝偉大的名字，比如說馬歇爾、希克斯、卡爾多等聯繫在一起。這種構造社會福利函數的思路是這樣的：考慮兩個分配結果，一個是x，一個是y。現在我考慮一下從x轉移到y，這會帶來什麼成本，又會帶來什麼收益/損失，然後用一個函數把二元組（成本，收益/損失）映射到實數上，如果是正的，那y比x好，如果是負的，那x比y好。比如說金坷拉，給了日本，「對美國農業危害大」，給了美國，日本就沒法吸收土壤里的氮磷鉀，這時候就需要我們用成本-收益分析法去分析一番。這種方法也是非常靈活的，但壞處也有兩點。一是沒有傳遞性，二是我們不知道應該拿什麼當基準。一樣東西的價格應該是什麼，天知道，比如說這個問題人的生命可以量化嗎？ - 溫義飛的回答。實際上，成本-收益分析和補償的思路很像，損有餘以奉不足。如果分配結果從x變成了y，失去多少，會讓那些得益的人無差異？得到多少，會讓那些受損的人復無怨懟？這取決於我們採用的基準，競爭均衡價格茫茫多，一般來說我們有兩種取法。一是取那組對境況最差的人最有利的價格，二是取平均意義上的價格。當然我們也可以取其它權重，只要你能說服別人就行。倒數第二列的思路和Bergson-Samuelson的思路是完全一致的，只不過把自變數換成了消費束對應的貨幣的數量。如果經濟學家喜歡用這個來為社會做建議，那大家指責經濟學家拜金也不無道理。去年剛剛拿到諾獎的Deaton，以及他的合作者Muellbauer，在衡量社會效用的時候取的就是這個函數。對此最有力的批評也有兩個，首先，這是在尋求「主觀感受的貨幣表示」，Fluerbaey和Maniquet直接說這似乎是自相矛盾的（oxymoron）。其次，這樣做出來的社會福利函數對於個人消費不一定是quasiconcave的，這一點也很要命。

這只是以上思路的一個大概介紹，至於這些思路具體滿足那些性質，簡單的可以直接參考上面的表格，複雜的也就不再贅述了。至於最後一列，這來源於Fluerbaey和Schokkaert的新成果。他們的思路也比較獨特，他們不再直接去構建社會福利函數，而是考慮通過排列二元組（x，P），先得到一串偏序，再用其它一些標準篩出唯一合理的鏈，其中x是所有可能的分配結果，P是所有可能的合理的偏好。他們引進了超安全性來論證這一點。所謂的超安全性，指的是對於一組x和y，對於人群中每一個體i的偏好族P，總能找到一個P的子集，讓所有人取這個子集中的偏好時x大於y，同時找不到個體j，能找到類似的子集讓y大於x。如果社會福利函數同時滿足超安全性、獨立性、弱帕累托性和庇古-達爾頓公平性，那這個函數一定滿足特定的公平性質（有嚴格的表述）。

以上只是一些比較初步、比較淺層次的結果。這一塊也是不斷發展的領域，新結果也在不斷地出來。不能認為這些都是紙上談兵，像我們前一段提到的Fluerbaey和Schokkaert找到的新方法發表在2013年的American Economic Journal：Micro，最直接的應用就是用來評估｛金錢，健康｝這個二元組。涉及不同的領域，我們要根據不同的要求來針對性地選取社會福利函數做評估。即使是Samuelson在論及Bergson-Samuelson效用函數時，也說明了社會福利函數不是一成不變的，如果其中某些個體的效用函數確實發生了變換，總體的福利函數也應該跟著變換。

同時，這個小回答還有很多分支沒有處理到，比如說如果有不確定性，怎麼加總？這一塊的經典工作來自Harsanyi，以及Epstein和Segal。怎麼取期望效用，用事前方法還是事後方法，又生髮出大量變化。行為經濟學引進很多新東西，比如說非正統的偏好、非正統的決策過程、非正統的信念系統，怎麼整合？既是大坑，也是機會。我們前面都假設個體效用函數只和自己的消費有關（self-centered)，如果不是呢？關於哪些公理更「好」的討論，散佈於哲學、政治學、倫理學、經濟學等學科中，無力列舉和討論。至於其它一些量的加總，比如說需求，在Debreu-Mantel-Sonneschein定理後又有許多發展，這些也都不屬於這一塊了。

最後，還需要說明一點的是，我們完全是從一個道德旁觀者（ethical observer）的角度來看這個事情的。但實際上，我們自己也是社會的一員，我們有可能策略地提供一些信息來影響社會福利函數。因此，這引出另外一條分岔：博弈論。我們也可以把社會福利函數想像成整個社會經過博弈（投票、討價還價、戰爭、演化，等等）得到的均衡。雖然道德旁觀者的路已經是雜草叢生，但和這條路比起來，簡直可以算是坦途。當然這條路也很重要，我們很關注的一些概念，比如說單峰偏好定理之類就來自於此，但我完全不會去涉及了。有時間有心情也許會補充一點吧。

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樓主概念有些混淆了。

從個人消費決策到社會（市場）總需求，一般有兩種途徑：其一是由個人偏好和預算約束推導出個人需求，再水平加總得到社會總需求；其二是由社會偏好和社會預算線直接推導。

問題在於，這兩個途徑不是等價的。方法一隻要求（社會）需求函數，而方法二卻要求（社會）偏好。僅給定個人效用函數，社會需求函數是可以通過個體效用最大化問題 identified 的，社會偏好不能。如果只是要找到加總的需求函數，那方法二屬於 overkill。

Gorman polar form

阿羅不可能性定理

問過國貿教授

問題是，「社會總福利因為分配方式不同而不同，怎麼會存在社會無差異曲線呢?」。

回答是，「這個弗里德曼發過一篇文專門論述過，說明了是存在的」

「謝謝老師！」

英文好的話，找來看吧。

（我沒找）