這個圖片上求圓周率的邏輯錯在哪？

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這個類型的問題也是經常出現了，而且同一個問題之前也在知乎上出現過了，也不搜一下么。類似的另一個問題是「單位正方形對角線長度為2」這種的，其「證明」和這個差不多，即使沒看過也能想出來是什麼情況。最早和別人討論這個問題是高中一次出去參加競賽，大晚上幾個人沒事做聊天說到的。

註：寫了一半倒回來看發現已經寫成奇怪的科普文了，姑且就偏個題說點閑話權當練習寫文字了；以下的閑話內容分兩部分，主題分別是長度和度量。直到最後才回到正題，偏得實在有點狠，想要直接看我的觀點的就拉到最後就好了。

好多個答案都說到了，這個問題是在於圓的周長如何定義。那麼，圓的周長是如何定義的呢？或者更一般地說，一條（光滑）曲線的弧長如何定義？

我不打算詳細展開說可求長曲線之類的事情了，弧長的具體定義可以看維基百科Arc length頁面，不願看的我也簡單地說一下。

首先，把這一條曲線分成許多（有限多）的小段，每一段近似成「直線段」，所有「直線段」的長度加起來得到一個估計值，這一步正是實際生活中測量長度的做法（啊，你用一把剛尺來測一彎的水管有多長要怎麼測），至於估計得好不好倒是不太關心；當這個分段分得越細時，我們直觀上覺得應該估計得越好，於是自然地，我們把此曲線的弧長定義為無限細分時這個估計值的極限。（嘛，這個說法和維基那個頁面有點不一樣，不過我覺著關係不大了）

對於知道積分是怎麼回事的人來說，看到這個定義就忍不住想用積分來說一下。不太具體地說，就是 $L=int ds$ ，但這個粗略的式子還有個問題沒解決： $ds$ 是啥？（這個問題在高中時也困擾我許久）

不消說， $ds$ 就是「一小段無窮小的弧的弧長」，然而這個說法跟沒說一樣。不去討論具體意義，我們只說怎麼算。在上一段的那個維基頁面中也有說到這個事情：大家最熟悉最通用的情況，也就是這個問題的情況，是 $ds=sqrt{(dx^{2}+dy^{2})}$ （即二維歐氏空間 $mathbb{R}^{2}$ 的情形——這不就是勾股定理嘛）。不過坦白說， $intsqrt{(dx^{2}+dy^{2})}$ 這種東西看起來是很彆扭的（這是什麼東西？是什麼意思？要怎麼算？），直到引入了微分形式的積分之後，我才能夠接受這個積分——這是題外話了。在一般一點的n維情況，為 $ds=sqrt{(sum_{i,j=1}^{n}{g_{ij}dx^{i}dx^{j}} )}$ （這裡的上標不是冪指數，只是表明第幾個分量而已），這裡的 $g_{ij}$ 是一組數（所謂度量張量在此坐標系下的分量），排列成方陣是一個n階正定對稱方陣；在熟知的歐氏空間的情況下，這顯然是一個單位陣。可以把一般的情況看作歐氏空間做一個線性變換的結果。

再一般一點， $g_{ij}$ 不必是在每點都相同的，換言之有 $g_{ij}=g_{ij}(x^{1},...,x^{n})$ 是位置的（光滑）函數。當然，在每一點都還是滿足n階正定對稱方陣這個條件。一個「不太正確」但有用的理解方式（「物理」地理解）是，在 $(x^{i})$ 這一點出發的向量 $(dx^{i})$ 有多長，就代入上式計算就知道了。大概能看出，（局部地）給出 $g_{ij}$ 這個東西就能決定空間的（局部）性質。（我也不打算詳細說「空間」是什麼，要展開講流形還是要再寫一段的；權且把空間當作 $mathbb{R}^{n}$ 就好了，也沒什麼差別）這也就是給出了度量，不太正確地說這個 $g_{ij}$ 就是度量，學物理的更習慣叫做度規。從這裡出發，可以走到黎曼幾何（Riemannian geometry）——當然，黎曼幾何的內容遠不止上面這些乾巴巴的玩意，它可有趣得緊。

要是再一般一點，我們可以令 $ds=F(x^{1},...,x^{n};dx^{1},...,dx^{n})$ ，而在固定的某一點 $(x^{i})$ 這個函數 $F$ （除光滑性條件外還要）滿足這些條件： $Fgeq 0$ ，並且 $F=0$ 當且僅當 $(dx^{i})=0$ ； $F$ 是 $(dx^{i})$ 的一次齊次函數。前一個條件主要是基於「距離」的考慮，即每點的切空間能作成一度量空間；後一個條件保證了對曲線的參數化不改變弧長，這樣才是一幾何量而與圖冊的選取無關。顯然，前面給出的黎曼度量是滿足這個的特例，那為啥還要考慮這個更一般的情況呢？畢竟黎曼幾何才是更貼近現實的情況。（這裡我的意思是，比如，邊長為1米的正方形對角線差不多是1.41米多一點，而且轉來轉去地測量也是這個結果——或者說邊長為1米和1000毫米的矩形對角線長為141厘米多一點）

其實並沒有什麼現實的考慮，黎曼最早的考慮就是這個一般的情況；這就進入了芬斯勒幾何（Finsler geometry）。當然，我是沒有學過這個的——唯一的了解來自於在圖書館閑逛看過的某些書的前言以及這篇陳老爺子的文章http://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf，如果有學過黎曼幾何看這篇文章還是不錯的。

扯了這麼多沒用的，我到底想說啥？上面那個圖，當作是 $mathbb{R}^{2}$ 上的問題，按照正常的方法建一個笛卡爾坐標系（就是普通高中生會想到的作法），這樣每個點就有了坐標 $(x,y)$ ；我再給出 $ds=left| dx ight| +left| dy ight|$ ，那麼就可以計算曲線的長度了。不難驗證，上面那個圓的周長算出來就是4而非 $pi$ ，而連接點 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的「直線段」長度就是2而非 $sqrt{2}$ ——也可以想明白，這種計算長度的方式和「摺紙求長度」是一個意思，至於為什麼，我把這個問題留給讀者。

我的觀點就是，得到違背常理的結果，不是過程有問題，就是假設有問題，不然就是出現重大發現了。這裡么，應該沒有出現重大發現，這個說法一般是對物理說的。

其實 @Juniqi Yang的答案說的也挺有道理，奈何這個「連續」是啥意思？求曲線的長度是一個函數，這個函數定義在某個空間上，這個空間是由，從某一閉區間（比如 $left[ 0,1 ight]$ ）到某一黎曼流形（比如 $mathbb{R}^{2}$ ）的所有光滑映射（應該不需要是浸入吧）組成的，那連續函數要怎麼定義，或者說，怎麼在這個空間上給出拓撲？（而且還要和直觀感受相符合，胡亂給的肯定不行——其實很早之前我有稍微做過這類的問題，不過能力有限就是了）

關於這種映射空間的流形結構，我記得有一次在圖書館翻Serge Lang的微分幾何，他有提到在Smale還是誰的微分拓撲上有講；而映射空間的拓撲結構，現代幾何學第二卷開頭有說會講，不過他只講了度量空間的情況，直接在映射空間上給了一個拓撲；某一本書（我忘了是什麼）有講過單位區間到緊緻空間的映射空間的拓撲結構，我當時還記下來過（然而早就忘了放哪裡了），不過他說凱萊的一般拓撲學有詳細說這事。好吧，其實我根本一個參考文獻也沒翻過，只是打算以後有空再去深究這個問題——有誰知道的還是可以給我說一下。

哎哎，意思就是，我去看看現代幾何學第二卷的東西，再自己做一下說不定能得到長度是連續或不連續的。只是我對那一段印象不深，放假也沒把這書帶回來，也不太想去仔細做了——還是留待以後去考慮。不過按理說以前應該有人做過這種問題了，去搜一下指不定能找到。

越扯越遠了，就此打住吧，再說下去今天不用睡覺了。

只是面積在逐步逼近，邊長並沒有。

問題在於我們究竟應該如何定義圓的周長才比較合理，你這樣默認長度這個泛函是連續的有點欽定的感覺。其實類似的問題還出現在表面積上，那裡更麻煩一些，有些微積分教材會細說。詳細解釋等高人吧。

這個是等價無窮小的問題，關鍵在於微小的台階是否與微小的圓弧等價。

計算出來發現兩者差了一個倍數:

cos(theta)＋sin(theta)

(以下考慮0到pi/2區間)

theta為0和theta為90度時此值為1，說明切線是可以與圓弧相近似的，

其他地方用縮角公式可以發現此值均大於1，也是說明4要大於pi

0到pi/2積分(cos(theta)＋sin(theta))×半徑

得到1，即為0到pi/2正方形兩個半條邊長

仔細觀察你會發現每次操作之後，剩下的斜邊為弧度的小三角形，兩個直角邊長度並不相等，說明這種操作並不能並不能和圓完全重合，尼瑪都不能重合，憑什麼說和圓的周長就一樣了？

大腸把褶皺都打開有200平米

邏輯，邏輯被阿努比斯吃了。圓周率的定義是圓周長與直徑的比值，可這圓周長求出來了么？

當然，你非要說這裡是l1度量我也沒辦法，不過l1度量下的圓也特么不長這樣啊

你在不停的內折的時候，就成了一個分形問題了，那麼維度就不對了

在不同的維度比長度，沒法比……

先要把割圓術說清楚。

割圓術中，可以理解成分成很多段弧，然後做每一段弧的弦。因為弦＜弧，所以弦和肯定＜弧。但三角形兩邊必然＞第三邊，所以隨著弧越分越多，弦的和無限接近弧。

然後來說這個正方形，這個正方形沒問題，但是沒意義。因為你把每個正方形的斜邊連上，會發現弧＞這段弦，三角形兩邊和＞這段弦，然而弧和三角形兩邊根本沒有大小聯繫無法判定，這個正方形唯一得出的結論是π＜4，及所有邊長之和

你是說π=24？

差不是無窮小

對對，取微元的時候要除一個斜率的相關量。就是弧長。

正方形逐點收斂到圓，但並不依總長度收斂到圓

無論如何，正方形的周長不會變，永遠比圓的周長長

首先需要證明外圈那個多邊形周長會趨近於園的周長

然而這個證明顯然是不可能的