數系中像自然數、整數、有理數、複數等等,都有字母表示,為什麼無理數、虛數沒有字母表示呢?
數系中像自然數、整數、有理數、複數等,都有字母表示,為什麼無理數、虛數沒有字母表示呢?
我還有一個問題,就是為什麼數學中並沒有約定諸如三角形、平行四邊形、正n邊形、圓等一系列幾何圖形的集合的專用符號呢?在數學中,我們經常提到「數形結合」的思想方法。既然數集有自己的專用符號,那為何我們並沒有「形集」的概念及其相應的字母表示?是不是這些符號對數學自身的發展並沒有很大的意義?
自然數是交換半群,整數是環,有理數、複數是域。除了自然數以外,另外3個都有很好的代數結構。他們在代數裡面會非常頻繁地出現,如果沒有一個專門的記號會非常、非常不方便。
事實上自然數的記號也不算標準記號,很多人用或者來表示(取決於你學的自然數寶不包括0)。但是整數基本都是拿來表示,如果你拿別的記號來表示整數,大部分數學家會拿看外星人的眼光來看你。
另外什麼叫做「非常頻繁」呢?你隨便翻開一本代數書,這些記號可以做到平均每頁出現一次以上。這個時候你如果還固執地要拿「整數環」三個漢字來代替,就只能是自找不痛快了。。
無理數、虛數沒有比較好的代數結構,要用到的時候用補集來表示就行了,也沒太大的不方便。數學上創造記號也是要講究效率的,畢竟字母有限,記號太多很容易用串,所以一般只挑最重要、出現頻率最高的給個專門記號。另外比較重要的一點是存在以這些記號為基礎的衍生記號,比如表示整係數n變數多項式環。這種情況下就更有必要給相應的對象一個標準記號了。
因為這種定義就像「長方形就是那些不是正方形的矩形」一樣,其實沒啥好的性質。。。
主要還是不常用的緣故吧。不常用的原因是它們對基本運算不封閉而沒有好的數學結構(群環域等)。偶爾真想用了,用RQ,CR就可以分別表示無理數,純虛數集合。
無理數不能脫離有理數存在,虛數也不能脫離實數存在(純虛數單獨加上0倒是可以,不過跟實數是一樣的),它們關於加減法都是不封閉的,如果我規定了一個無理數的集合,從當中任取了兩個數,它們的加減法的結果既有可能是有理數、也有可能是無理數,這個就很尷尬了對吧。
所以其實自然數、整數、有理數、複數這樣的重要集合,是因為他們有獨特的性質,所以常用,所以有專門的字母。
從構造的角度上來說,自然數是我們運用公理體系構造出的最小、最直觀的無限集合,在皮亞諾公理體系當中,通過五條公理構造出了這個良序集合。接下來,為了讓加減法封閉(1 - 2在自然數當中是不存在結果的),擴充自然數形成整數集合,這是一個加法群。加減法封閉了,但是乘除法又成了問題,不能整除的兩個整數的商,我們把這些商擴充進來,就得到了一個對乘除法封閉的集合,這是我們能得到的最小的數域,也就是有理數。看上去有理數就已經很多了,但後來我們又發現,雖然有理數是稠密的(任意點的任意近的空心鄰域內都存在有理數,甚至有無窮多個),但是某些「長度」仍然不能表示為有理數,比如邊長為1的正方形的對角線長度。這表明這個數域不是完備的——完備在實數中的一種等效的定義,是指任意收斂點列都收斂到這個集合內;而有理數的數列可以滿足柯西收斂準則,卻不存在有理數內的收斂值。沒有這個性質,我們就沒法使用極限、導數等工具,也沒法用數來表示幾何上的長度。最後我們用戴德金分割的方法來定義實數,由於有理數是稠密的,我們將全體有理數分成兩個集合,它們互不相交,合併起來是全體有理數,而且其中一個集合中的所有數都比另一個集合中的數小——這相當於一刀把數軸切成了兩段,我們規定一定存在唯一的一個數,它是其中一個集合的上界,同時是另一個集合的下界,也就是說這一刀的切點的地方一定有一個數。通過這條公理化的性質,實數就變成了包含有理數的一個緊集。
複數則是另一種意義上的擴充,我們知道正的實數可以開平方,但是負數不行,本質上來說我們希望一個方程的根存在且剛好有n個(包括重根),同時仍然滿足:加減乘除以及極限運算的封閉性。於是我們從實數擴充出了虛數單位i(它是的根),再根據加減乘除和極限運算得到了的複數域,可以證明當前述的時候,方程的根也都是複數,從而方程求根的運算對複數域封閉。
那麼我們也可以注意到,如果讓方程中的,整係數多項式的根,這也構成一個數域叫做全體代數數數域,這是另一條路徑、從整數(有理數)開始的擴充,顯然對於也得到完全相同的擴充結果。細分下來還可以按照不同次數的多項式分成不同階。但不管怎麼說這個用得就少得多了。而且詳細的我也不是特別了解……
總結來說,自然數、整數、有理數、實數、複數這些每個都是一次擴充的自然形成的結果,它們對一系列的運算是封閉的;而無理數、虛數只是擴充進去的內容,它們本身是不封閉的,所以不常用。符號只是簡稱 為的是表意方便 所以給高頻概念符號就夠了
聽起來不可思議 但數學是非常講究實用的給無理數之類的概念符號可以,但是沒卵用啊,它無法脫離有理數存在和討論,有的數學課上會用符號P表示無理數,但用的不多。你要想像數學是有生命的,在發展的,有用的符號才留下,無用的就被淘汰了。
牛頓與萊布尼茨共同發明了微積分。牛頓用了繁瑣的點記法,而萊布尼茨創建了簡明的符號體系沿用至今。英國固守牛頓的方法使得他們的數學漸漸落後於大陸。
最後用萊布尼茨的話來總結:簡潔的符號讓人簡化問題,幫助思考。虛數是啥???
$imathbb{R}$??字母表示只是縮寫,大家只需要約定使用頻率高的,遇到特別情形寫完整就行咯。
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