數系中像自然數、整數、有理數、複數等等，都有字母表示，為什麼無理數、虛數沒有字母表示呢？

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數系中像自然數、整數、有理數、複數等，都有字母表示，為什麼無理數、虛數沒有字母表示呢？
我還有一個問題，就是為什麼數學中並沒有約定諸如三角形、平行四邊形、正n邊形、圓等一系列幾何圖形的集合的專用符號呢？在數學中，我們經常提到「數形結合」的思想方法。既然數集有自己的專用符號，那為何我們並沒有「形集」的概念及其相應的字母表示？是不是這些符號對數學自身的發展並沒有很大的意義？

自然數是交換半群，整數是環，有理數、複數是域。除了自然數以外，另外3個都有很好的代數結構。他們在代數裡面會非常頻繁地出現，如果沒有一個專門的記號會非常、非常不方便。

事實上自然數的記號也不算標準記號，很多人用 $mathbb{Z}_{>0}$ 或者 $mathbb{Z}_{geq 0}$ 來表示（取決於你學的自然數寶不包括0）。但是整數基本都是拿 $mathbb{Z}$ 來表示，如果你拿別的記號來表示整數，大部分數學家會拿看外星人的眼光來看你。

另外什麼叫做「非常頻繁」呢？你隨便翻開一本代數書，這些記號可以做到平均每頁出現一次以上。這個時候你如果還固執地要拿「整數環」三個漢字來代替 $mathbb{Z}$ ,就只能是自找不痛快了。。

無理數、虛數沒有比較好的代數結構，要用到的時候用補集來表示就行了，也沒太大的不方便。數學上創造記號也是要講究效率的，畢竟字母有限，記號太多很容易用串，所以一般只挑最重要、出現頻率最高的給個專門記號。

另外比較重要的一點是存在以這些記號為基礎的衍生記號，比如 $mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ 表示整係數n變數多項式環。這種情況下就更有必要給相應的對象一個標準記號了。

因為這種定義就像「長方形就是那些不是正方形的矩形」一樣，其實沒啥好的性質。。。

主要還是不常用的緣故吧。不常用的原因是它們對基本運算不封閉而沒有好的數學結構（群環域等）。偶爾真想用了，用RQ，CR就可以分別表示無理數，純虛數集合。

無理數不能脫離有理數存在，虛數也不能脫離實數存在（純虛數單獨加上0倒是可以，不過跟實數是一樣的），它們關於加減法都是不封閉的，如果我規定了一個無理數的集合，從當中任取了兩個數，它們的加減法的結果既有可能是有理數、也有可能是無理數，這個就很尷尬了對吧。

所以其實自然數、整數、有理數、複數這樣的重要集合，是因為他們有獨特的性質，所以常用，所以有專門的字母。

從構造的角度上來說，自然數是我們運用公理體系構造出的最小、最直觀的無限集合，在皮亞諾公理體系當中，通過五條公理構造出了這個良序集合。

接下來，為了讓加減法封閉（1 - 2在自然數當中是不存在結果的），擴充自然數形成整數集合，這是一個加法群。

加減法封閉了，但是乘除法又成了問題，不能整除的兩個整數的商，我們把這些商擴充進來，就得到了一個對乘除法封閉的集合，這是我們能得到的最小的數域，也就是有理數。

看上去有理數就已經很多了，但後來我們又發現，雖然有理數是稠密的（任意點的任意近的空心鄰域內都存在有理數，甚至有無窮多個），但是某些「長度」仍然不能表示為有理數，比如邊長為1的正方形的對角線長度。這表明這個數域不是完備的——完備在實數中的一種等效的定義，是指任意收斂點列都收斂到這個集合內；而有理數的數列可以滿足柯西收斂準則，卻不存在有理數內的收斂值。沒有這個性質，我們就沒法使用極限、導數等工具，也沒法用數來表示幾何上的長度。

最後我們用戴德金分割的方法來定義實數，由於有理數是稠密的，我們將全體有理數分成兩個集合，它們互不相交，合併起來是全體有理數，而且其中一個集合中的所有數都比另一個集合中的數小——這相當於一刀把數軸切成了兩段，我們規定一定存在唯一的一個數，它是其中一個集合的上界，同時是另一個集合的下界，也就是說這一刀的切點的地方一定有一個數。通過這條公理化的性質，實數就變成了包含有理數的一個緊集。

複數則是另一種意義上的擴充，我們知道正的實數可以開平方，但是負數不行，本質上來說我們希望一個方程 $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0$ 的根存在且剛好有n個（包括重根），同時仍然滿足：加減乘除以及極限運算的封閉性。於是我們從實數擴充出了虛數單位i（它是 $x^2 + 1 = 0$ 的根），再根據加減乘除和極限運算得到了 $a + bi$ 的複數域，可以證明當前述 $a_k in old C$ 的時候，方程的根也都是複數，從而方程求根的運算對複數域封閉。

那麼我們也可以注意到，如果讓方程中的 $a_k in old Z$ ，整係數多項式的根，這也構成一個數域叫做全體代數數數域，這是另一條路徑、從整數（有理數）開始的擴充，顯然對於 $a_k in old Q$ 也得到完全相同的擴充結果。細分下來還可以按照不同次數的多項式分成不同階。但不管怎麼說這個用得就少得多了。而且詳細的我也不是特別了解……

總結來說，自然數、整數、有理數、實數、複數這些每個都是一次擴充的自然形成的結果，它們對一系列的運算是封閉的；而無理數、虛數只是擴充進去的內容，它們本身是不封閉的，所以不常用。

符號只是簡稱為的是表意方便所以給高頻概念符號就夠了

聽起來不可思議但數學是非常講究實用的

給無理數之類的概念符號可以，但是沒卵用啊，它無法脫離有理數存在和討論，有的數學課上會用符號P表示無理數，但用的不多。你要想像數學是有生命的，在發展的，有用的符號才留下，無用的就被淘汰了。

牛頓與萊布尼茨共同發明了微積分。牛頓用了繁瑣的點記法，而萊布尼茨創建了簡明的符號體系沿用至今。英國固守牛頓的方法使得他們的數學漸漸落後於大陸。

最後用萊布尼茨的話來總結:簡潔的符號讓人簡化問題，幫助思考。

虛數是啥？？？

$imathbb{R}$？？

字母表示只是縮寫，大家只需要約定使用頻率高的，遇到特別情形寫完整就行咯。