怎樣理解格林公式和高斯公式？格林公式和高斯公式在物理或者其他領域有什麼意義？

01-05

格林公式和高斯公式的聯繫、應用、理解什麼的都可以說，現實意義什麼的也可以說。
求大神解答

簡單談一下在力學領域的應用吧（作為搞工程的，談不了很深，而且可能比較片面）。主要拿高斯公式在流體力學和固體力學中的應用舉例。

1. 流體力學

首先想像一個以 $S$ 為邊界面的流體域 $Omega$ ，如上圖所示。對於一個系統，我們通常會關心的物理量有：質量，動量，角動量，能量，熵等。當然這些物理量在整個域內不必是均勻的，所以我們需要定義密度函數（單位體積的物理量），然後通過體積分就可以得到整個域的對應物理量。我們姑且把這些單位體積的物理量統稱為 $A$ 。例如質量所對應的 $A$ 是質量密度 $ho [frac{kg}{m^3} ]$ ，動量所對應的 $A$ 是 $ho v [frac{kg}{m^2s} ]$ 。不難想像，整個域的物理量隨時間的變化率應該等於通過邊界進入該域的物理量的速率加上該域本身內部自發產生對應物理量的速率。為了將這句話通過公式表達出來，我們定義兩個量，一個是通量 $ar{J}$ (單位時間通過單位邊界面積的物理量，單位 $frac{[ ]}{m^2s}$ ,分子是對應物理量的單位)，另一個是production rate $P$ (單位時間單位體積所產生的物理量，單位 $frac{[ ]}{m^3s}$ )。於是加粗的那句話可以表達為：

$frac{d}{dt}int_{Omega}AdOmega =-int_{partialOmega}ar{J} cdot ar{n} dS+int_{Omega}PdOmega$ ,

其中 $ar{n}$ 是邊界面的法向量，通量那項為負因為法向量的正方向定義為指向外，所以進入該域為負。

假如使用歐拉描述，即域 $Omega$ 不隨時間變化，那麼我們可以將等式左邊那項的對時間的求導放入體積分內。但是即使這樣做了，化簡還是進行不下去。雖然兩個體積分可以合併，但是還有一個向量場的面積分很礙眼。這時候就是使用高斯公式的時機了，把通量的面積分轉化為體積分，這樣我們就可以得到：

$int_{Omega}frac{partial A}{partial t}dOmega=-int_{Omega} ablacdotar{J}dOmega+int_{Omega}PdOmega$

這樣就可以把積分合併，由於我們研究對象是微元，所以被積函數需要等於零才能使等式成立，這樣最終我們得到了：

$frac{partial A}{partial t}+ ablacdotar{J}=P$

比如如果 $A$ 是質量密度，假設流體內部不會有質量自發生成或消失（ $P=0$ ），那麼我們就可以得到：

$frac{partial ho}{partial t}+ ablacdot( hoar{v})=0$

這就是流體的連續性方程。替換不同的 $A$ 所導出的一組方程式就是流體中重要的Navier-Stokes公式。

2. 固體力學

在固體力學中，高斯公式也可以用來推導虛功原理(Principle of Virtual Work)。即外力所做的虛功等於內力所做的虛功。 $delta W_{ext}=delta W_{int}$

首先先計算外力所做的虛功。外力無非就兩種，一種是作用在物體邊界的外力(traction $ar{t}$ )，另一種是作用於整個物體的體力（ $ar{b}$ ）,比如說重力。我們假設物體有一個虛位移場 $delta ar{u}$ ，這樣 $delta W_{ext}$ 可以表示為:

$delta W_{ext}=int_{partialOmega}ar{t}cdot delta ar{u} dS+int_{Omega}ar{b}cdotdelta ar{u} dOmega$

帶入Cauchy"s relation: $ar{t}=ar{ar{sigma}}cdotar{n}$ (邊界處traction和內部應力場平衡)，得到：

$delta W_{ext}=int_{partialOmega}ar{ar{sigma}} cdotdelta ar{u}cdot ar{n} dS+int_{Omega}ar{b}cdotdelta ar{u} dOmega$

現在又遇到了同樣的問題，一個是向量場的面積分，一個是體積分，難以合併，所以又是使用高斯公式的時候了，化簡後可以得到：

$delta W_{ext}=int_{Omega} ablacdot(ar{ar{sigma}} cdotdelta ar{u})+ar{b}cdotdelta ar{u} dOmega$

再經過幾步化簡(不在本問題回答範圍內，就省略了)，可以得到：

$delta W_{ext}=int_{Omega}ar{ar{sigma}}:deltaar{ar{epsilon}} dOmega=delta W_{int}$

從上述兩個應用可以看出，當我們對於一個微元進行研究時，往往會包含域和域的邊界，對於三維情況，高斯定理很好的將邊界上向量的面積分轉化為等價的域上的體積分，從而讓我們能夠將所有項統一成體積分進行合併。

要理解一個公式的內在機理，必須依靠圖像化。先從積分定理說起。牛頓—萊布尼茨公式為什麼成立？

請看下圖：

由積分定義可知，一個函數積分的幾何意義表示的是函數在定義區間內所圍成的面積。

但這與它的原函數有什麼關係？

看上圖是一條原函數的曲線，把它分成4段，那麼每一段中因變數的增量約等於對應函數與自變數增量的乘積，b和a點原函數值之差就約等於4段增量之和了。如果劃分為無窮段呢，就是教材中牛萊公式了。而函數與自變數乘積就是微分，所謂的積分便是無窮微分之和。

那麼在一個區間的積分怎麼就變成兩個端點的原函數表達式呢？換句話說，中間的點哪去了？

積分說到底只是加減法，比如1+1+1+1=4，如果它是20-16=4的話，中間值怎麼加其實是沒關係的，你可以1+1+1.1+0.9，也可以0.7+1+1.1+1.2，還可以……就是只要端點值確定，中間段的和就確定。

回到原來的話題，我上文中強調的是約等於，那麼說明有所忽略，那忽略的又是什麼呢？

由微分定義我們知道忽略的是高階無窮小，對於積分忽略的就是無窮多高階無窮小的和，無窮多無窮小還是無窮小嗎？請看下面的推導：

假如把積分區間lab劃分成n個等份，那麼由上面的推導可知無窮多高階無窮小的和仍然是無窮小，這是因為當劃分的份數變多後，單個變數的長度也會相應變小。

好了，現在回到我們的格林公式，我們取其中的一個坐標積分來研究：

我看了許多人的回答，很多人說這公式反應的是平面區域的二重積分與邊界上曲線積分的關係，可是這答非所問好嗎，就是只回答了是什麼，而沒有回答為什麼。

那麼現在我們來看看到底為什麼，請看下圖：

我們先對左邊進行一次對坐標y的積分，注意這時用到的就是牛萊公式，所以就得到P函數在邊界曲線上兩個坐標點的函數值之差。

這就把線的問題轉化成了點的問題，而這兩個點隨著二次積分還要沿x坐標軸方向運動的，這不就變成了對坐標的曲線積分了嗎，而這兩條曲線在兩端是銜接閉合的，也就合成了右邊的對閉合曲線的坐標曲線積分。

至於正負號的問題，累了，留給你們思考吧。至於高斯公式，兩個字，同理。

完

本人非數學專業，自學微積分，貢獻觀點，以作參考：

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我在學習積分的時候，腦海里用的是這樣的一個模型：空間上布滿密密麻麻的點，每個點的質量（可以是其他某種性質的量）不同，如果是線積分，就是掃過一條線，積累下來的小點的質量；如果是面積分，就是掃過一片面，積累下來的小點的質量，同理可以往高維上發展。

直覺上，我無法接受格林公式，原因主要來自於這樣一個潛意識：有一個圓，我沿著這個圓的邊界採樣，得到邊界所有小點的總質量M，現在你告訴我圓圈內部小點的某個總量等於M。

舉個更實在的例子：黑夜裡，有個操場上密密麻麻散落著不同的東西，給我一個頭燈，讓我沿著跑道撿東西，然後我發現跑道上全是錢，撿了一圈，攏共1萬塊大洋，然後你告訴我跑道圈內部的東西加起來能賣一萬塊錢。

開完笑么？黑燈瞎火的，我怎麼知道跑道內部是個什麼鬼，我甚至不知道那裡是綠蔭草地還是煤灰渣子，裡面還有座山也說不定。

我們認為我們不能了解圓圈內部的性質，是因為我們沒有在裡面取樣，一個樣本都沒有。然而事實上，我們在學習一維空間的積分——牛頓-萊布尼茨公式的時候就已經遇到了這個情況：在時間段a-b兩端點取樣，得到的位移S，我們並沒有在時間段a-b內部取樣，然而卻知道瞬時速度在這個時間段內的累計正好是這個S。梗就在這裡：我們直覺上覺得跑道上的錢跟操場內部的事物沒有關係，然而是有關係的。

圖中，與y軸平行的一條虛線經過圓圈a，b兩點，函數P在兩點各被分成兩個方向上的量，我從a點跳到b時（不經過任何其他點），撿起的量為x1-x2，相當於右上角式子的右邊；而我從a沿虛線掃到b，由牛頓-萊布尼茨原理可知，積累的另外一種量（P在y軸方向的偏微商）為y2-y1，相當於右上角式子的左邊。兩者顯然是有關係的。這個圓圈上布滿了這樣的虛線，由此，將牛頓-萊布尼茨原理中點與線的關係，推廣到了線與面的關係。

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以上觀點並不嚴謹，只是在直覺上讓我更容易接受格林公式，歡迎多多交流。

--------------------------------------------------------------------------------------- 2016/10/9

以下觀點來源於我有限的知識經驗：

《微積分，貝葉斯定理以及薛定諤的貓》

最近複習統計學，看到貝葉斯定理，私覺其與微積分有一些妙不可言的共通之處，之在於他們都背叛了人性中對本質和一勞永逸的貪求。

之所以這樣說，是因為我覺得最初人類探尋知識時，寄希望於尋找一個內核，由之解釋整個世界，這個思路的一般模型是這樣的：先假設一個內核的存在，再由此解釋外部周遭，由原因及結果。《幾何原本》中的五條定理（其實我忘記了是幾條了，亂講的），物理學中的原子等等，人類收穫了很多，收穫的越多，便越是渴求發現這紛繁世界內在的最終真理。

而微積分和貝葉斯定理就樸實多了：世界本來就是一個黑色的球，內核是怎樣，沒有人可以知道，我們應該接受這個事實。然而接受這樣的事實，不等於放棄對真理的探求，我就好好研究這黑球的表面，來推測它內核的樣子。這就是微積分和貝葉斯做的事情，由表及裡，由結果及原因。

微積分和貝葉斯所做的事情事實上要直接得多，也簡單得多，然而卻反應一種更為成熟的人類心理，在遭受挫折後，放棄了一直以來最在意的事情，接受了一直擺在面前卻一直被忽視的最簡單最樸素的道理，如此這樣，迷霧中道路反倒顯得豁然很多。

盒子裡面的貓，是死是活？ I care about it, very much, but I know I don"t know.

我從考研的角度來給出回答吧，利用高斯公式求解第二類曲面積分是個很重要的考點，幾乎年年出，而且它與格林公式也有幾分相似之處，因此本文就借2009年的一道真題，來深扒下高斯公式！

寫在前面：

建議讀者看完題後，先自己親自做下，然後再結合本文分析來看，這樣效果會更好！

各位考研狗辛苦了，先給各位上兩道小菜，讓各位再辛苦下！

兩道第二類曲面積分題目的計算：

哎呦！

不是度過了打拚的年齡，就應該退隱江湖嗎？

不是度過了打拚的年齡，就應該食山果飲甘露，日撫瑤琴夜讀詩書嗎？

2009年的第二型曲面積分，這貨怎麼又重出江湖興風作浪了？

難道說武林有一場大事發生？

稍作鎮定下來，我定了定神，思考第二型曲面積分長啥樣？

（一）第二型曲面積分長啥樣？

第二型曲面積分呢，也叫對坐標的曲面積分，題目中會出現P、Q、R三個的積分，它長這個樣子」

繼續展開思考哦~

假如現在就讓你算一個曲面積分，沒有P、Q這兩個函數，只有R，這裡的曲面取得比較特殊，它就取的是一個xoy上的一個平面區域，那你想一下，我可以不可以這樣講：這其實就等同於算一個平面區域上的二重積分？、

不可以！

為什麼？

因為第二型的曲線積分、第二型的曲面積分啊，一定要注意方向！

剛才所提問的，其實是沒有指明方向，如果你說清楚這裡的平面區域是向上或者向下，那麼在結果上就要加正號或者負號。

（二）第二型曲面積分的計算

還記得第二型曲面積分怎麼計算嗎？有幾種方法呀？」

有兩種解法。

一種是咱們平時的基本計算，也就是將第二類曲面積分化為二重積分來計算

另一種計算辦法是高斯公式法，也就是將第二類曲面積分轉化成3重積分。

進一步展開講講這兩種方法：

（三）第一種計算方法

在第一種方法中，我們把它叫做：一代二換三定號」。

所謂一代，指的是將曲面方程代入被積函數，即將被積函數中的某一個量藉助曲面方程來表示出來，這一步是必須做的。

所謂二換，指的是將ds換成dxdy，將曲面sigma換成Dxy，當然，這裡講的是假設它投影到xoy平面，

最後所謂的三定號，指的是需要我們最後在二重積分的結果前面加上正負號，上為正，右為正，前為正，其餘為負，主要是看平面的法向量方向與z軸正向的夾角為銳角還是鈍角，如果是銳角，則為正，反之則為負。

（四）第二種計演算法---高斯公式法！

第二個計算方法—高斯公式法呢，乃高斯前輩所創，這套方法是將第二類曲面積分化成了3重積分來計算，雖然說積分重數上增大了，但是實際上簡化了運算」。

既然是有用的公式，那麼就有對應的使用條件，針對使用條件，考試中心那幫人肯定就會給你使壞，給你破壞公式！

術清晰了，咱們回看開頭給的那兩道小菜！

不就是計算第二類曲面積分嗎？我用高斯公式分分鐘滅掉你！來吧！比試比試！

（五）第一題的解答

第一題的解答如下：

如果你的答案是上面的，那麼恭喜你！

數字對了，步驟錯了！

你得不到滿分！！！

什麼情況？難道是敵人布下了陷阱？我們上當了？？？

低下高昂的頭顱，重新認真分析，可惡，這題所給條件不封閉，我得加個面，然後將曲面方程代入到被積函數中，很熟悉的套路！

咦？哪裡好像不對勁？

啊！竟然是它！又是你—不連續！！！我知道哪裡出問題了！重新來戰！！！

說時遲，那時快，我輕輕畫了一條線，重新排了順序，轉眼間得到滿分了！！！

補充的那個面含有奇點，如果先補面，然後再帶入，勢必會讓高斯公式失效，發揮不了威力，因此只能先將曲面方程代入被積函數，打好這個頭陣，然後再補面！

思考完畢，我將自己對這道題的學習心得寫在了旁邊：

就算是加面減面，也得將順序調整好！

（六）第二題的解答（2009年真題！）

既然是加了個面，那我就減去這個面（不要管什麼積分符號，就按照最簡單的數學加減來想），緊接著再利用高斯公式，轉化成3重積分，最後成功算出了答案！

答案雖好，可是卻費時費力！！！

眼尖的同學，估計已經看出來這道題在哪出現過了，它不僅僅是一到考研真題，更是2018某數學18講中的一道例題！圖片為證！

考研狗們，需要你靜下心來思考一下了！

做題絕不是做出個答案，一看對了就萬事大吉了，不要忘了優化！

試想一下，等到你正式上戰場時，拼的就是速度和準確度，你這個解法在前面計算偏導數時，耗費了大量的時間，而且萬一在考場上緊張呢，忙中出錯呢？？？

像用這種教材輔導書教出來的徒弟，做題之後又不多多思考，恐怕在戰場上會大大的吃虧！

破敵之道，關鍵就是寶刀君平日強調的「穩、准、快」！

怎麼破？怎麼樣提高速度？誰能告訴我？

哪位高數前輩可以告訴我？費馬？拉格朗日？格林？高斯？

對了，格林、高斯！我知道怎麼做了！！！

優化後的解法如下：

能寫出上面這個答案的，估計就是已經將格林公式和高斯公式融會貫通了！！！

事實上，格林公式和高斯公式有異曲同工之妙，回想一下格林公式：任何2條同向包含奇點在內的封閉曲線，兩條曲線積分的結果都是一樣的，那麼回到高斯公式上，任何包含奇點在內的兩個曲面，只要方向相同，那麼他們兩的曲面積分記過也是相同的，經過這樣構造的曲面方程，就可以順利的去掉分母，然後再次使用高斯公式，簡化計算！！！」

其實，從剛才第二題的第一個解法步驟中，其實我們也能發現，原式的曲面積分積分值，就等於重新構造的在這個同向曲面上的積分值，就是：

那麼，格林公式和高斯公式又有何不同呢？

像之前的第二類曲線積分，你如果碰上了，一定要用格林公式，而至於高斯公式嘛，滿足條件你就用，如果不滿足，那就老老實實的用第一個計算方法吧

（七）總結

以上是對第二類曲面積分的分析，確確實實是考研考試中的重點但是我們不要忘了，還有第1類曲面積分呢？他要是哪一年出出來，難度一點都不必第二類曲面積分難度小！！！

什麼，你不信？

不信的話，那就戳以下鏈接睜大眼睛、準備好紙和筆，尤其是專門做修改用的紅筆，親自見題之後，先給我真刀實槍的做一把，然後再核對答案分析吧！

附：真題中第一類曲面積分的分析（1999和2010）：拉幫結派的第一類曲面積分，10年磨一劍，究竟有多大的殺傷力？(自行測試1999、2010兩道真題便知！)

後記：關於本文，如果有想看公眾號文章 武俠版本、內附視頻的小夥伴們，可以點擊以下鏈接進行查看哦----誰能快速破解二型曲面積分？唯我高斯公式！）

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兩者都有很大的物理含義。高斯公式將第二類閉曲面積分與體積積分通過被積矢量函數的散度聯繫。而第二類曲面積分物理上能理解為被積矢量在曲面的通量；高斯公式可以推論出在閉曲面包圍空間內若矢量的散度為 0 則矢量在閉曲面上的通量為 0 ；其實某空間位置矢量的散度一直與該位置是否有矢量源（匯）聯繫起來，可以想像如果閉曲面包圍區域內無源匯（就是說矢量是從區域外穿向區域內，並最終穿出去），則對於一個閉曲面來說，矢量總是一進一出，通量一正一負，整個曲面的通量必然就為 0 。

而格林公式（斯托克斯定理的平面情況）將第二類閉曲線積分與面積積分通過被積函數矢量的旋度聯繫，旋度顧名思義就是某空間位置矢量是否會「旋轉」。可以想像如果矢量在閉曲線上保持方向（沒有「旋轉」），那麼第二類閉曲線積分結果便是 0 （因為弧微元和被積矢量的夾角總會從 0~2*pi變化），也即旋度為 0 對應了曲線積分為 0 （環量為 0 ）。

要知道有源匯和有旋是兩個矛盾的情況，有源匯就無旋。上述的矢量可以想像為電磁場、水流速、引力等等物理量。其實真要展開還有很多相關的物理含義，諸如重力勢能、電勢能關於保守力的問題。

在n維流形上，我們可以對n-形式(n-form)求積分，且有以下的廣義斯托克斯公式(generalized Stokes" formula)：

其中，dω是ω的外微分(exterior derivative)。

也就是說，一個n-形式在n維區域中的積分可以轉化為一個(n-1)-形式在該區域的(n-1)維邊界上的積分。

當ω是一個0-形式，也就是標量（scalar）時，廣義斯托克斯公式就變成了微積分基本定理(fundamental theorem of calculus)。

當ω是一個1-形式時，廣義斯托克斯公式變成了旋度定理，此時如果只考慮xy平面，那麼便得到格林公式。

當ω是一個2-形式時，廣義斯托克斯公式變成高斯散度定理。

如果單純使用的話，其實無論是Green公式、Gauss公式還是Stokes公式，可以從矢量場的旋度與散度入手（雖然證明不可以這麼用，要不就循環論證了），這樣做的好處是能夠構建非常直觀的幾何圖像來理解整個公式運作的過程，下面的論述為了保證直觀性會捨棄一定的嚴謹性，如有不嚴謹的地方還請指出。

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由於Green公式的兩種形式實則為Gauss公式與Stokes公式在二維上的特殊情況，在此不額外做討論。

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Gauss公式

預備定義：三維空間矢量場散度

散度的幾何圖景：

散度：包含該點的一個極小的閉域表面的通量。如果這個還是不太好理解的話，不妨想像空間中存在電場，把一個極小的封閉曲面放進去，曲面表面每個面積元點乘該點的電場強度，求和就是通量。總之通量可以理解成從一個封閉小曲面跑出來的量之和。

Gauss公式應用的場景：

高斯公式就是求一個有界閉域的總通量。

在二者之間建立聯繫：

Step1: 把整個空間切碎，切成一個一個極小有界閉域(dV）

Step2: 想像一下，如果兩個極小有界閉域的某一個面重合了，是不是在那個面上的通量就相互抵消。

Step3: 按照前一步的邏輯，如果我把所有的極小有界閉域的通量加在一起，是不是不再邊界上的通量都相互抵消了？

Step4: 這樣得到等式：∑極小有界閉域通量＝有界閉域的總通量，這個就是高斯公式。

最後按上面步驟具體從數學上完成公式的生成過程（循環論證，不可用於證明，但可用於公式的記憶與理解）不妨設F(x,y,z)

Step1: 得到在（x,y,z）點的dV

Step2: 計算dV上的通量

divF = ▽F

Step34:

∫∫F?ds =∑divFdV = ∫∫∫▽FdV

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Stokes公式
Stokes公式處理的邏輯痛Gauss公式一摸一樣

旋度是什麼？是環量面密度。

Stokes公式求的是什麼？是整個空間曲線的環量。

由於規定了環量的正方向，重合部分的環量相互抵消。

也就是說把所有面積元的環量加起來（積分）得到的就是總環量（Stokes公式）

剩下的轉換成數學公式的過程留做作業。

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至於怎麼從Gause公式與Stokes公式得到Green公式，只要把F(x,y,z）的z方向取為0就好

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其實用以上思路來理解這些公式的話，就不用再區分這些公式了。只要看看求的是環量還是通量，然後用哈密頓運算元算出每個元的環量、通量，再積分求和即可。

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至於物理應用，畢竟答主不是物理專業的。不過從這些公式得到的旋度散度之類的確實是很有用的（循環論證滑稽）

它們都是 general Stokes 公式的特例，把流形上的積分和流形邊界的積分相互轉化用的。

數學上的深刻意義我完全不懂。

物理上的用處么……Electrodynamics 裡面的就不說了找本教材看看就好。說個稍微少見一點的（雖然也不是什麼新鮮東西）：利用 Stokes 公式可以把分部積分推廣到高維情況，這樣單變數（t）函數的變分問題可以推廣到場上面去，我們可以仿照拉格朗日力學來定義拉格朗日密度，對全空間積分作為作用量，然後通過變分原理導出場方程。

Green"s Theorem， Gauss" Theorem等等都是同源的（general Stokes" Theorem），理解了其中一個，其他的也好理解了。由於其中最直觀的是Gauss『 Theorem，我就從Gauss Theorem來談談他們的意義吧。（這裡主要是物理意義，但你們看起來可能像數學意義，其實學數學的人看這個問題的角度會更奇怪）

首先，我們考慮一個問題的時候最主要的一點是要確定它的應用範圍。

一）我們討論的空間必須是一個n維的光滑流形，當然，這個概念及其抽象，大家只要知道這是一種廣義的n維實數空間: $mathbb{R}^n$ 就好了。更具體的是，我們通常討論的是3維空間: $mathbb{R}^3$ 中的子空間的情況。比如一個有確定邊界的實心空間（在Gauss" Theorem中），e.g. 實心的球空間。

要理解Gauss" Theorem，這裡的概念其實並不需要搞太懂。但我要強調的是，你使用這些Theorem的時候，其實是默認了連續性假設：我們的空間是連續的。某樣定義在空間中的事物永遠（即對於任意的封閉體積）滿足Gauss" Theorem印證了空間連續性假設

二）我們在這些定理中討論的是定義在上述空間中的一個compact supported n-form 。首先，我們先不要管這個詞是什麼意思，先說說在這裡的物理意義。我們討論的這個n-form可以理解為某種密度場。在Gauss" Theorem中，這個是n等於2的情況。這裡的2-form就是流量密度場。這裡的2代表的是為了標明該流量場，在空間中的每個點我們需要2重維度來描述該場。所謂的流量，我們必須聲明某量是從哪個方向來，到哪個方向去。在3維坐標中，要把所有的情況說清需要3X3=9個量： x-&>x, x-&>y, x-&>z, y-&>x 等等。

然後是supported，這個詞意義不大，僅代表這個流量場在上述空間中不全為0（廢話，如果都是0我們還討論個啥_(:зゝ∠)_ ）最後這個compact需要跟supported放到一起理解。但是compact supported的具體意義極其複雜，這裡不多加解釋。對於有限邊界問題來說，我們並不用在意太多。

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廢話這麼多之後要開始說什麼是Gauss" Theorem了。這個theorem就是說在上面所述的空間中，流量場的外微分在整個空間中的積分等於在這個三維空間的表面上，所有與表面垂直的流量的積分相等。（由於我們）

所謂的外微分其實代表的就是原n-form在空間上的變化量。外微分的結果是一個(n+1)-form。對於Gauss" Theorem，它是3-form, 我們叫它該流量場的散度這個額外的維度代表的是比如說x-&>x 這個量向x方向改變了多少，向y方向改變了多少，向z方向改變了多少等等。

但是在3維情況下， $dxwedge dy wedge dz = dy wedge dzwedge dx = -dywedge dxwedge dz$ .... 意思就是三維中3-form 的各個分量是可以合到一起的（散度是旋轉對稱的）。所以散度在三維中可以用一個標量表示。

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能把上面的文字看完，對於門外漢來說估計已經瘋了把。那我在最後來拯救一下你們脆弱的心靈。

1維Gauss" Theorem：你的支出（流出量）減去收入（流入量）等於你財產的變化量（散錢度)，正的說明你在散錢，負的說明你在聚錢. 就是這麼簡單，終於看懂了吧

這麼簡單的問題，你們搞數學的居然能扯出這麼多道道來，┑(￣Д ￣)┍

功利點說的話，舉個例子：你要計算一個物體的體積，但這個物體體積很不好積你不會積，然後你發現它的各個表面的形狀相對來說還是很簡單、很容易描述的，那麼就可以利用高斯公式把對體積的積分轉換為對面積的積分，然後可能很快你就積出來了。如果我沒記錯的話有一年數學建模國賽的題就是這樣的。

但這是很目光短淺的理解。更長遠地，後面在物理里涉及到各種場的性質的一些推導的時候這種不同維度積分之間轉換的公式還是非常有用的。建議學到的時候多看幾本書加深一下理解會好很多，別人說太多終究不如自己直觀感受來得深刻。

「我會用遙控飛機將這架紙飛機帶到2000米高空，彈射釋放，讓它滑翔穿過整個成都(3600平方公里)，記錄航跡，大致的路線是電子科技大學(犀浦校區)到升仙湖地鐵站。」

H說話時，他鏡框里那雙黢黑的眼裡已經倒映著紙飛機在灰藍色天空翱翔的樣子。

H第一次算出紙飛機的流體數據和風控積分式子的時候，他抖動著手裡爬滿數學蝌蚪的草紙告訴我：這項成果就足以讓他拿到斯坦福的直博offer。他站在綠茵田徑場上不斷的拋試著手裡那個奇形的紙飛機，重複的強調著五十個這麼大的田徑場才足夠讓這個紙飛機翱翔。

我跟他一樣激動。不過我激動的理由是我相信這即是我五年大學生涯裡面見過的最美的畫面，更重要的是，這也將是未來十幾年內深深印在我心裡，對學生時代的重要印記。

在學校的獨居生活讓我養成了許多壞習慣。其中之一就是不斷的靠順時針轉田徑場來打發時間。我卻發現幾乎所有人都是和我相反的方向繞行。

這讓我深入思考了一個問題：為什麼人們總是逆時針在田徑跑道上奔跑和散步？

當然，我逆向行駛的目的是為了正面看到一個扎著辮子穿著紅色露臍T恤的女孩子。只要我不和大家一樣逆時針走，而是順時針繞著田徑跑道，我就能和她正面相見。她幾乎每晚都在這裡跑六圈。

而H給出的回答讓我重新回到了大二時代的物理積分課堂上。同樣扎著小辮子，卻已年過半百的xx老師不斷的強調：「根據格林公式所創造出的單連通區域與多連通區域關於「正反逆時針的定義」。平面上的曲面積分與路徑無關。逆時針為正！」

H最討厭的就是和我一起逛操場。其實我並不奢求他有福分能享受那種迎面而過所帶來的諸多可能性之美好，只是希望能放鬆一下心情。可明顯在H看來這就是一場毫無意義的重複勞動。「封閉曲面的任意相同起始點積分結果均為零。」這是高數考試中用的最多簡化公式。H說田徑場這種封閉曲面是他最痛恨的地方，真是一刻都呆不下去。因為一切活動都毫無意義，最終還是回到原點。

傍晚的田徑場幾乎是學校最熱鬧的地方，每天都會有很多人來這裡繞著圈子然後停下來休息。這個操場也似乎每天都會有呼吸。

濕熱的體訓、嘶吼吶喊的比賽、某人的生日某人的別離、不斷的集合與散去……

慟哭的女孩、放聲歌唱的吉他手、浪漫的表白蠟燭、席地卧談的情侶……

最終都各奔東西,田徑場又回歸沉寂。

曲面積分卻不一定越積越多

沿封閉曲面的任意相同起始點積分結果均為零……

有一天我照常與往日一樣，繞著這個田徑場走著。準備著和那個小辮子的再一次相遇。可我居然看著H踩著一個摺疊車迎面向我飛馳而來，後面還載著一個白色裙子的女生，手裡拿著他的那個斯坦福offer級別的白色紙飛機。H似乎想了一下該做出一個怎樣的表情來迎接我的驚訝和詫異。猶豫再三，最終他以一個剪刀手的露齒笑臉，帶著那個白色的少女和白色的紙飛機離我而去……

後來有很多高考完的小同學們問詢各個大學的模樣。我覺得我得多讀幾所大學才能知道怎麼去客觀評價。

再後來我想到了一個更好的答案，

「格林公式的逆行積分可以遍歷拆解所有積分過程」

當然用文藝的方式說出來就是：

「等你吃過了晚飯，去到那個學校的田徑場上。待夕陽西下之時，一個人安安靜靜的繞著它走上幾圈。

如果你有心選擇逆向行駛，你就能看到這個學校的一切。」

可以理解為，內部發生的增減一定會體現在表面上，休想掩藏，哈哈。

轉行通信的微波狗。淺談一下這倆公式在電磁場里的應用。

以高斯公式說明。

大物簡要介紹過高斯定理——

某一封閉曲面上的通量僅由該面所包裹的核決定，而無法得知該封閉曲面內除核外任意一點的電場分布。

通量在這裡，可以看作是一個宏觀量，無法精確的描述空間任意一點電場的情況，只能停留在封閉曲面這個層面。

利用高斯定理，封閉曲面上的通量，等於場做散度運算後再積分，

從二重積分變成三重積分的過程，其實是散度運算具有封閉曲面空間內各點電場分布信息的一種體現，

所以我們也經常用電場分布密度來通俗的表示散度運算。

以上，通過高斯定理，使得準確的描述封閉曲面空間中任意一點的電場分布情況成為可能，

相當於在宏觀描述與微觀定量分析中架起了一座橋樑。

相似的原理，格林公式，用來描述任意一點環路的情況。適用於磁場。

這二者結合，就構成了靜電場與靜磁場理論的基石。

電場磁場計算時，特別有用

有的時候一個積分太噁心，可以湊成帶散度場的形式，通過高斯公式換成無窮遠處曲面積分，可以把很多項寫成0。恩。

你有一塊夾心餅乾，想知道是什麼餡的，不必完全拆開，只要看一眼側面的顏色就好，因為餡是一層壓一層而且連續分布的，只要知道邊界，就能知道內部，同樣，知道內部是什麼餡的，你也就知道側面是什麼顏色了。

其實就是一道積分公式涉及場論的學科都可能會用到

比如磁場裡面求磁通的時候就會有斯托克斯公式

我感覺比如高斯一個量面積分可以變成散度的體積分這就是把一個量降了一階然後積分元升了一階階數沒有變結果就沒有變同樣一個線積分可以變成旋度的面積分旋度把被積函數降了一階然而積分元又一維線變為二維面基升了一階積分結果還是不變就醬.

正好在看流體力學，就從流體力學的角度說一下高斯公式。有錯誤，請指正。

當積分體積選為流體微元，積分函數選為速度時，在高斯公式的體積積分中，速度的散度在拉格朗日觀點下表示流體微元的單位體積單位時間膨脹率，積分後就是流體微元的體積膨脹。在面積分中，取流體微元表面的任意麵積微元，該面積微元和速度的點積就是單位時間該面積微元通過的體積，在流體微元表面積分後，就是整個流體微元表面在單位時間通過的體積，也就是流體微元的的體積膨脹。所以兩側相等。

環流是旋度的積分，通量是散度的積分，實際上都在描述場的同一種性質：旋和源