能否從正合序列算出環的連通數？

01-05

【腦洞大預警】起源是來自d維空間中n刀切蛋糕最多能切多少塊？求f(d,n) - 數學
但是和原問題沒什麼關係就另開一個，2維的情況可以利用Alexander對偶和正合序列計算出連通數也就是H_0的維數（通過對偶可以計算H^1得到），高維先不談，突然聯想到SGA2中利用層上同調得到深度和連通性關係的代數幾何方法，假設X是仿射概型SpecA，Y是主理想I生成的閉子概形，支集上同調的正合序列
$0->H_{Y}^{0}(X,O_X)->H^{0}(X,O_X)->H^{0}(U,O_X)->H_{Y}^{1}(X,O_X)->0$

把上同調全化成EXT，Y是主理想生成的子概形，則必然depth為1，於是第一項為0，第二項就是A，第三項待計算，第四項是 $lim_{{overrightarrow{n}} }{Ext_{X}^{1} (O_{Y_n},O_X)}$ ，這個正合序列變成短正合的，那麼問題來了，因為第三項的Spec的連通分支和U的連通分支有關，那能不能通過這個正合序列計算其冪等元呢？
唯一想到靠譜是K理論，但是還是沒什麼想法……

如果 $I=(f)$ , 這個正合列就是 $0 ightarrow A ightarrow A_f ightarrow A_f/A ightarrow 0$ ，這是一個A-module 的正合列，我覺得應該很難讀出 $A_f$ 作為環的信息。

另外，在復代數幾何里， $H^i(U, C)$ 可以用differential forms with log singularities 來計算

Let $X$ be a complex algebraic variety, $Y=cup X_i$ , where $X_i$ are hypersurfaces that intersect transversely. Define $Omega^s _X(log Y)$ to be meromorphic differential forms on X with at most order 1 singularities at Y. Locally those differential forms look like

$O_{x,p}dz_1/z_1 ...wedge O_{x,p}dz_r/z_r wedge O_{x,p}dz_{r+1}...wedge O_{x,p}dz_s$

if Y is defined by $x_1x_2...x_r=0$ around p.

It turns out that the restriction map $Omega ^*_X(log Y) ightarrow j_*(Omega^*_U)$ is a quasi-isomorphism. By de Rham theorem, one can use the complex $Omega ^*_X(log Y)$ to compute $H^i(U, C)$ .

Furthermore, by using the residue map

$dz_1/z_1 ...wedge dz_r/z_r wedgeomega +omega ^{$

this computation can be reduced to computing the cohomology of those hypersurfaces and the combinatorial data of their intersections.

details見 Mixed Hodge Structures, Peters steenbrinck, Chapter4