這個薛定諤方程的推導哪裡有問題？

01-05

謝邀。

應該說，高中生看量子力學並且親手做一些推導是值得鼓勵的。但是少年，我可以感受得到你和你的小夥伴的急功近利以及囫圇吞棗。

推導過程當中具體的細節充滿了問題。不是數學上的問題，相信你作為高中尖子生，數學上的低級錯誤是不會犯，而是物理意義的問題。但是這些問題太過細節和平凡，哪天你對量子的理解更深刻一點了自然就懂了，沒理解的話我們說再多也沒用，所以我就不細講了。

我這裡就講一點，就是「你想要做什麼」。你想要「推導薛定諤方程」，可是薛定諤方程在初等量子力學中是公理，沒有辦法可以「推導」它，所以一切這類的努力從根子上就是很奇怪的。

而你在這裡所做的，我說實話，就是把一個波的色散關係（還是你手放進去的，公式2.9）用量子力學的語言寫出來，把頻率換成哈密頓量，把波數換成梯度。僅此而已。當然，非相對論量子力學裡粒子的哈密頓量形式確實就是這麼來的。但是這實在稱不上「對薛定諤方程」的推導。廣義的薛定諤方程是這個

$ihbarfrac{partial}{partial t}psi=hat{H}psi$

而不是後面哈密頓量的某個具體形式。

先說這麼多，有什麼問題再問吧，有事先離開了。

噗嗤， @趙永峰峰哥不要那麼 mean 嘛，誰還沒有個中二的年紀。

恭喜你推導出了 Klein-Gordon 方程（除了用的速度不應該是運動速度 $v$ 而是光速 $c$ ）！推得當然很好啦，但是請告訴我這個詭異的速度 $v$ 到底是個什麼鬼？可別拿自由電子忽悠我喲我說的可是諧振子。你這個當然是「字面意義上」的波動方程，而且可以是純粹的實方程，相傳（我不保證真實性）薛定諤寫下的第一版波動方程就大概長這個樣子，誰不喜歡實方程呢。後來當然是不 make sense 啦，如果用速度就必須回答速度是什麼鬼，用光速雖然還滿足洛倫茲對稱性，但逗我么，低速物理怎麼混進來一個光速，還取極限也消不掉。於是就寫下了現在的版本。再後來就有了概率幅這個解釋的解釋，有了這個解釋就不能隨便搞二階導數了，因為概率不守恆。另外就是你這裡用了德布羅意關係 $lambda = h/p$ ，可是 $E = hbar omega$ 哪兒去了？薛定諤方程就能給出這點，並且滿足群速度是電子速度，比你這個二階方程好多了。BTW，那個attention真是逗比，還有 $e^{i(kx-omega t)}$ 是行波才不是駐波。

自己思考推導討論是好事兒，但你的問題是讀書太少但想得太多。（補充一句：不是反對你推導，不過你推完了自己思考一下合不合邏輯嘛！學學深入的知識看看自己說對了沒有嘛～）

你們為啥都嘲諷……我覺得從書上能找到或者用到這麼多公式（有些公式，比如說波動方程，是高中不學的，有些是不作為教學重點的），能沒有數學錯誤地進行推導，而且能出來一個正確的結論（雖然是特殊情形下的），作為一個高中生，已經是很值得鼓勵的啊……至於物理意義神馬的，要求太高了親

首先我們需要知道我們想幹什麼。從給出的推導來看，我猜想題主是希望從波動方程來得到量子力學的Schrodinger方程，並且不藉助其他的假設。下面的內容都是在這樣的前提下展開的。

我來梳理一下推導過程中明顯的和隱含的假設吧。

（排序按照公式編號）

(1)波函數滿足波動方程，這個先放著，畢竟是最基本的假設；

(2.1)波函數中，時間和空間變數可以分離，這個後面細說；

(2.2)「電子的運動形式為駐波」，並且這個波有確定的唯一的頻率，即簡諧波；

(2.6)時間部分函數在所考慮的範圍內沒有零點，所以可以消去；

(2.7)電子的波長與動量滿足給出的關係；

(2.9)電子的能量（動能）與動量滿足(2.9)的關係；

雖然看起來有很多其他的假設，但是我們還要進一步分析一下：

(1)是基本假設，沒問題；

(2.1)在不做其他假設的條件下認定波函數的時間可空間變數可分離，並不是合適的做法；題目中給出的理由「顯然+不在考慮範圍」是不恰當的。數學上講，這並不顯然；而「不在考慮範圍」本身就導致了這樣得出的結論也是非常局限的。如果堅持這樣的理由，我們只能說導出的並不是Schrodinger方程。

實際上，這種看法被稱作「分離變數法」，是求解微分方程的常用方法。一個「好」的函數（比如限制得緊一些無窮階可導）總可以展開成一系列其它函數的無窮求和：

$f(t)=sum_{n=0}^{infty }a_n phi _n (t)$

這裡「一系列函數」是在一定要求下任意選取的。幸運的是，三角函數（題目中最終選擇的就是 $e^{inpi u t}$ 中 $n=1$ 的那一個）是滿足要求的，也就是說，任意（無窮階可導）的函數都可以用三角函數展開，這樣得到的解適用的範圍就大大擴展了。

(2.2)假設的部分來由在(2.1)中說過了，剩下的部分主要是「電子的運動形式」這個問題。題主能做出這樣的推導，一定也知道「哥本哈根詮釋」，也就是波的振幅代表出現在此處的幾率。說「電子的運動形式是駐波」，實際上假定了波的振幅不隨時間變化而變化。如果一個電子的波的振幅不隨時間而變化，我們稱這個電子處於「定態」，這只是電子的一種存在形式。舉個例子來說，穩定氫原子中的電子處在「定態」，如果我們給氫原子加上一個交變的電場，這個電子就不處於定態了。

(2.2)中的假設是(2.1)的物理表述。

(2.6)這個沒有太大關係，在這裡我們面對的就是一個沒有零點的函數。只是在其他一些問題里，零點是非常重要的。

(2.7)這個關係裡面出現了普朗克常數。實際上這才是真正關鍵的假設。把電子的動量（粒子性）與波長（波動性）聯繫起來。這個假設沒有不行。

(2.9)這個假設也不是顯然的。我們知道 $T=frac{p^2}{2m}$ 是經典力學的結果。如果考慮粒子的相對論性，這個關係就不對了。

綜合(2.2)和(2.9)，我們就知道最終得到的方程應該稱為「非相對論性定態薛定諤方程」，簡稱「定態薛定諤方程」。

小結一下：

如果我們的目的是「從波動方程來得到量子力學的Schrodinger方程，並且不藉助其他的假設」，那顯然是沒有成功的。至少(2.2)、(2.7)和(2.9)是三個繞不開的假設。同時，這樣的推導也沒有說明我們應該怎樣求物理學量：我們只是得到了波函數的方程，並不能（由上述推導）得知粒子某時刻的能量等物理量如何從波函數得到。所以，這樣的推導並沒有建立起Schrodinger方程。

但是，並不能說這個推導沒有意義或者錯誤：

1. 這個推導提供了一種理解Schrodinger方程的方法，即波函數滿足的方程（在一定條件下）的確就是波動方程，從而某些結論可以直接套用。比如波動方程的解一般是不同頻率簡諧波的疊加，Schrodinger方程也可以這樣解。

2. 事實上量子力學的發展也是得益於與波動的類比，所以這個推導某種程度上反映了當時科學家們的心路歷程。不過當時大家應該是以哈密頓力學為基礎，而並不是直接拿波動方程來，但是思想是相通的。

最後個人感想：

物理理論的動人之處，往往在於大膽而精準的假設，而不是嚴密的邏輯。

數學過程很漂亮，中間的幾步也有物理意義。

最後的結果當成描述氫原子系統的薛定諤方程就行了。

但是你發現沒有？你最開始就假設了電子波函數是服從波動方程的。

你作出這種假設是出於某種深刻的物理原因嗎？

在薛定諤方程出現前，我們並不知道那是個波動方程啊。

能在100年前得到一個波動方程（哪怕是特殊情況下的）就離量子力學的大門很近了。

如果你能在玻爾和薛定諤之前得到這個方程解釋氫原子光譜，那諾獎非你莫屬啦。

薛定諤方程，按照薛定諤的說法，是猜出來的。這都能猜出來，果然是大神。

我猜題主應該是從薛定諤方程得到了波動方程形式的啟示..

實際上在薛定諤之前沒人能從經典力學得到波動力學的啟示。

儘管經典力學和波動力學是有深刻的聯繫的，物理學家完全可能更早地從經典力學得到波動力學的啟示，但是巨星雲集的20世紀初也沒人沒有完成這份工作。

德布羅意這個人很厲害，他就從經典力學的哈密頓雅克比方程推導出了經典波動方程。然後又發現薛定諤方程也能推導出（量子）哈密頓雅克比方程。哈密頓力學和波動力學其實只有一步之遙了。

但是這個工作是在薛定諤方程出現後的。

德布羅意還按照這個思路寫過量子力學的教材。不過後來哥本哈根學派的體系成為了主流，德布羅意的這個思路就被遺忘了。再後來，除了少數量子理論物理學家，大多數學物理的沒有機會接觸德布羅意的思路了。

給張圖提示一下：

為什麼波動方程的猜測很合理？

因為力學本來就可以寫成波動方程的形式。

看，經典波動方程和薛定諤方程長得多像？經典力學和量子力學的差別就只有的這一項。

多出來的一項在德布羅意玻姆理論里叫做「量子勢」。

時間久遠，道理上的東西大家都說了，題主現在應該又學了很多東西。如果還不太明白，我說兩個實際的：

1. 如果 $V$ 是常數，那麼你驗證了平面波解 $e^{i(mathbf{k}cdotmathbf{x}-omega t)}$ 滿足非相對論自由粒子的薛定諤方程。

2. 如果 $V$ 不是常數，那麼 $p, u$ 也不是常數，你把2.4代入1時，指數因子不能提到拉普拉斯算符外面。

薛定諤方程是

$frac{partial |Psi >}{partial t} = -ifrac{H|Psi >}{hbar}$

這個方程是怎麼得來的呢。是由態的演變算符的幺正性，並將U寫成

$U(varepsilon ) = I - ivarepsilon H$

得出H為厄米算符。此厄米算符即為哈密頓量。

而後得出以上薛定諤方程。

而像你的圖那樣規規整整地去推導是推導不出來的。因為量子力學本來就是個tricky的東西。只不過這個tricky的東西偏偏無法推翻所以其邏輯被大家所接受。薛定諤方程正是典型的公理性的東西。所以這個標題看起來就像是「熱力學三大定律的推導」一般的視感。

不過我還是感覺寫著東西的作為高中生蠻厲害的。。。但是可能高中學好經典力學和接觸高等數學更重要一點。量子力學最好是基礎夠好之後從最基礎學起，從觀念上改掉，而不是著急推方程。

想法很好，但是要把這個稱為推導還是太勉強了。要推導一個公式或理論，請先定義所有你要用到的物理量，並且明確說明哪些結論將被作為推導的前提條件。

先不管這兩個要求，要說問題的話，首先，請說明（2.2）中為什麼電子是駐波（我可以舉出很多反例）（不如說所有g都可以用傅里葉展開寫成這些波的和，不過後面論證要大改）；其次，關於第二頁一開始你列出的德布羅意波的公式，請說明為什麼你選的是波長和動量的關係，而非頻率和能量的關係。使用後一個公式得出的結論可以完全不一樣；最後，你最後的結論是不含時的薛定諤方程，如何推廣到含時情形？

作為一個運動方程，薛定諤方程是需要滿足一些性質的，比如說必須是線性的等等。實際上可以從連續性方程和哈密頓-雅克比方程出發，」推出「（或者說驗證）薛定諤方程。

附上一個鏈接

http://cyclotron.tamu.edu/fries/teaching/spring15/PHYS606_Chapter_II_1-4.pdf

以上文檔從16到20頁是介紹如何從哈密頓雅克比理論和幾率守恆的觀點，得出薛定諤方程具體形式的一些推倒過程，可以看看。

好吧，反正一看到電磁波有關的就暈了……過程也沒有好好看。

但是最後你得到的只是定態薛定諤方程罷了……

有的假設太牽強……

量子力學是公理化比較好的物理學。最初的公理可以是薛定諤非常，格里菲斯的書里就是這麼講的。

當然，另外的書把對易當成公理也是等價的……

你這個推導無非也是假設了什麼……

好吧我也是高中生。

我想說的是，Schr?dinger方程是量子力學中最基本的假設，猶如數學中的公理，是不能用其他定理來推導的，其正確與否只能通過實驗檢驗。而一般量子力學教科書中得到它的過程只能稱之為導出。

推薦您看一看曾謹言的《量子力學》，講的比較清楚，導出Schr?dinger（感謝 @戴維維@朱輝的提醒，我第一遍把他的名字打錯了，第二遍又錯了)方程，上面也有提到。獨自研究量子力學是比較困難的，而且容易誤入歧途。

其實大部分人看不慣你，是因為他們在你這個年齡，做不了你現在的事情，而以他們現在的學識，又可以碾壓這個年齡的你，從而尋找一種優越感而已，你很牛逼~繼續往下學習就行了。

作為後來人，覺得面對這些偉大的公式，如果自己沒有任何創見，不如好好欣賞它的美，何必把自己搞得太累？

我就單說最後一行的attention吧

這是幾個意思- -小同學態度不誠懇啊

各位新春快樂，我是圍觀的。我高中的時候看坑爹的張三慧的普物的量子力學和光學那冊，想試著解氫原子的薛定諤方程（我學物理的，表述不當請指正），題主比我牛多了。歡迎題主繼續努力，多讀書，多演算。

Schrodinger方程是量子力學的基本假設，假設無法被推導出來。

你所做的有一些像是一個將經典物理圖像像量子力學靠攏的思維過程，的確看著很有意思（PS：實際上沒有太大價值，不過不要傷心~）

有可能最開始的那些大神們就是這麼思考著來的~

所以，繼續下去，物理這條路上還有很多美景喲~

。。https://wk.baidu.com/view/09030f06e87101f69e31954d?pcf=2#7 看看這個

很不錯了，加油

樓主，作為高中生你已經很不錯了，至少數學功底是不錯的，歡迎報考中科大物理系，在那裡你將和很多優秀的老師和學生接觸，到時候你會成為優秀的物理學家！

物理知識很多是規律性的，假設是要有前提的，上面幾條推導不符合前提。並且這條公式是公理不需要推導的，所以我們常說是「發現」這條公式而不是推導出這條公式。

也推導過。。。基本上是抄書

作為一個高中生，我們數理基礎太差(我是化競)

看了靠前的回答，幾乎都提到了一點，薛定諤方程是無法被推導的。一個公式如果可以被推導那麼就可以反推，一切推導都是基於幾個基本公式的，那麼這些基本公式從何而來？他們是無法被推導的，他們在外國人看來都是常識，中國教育的失敗就在於太過於嚴謹了，認為正確的理論必須要有嚴謹的推導過程才能成了