為什麼數學沒有可證偽性而物理學卻有？
我覺得數學的不可證偽性不僅僅因為數學的定理是從幾個確定的命題中推導出來的，因為在不考慮邏輯的情況下，我們在直觀上也無法證偽數學。
數學是研究數學家設想出來的那個抽象化的世界；物理是研究人類可以觀測的現實世界；免費贈送一個：宗教是研究教主和教徒設想出來的那個世界。宗教可以證偽不？數學同理。「證偽」這個詞語本身就僅定義在自然科學上。關於數學什麼的，最多你能問一句「自洽不？」。再贈送一個：藝術也不能證偽，而且連自洽這樣的問題都不能問，不過你可以問：「美不？」。
數學可以被直觀地理解，但不可以被直觀地構造。
因為數學研究的是語法，物理研究的是現象。一個是建模的工具，一個是建模的對象。
因為物理學是一門實驗科學，所有的結論都需要經過實驗驗證。
可證偽性，實際上就是通過實驗否定結論的可能性。只要實驗結果和理論預期不一致，那麼修改理論勢在必行。數學是演繹，物理是歸納。因此數學是由一般（公理）到特殊（由公理邏輯推理得到的定理），物理是由特殊（觀察到的某種現象）到一般（由特殊現象去構建模型並用之解釋尚未觀察到的現象）。
數學在形式上形成規則，物理在現實世界裡尋找符合規則的具體場景，才能得出正確的結論。數學告訴了我們一種解決問題的模式，物理尋找符合這種模式的事物。但是模式也許並不是唯一的，比如有歐式幾何，也有黎曼幾何，但是在相同條件下產生的結果也許是相同的。所以，我們現在定義的科學強調可證偽性，強調實驗，而把數學當成一種工具。
精神與物質的連接需要語義，只有在給物以概念，才能用邏輯去操作，這是最基本的。但是，我覺得這並不屬於科學的範疇，它卻是科學的基礎，否則科學就沒有辦法去表達了。這些語義與數學大概是處於同一層次的，都是人為的規定一些定義和概念，這些定義和概念相對符合人類的思維習慣，被大家所認可，科學在大家的共識之上用實驗的方法驗證一些猜想，然後用這些定義和概念來表達出來。
關於人類的思維習慣- 代數是一種表達抽象概念的工具，抽象概念與語言是相關的，例如：當我們看到兩個蘋果的時候，我們認為它們是分離的個體，然後用「1」記錄其中一個，用「2」記錄另一個，於是我們認為「1+1=2」，這是符合思維習慣的規定。但是數學不講具體的事物，當我們用「1+1=2」來數蘋果的時候，這總是對的，這個驗證的過程並不屬於數學，而是科學。「1+1=1」也存在適用的場景，比如一滴水與一滴水混合還是一滴水，這裡的「+」號並不是公認意義的符號，因為「1+1=1」出現的場景沒有「1+1=2」容易被人們想到，並且，「1+1=1」的實用價值沒有「1+1=2」高。如果「1+1=1」作為公認的數學，那麼我們只能用它表達「兩個可融合的個體混合在一起會變成一個個體」，這在我們看來比「兩個不能融合的個體放在一起是兩個個體」的實用意義要小。
- 幾何是一種表達空間概念的工具，空間與人的視覺是緊密聯繫的（這非常直觀，因為人的感覺中，視覺佔了大部分，因此我們容易獲得視覺的經驗），因此，幾何比代數更接近科學（存在部分驗證性的經驗），許多時候是根據科學得出的部分結論後才設計的，例如，如果我發現紙上的兩條線段是平行的，我一直畫下去都沒有能相交，所以我設計一條公理叫作「平行公理」。但是現實世界並不存在真正意義上的直線，所以使得它不具備完全的可證偽性（因為無窮遠是一個不可達到的距離，事實上數學的許多概念被設計出來都和「無窮」有關，因為有窮是現實事物的常態，通常不需要設計數學公理）。這是一個由部分的經驗規定的公理，非常容易的應用到科學中，這個驗證的過程同樣屬於科學，如果用了這條公理出錯了，我們並不說公理出錯，而說這個科學猜想是錯的，因為它選用了不合適的數學公理，如果選擇了另一條公理得出了正確的結論，那它就不是原來的猜想了，因為在這裡數學還起到了一個表達概念的作用。
開個玩笑：
「可證偽性」是哲學家把數學從科學中分裂出去的陰謀。
可以先看我的這個回答：如何理解「不可證偽」？ - LLLBK 的回答 - 知乎
可證偽性是Popper提出的一個對科學的劃界方法：一個命題是科學的，當且僅當它是可證偽的。
理解了可證偽性到底是什麼之後，就知道為什麼按照可證偽性的標準，數學不能算作科學了。
因為，可證偽，指的是可以被「觀察經驗」證偽。有很多人忽視了這一點。科學命題是依賴於觀察經驗的，用來證偽科學命題的必須是觀察經驗，而不是其他的東西。在Popper的理論中，證偽科學命題的只有觀察經驗，這也就是為什麼數學、邏輯學不是科學。數學命題，是無關於現實經驗的，因此不能被證偽。
舉個例子：如果並且
，那麼
。這也不是科學命題。我們如何用觀察經驗去證偽它？這個命題根本就與觀察、經驗無關，它是純粹的數學邏輯命題。由於數學命題都是與觀察經驗無關的，因此不能用觀察經驗去證偽，因此不是科學的。
而物理學則不一樣，物理學研究的是世界上各種事物的運行規律，探究的是現實中的事情。物理學的命題都是對客觀世界的描述，物理學命題都是跟現實有關的。
一個命題可證偽，指的是這個命題不是邏輯必然的，可能存在著一些觀察結果違反這個命題。經典物理學理論存在著被證偽的可能性。由於世界不是必然的按照現有的物理規律運行，那麼我們就可能觀察到不符合物理規律的現象，這就是說物理命題「可證偽」。
定理就是這個體系的絕對真理了……否認某個定理也是出於思想實驗。然後新的體系……（待改）————————————————————題主的數學應該是整個數學的研究範圍得出的所有結論？我覺得從這個出發點出發是不恰當的——當然我也提不出什麼準確的出發點。我的看法是這個。（1）命題的證明來自於有限的、確定的定義、公設、公理。（2）定義、公設、公理並不是普世（針對整個數學知識領域成立的）的。
（3）幾個不同的數學體系可能存在相同的命題。
（4）數學家（直觀的）會覺得一個數學體系的定義、公設、公理存在嚴重的「錯誤」。（想不到更好的詞語）————————————————————————上面這個是我讀《幾何原本》和維基百科的數學板塊的感想……不嚴謹的地方見諒。—————————————————————————下面是基於《小邏輯》（其實我根本沒看懂，只是被其激發靈感而已(╯‵□′)╯︵┻━┻，好難讀啊）數學體系和物理學體系的不同（1）一個確定的數學體系的研究對象是命題，材料是確定的、有限的定義、公設、公理；一個確定的物理體系的研究對象是物理現象，材料是確定的、（假定）充分的經驗。所以：（2）數學體系只能夠否認定義、公設、公理，但是不能夠在不否認定義、公設、公理的情況下否認結論；物理體系也只能夠在否認前提的經驗是充分的的情況下進行否定。（3）數學命題的證明可能是有錯誤的，但是這個是數學家個人的邏輯錯誤；物理公式可能是錯誤的，但是既有可能是物理學家的數學不好，也有可能是經驗不充分。
下面是扯淡：我們為什麼無法在思想中舉出數學的反例（因為在不考慮邏輯的情況下，我們在直觀上也無法證偽數學。）
（4）一個數學體系內的命題無法舉反例，但是可以基於直觀經驗直接否認（這個命題是正確的），」數學家都是扯淡的「——這個數學體系；物理學則是這樣子，「物理學家解釋的這個現象是存在的」。
數學從公理系統出發，只要符合公理系統的推論就是對的。而公理系統本身是一個大家公認為正確的體系，所以你不能證偽。當然了，對於一些公理是否成立，是可以存在爭議的。比如著名的Axiom of Choice是否應該被承認為一個公理，本身在數學界曾經是討論過很久，而現在一般公認為接受這條公理，雖然有一部分數學家還是不接受AOC的正確性 ：）
物理的話，目的在於構造理論來預測自然世界，而理論的基礎是觀測數據。舉個例子，牛頓力學在很長一段時間被認為是對的，當時，開爾文甚至曾經聲稱物理的大廈已經建好，剩下的只是補充一些細節。但是隨著高速運動物體的數據出現，並且和牛頓力學的預測相差很大，物理學家就意識到牛頓力學是不完備的，於是就有了狹義相對論。或者是一系列微觀層面，如量子衍射現象的出現，經典的電磁波理論無法解釋微觀粒子的行為，所以就出現量子力學了。因此隨著測量工具的發展，物理理論就可以被證偽了。可證偽性與其說是科學的一種性質，不如說是我們研究一類問題時所秉持、所倚賴的一種信念。因此與其說是「數學問題不具有可證偽性，物理問題有可證偽性」，不如說是「我們漸漸地把那些解決過程中需要這種信念的問題歸類到各門科學（其中就有物理學）上去，而把不依賴這種信念的問題歸為數學、哲學或者別的什麼」。
數學的本質是一種形式系統與真實世界無關。所以一切屬於這個形式系統的定理都是真命題，一切不屬於這個形式系統的都是假命題。然而數學中是存在不可證偽的命題的，比如哥德爾那個，這個命題不可證明。不過你要說數學全都不可證偽這就讓我滿臉黑人問號了？？？
如果題主是覺得數學的公理體系讓它接近宗教的話，你就晚生了一百年，少想了一百步。
一百年前的希爾伯特計劃讓大家研究起了公理體系本身，也就是數學本身，詳細的這裡就不好說了，可以去看哥德爾的證明或者著名的GEB如果題主覺得數學不能像物理那樣做實驗推翻以前的定理那就是數學和物理本質上的不同了。數學是給你幾塊七巧板你來拼出一幅畫。物理是有一幅畫你要想這幅畫是怎麼拼出來的，仔細看是什麼樣的，對此你要猜想，然後觀察，再猜，再看。最後那些覺得科學就是另一種宗教的，你們也晚生了不少年啊，生在亞歷山大圖書館被毀毀的那幾年多好。簡單來說，數學所使用的「原初概念」遠遠少於物理學，且都是抽象概念。因為人類無法確定自己和其他人擁有相同的感知，所以必須假定一些基本的概念是共通的，比如我們必須假設你、我以及所有人，理解什麼叫做「定義」，我把這類概念稱為「原初概念」。比如「集合」可以被認為是一個原初概念，我們必須理解它代表一種具有類似性質的事物的總體。至於什麼是「性質」，什麼是「類似」，什麼又是「總體」，這我就不管了，我假定你理解這件事情，我們的討論才能進行下去。它是一個抽象概念。同樣「質子」也可以被認為一個原初概念，我們把物理學家們觀察到的那個粒子定義為質子，同時把所有跟它有相同性質的粒子也定義為質子。——是不是聽起來不太靠譜？萬一人家雖然跟你有相同性質，但是實際上內里結構完全不同呢？——這我管不了，我只能這麼定義，因為我沒辦法把它掰開看裡面的結構。 這種就叫具象概念。所以呢，我們的數學是建立在前者那種只要我們大家能想像出來就能繼續討論的抽象概念的基礎上的，而物理學是建立在這種連其外延和內涵是什麼都要仔細討論一番的概念的基礎上的，而且還涉及一坨一坨的概念。隨便哪個定義的跟實際不一致，所有的相關理論就要被推翻。這就是所謂的證偽了。
只要一個數學體系是自洽的，體系內部不會自我矛盾，就是一個合理的數學體系。而物理體系必須要能夠經受住實驗的測驗，所以易於證偽。
畢達哥拉斯說數字只有整數和分數，希帕索斯根據畢姥爺發現的定理找到了Sqrt(2)，這算不算是證偽？
因為數學不是自然科學啊……
數學是建立在幾條公理上的想像中的宇宙法則，並且這種法則有嚴密的邏輯關係互相支撐。物理的研究對象是在我們存在的三維空間里實際上的宇宙法則。順便：宗教的研究對象其實和數學差不多，是建立在幾條「公理」上的想像中的宇宙法則。所以，要不是宗教的「公理」和數學的公理有點哲學上的區別，那麼我也能說數學也是一種宗教。或者說，完全可以成立一個宗教叫做數學教，教義的話很簡單嘛，做人，要有邏輯，就可以上天堂，享用72個處女，去西方極樂世界。老實說物理也可以不具有證偽性。拿牛頓定律來說
1. 慣性系的物體在不受外力的情況下保持運動狀態不變。
這句話就是慣性系的循環定義。
2. 物體的加速度，與受外力成正比。
這句話就是力的定義。
這兩個定律都不具有可證偽性。不管什麼學科，所謂的可證偽性證明都要從假定的公理出發，包括哲學。瞧瞧哥德爾不完全定理
數學命題可以證明，證否，還可以不可判定。至於證偽…證偽什麼呢？
其實如果嚴格的來說，物理學也沒有可證偽性……（一個理論是推不出可觀測的結論的，而在推出可觀測的結論的大量理論中，我們不能確定是哪一個被證偽了）……
不過數學的確與物理學不同……數學在很大程度上是基於語義的，基於被規定的語義，建立一個語言學結構，此時此刻，數學的成立是建立在語義的基礎上的……而所有的科學都使用數學的理由在於科學需要更精確的描述，而唯一需要判斷的是某一個語言學結構是否適用於該科學理論所試圖描繪的那一語境……推薦閱讀：
※梯度下降法和共軛梯度法有何異同？
※二維坐標平面上有n個隨機點，如何求解這些點的最小外接矩形呢？
※梯度下降為什麼步長要乘以導數？
※正態分布里為什麼會出現自然底數e和圓周率pi呢？
※真正的數學建模高手是什麼境界...？