邊長為1的正方形對角線長度是根號2，如何理解線段長度確定，卻是一個無限不循環的數？
無線循環小數好還理解一些，可以換算成分數；但是無限不循環的數呢？
這個問題跟「數軸上的點與實數一一對應」是類似的，對於無理數，總能找到數軸上一個「精確且唯一」點與其對應，但是這個「精確且唯一」和「無限不循環」之間的直覺反差不太好理解啊~~
「精確且唯一」和「無限不循環」一點都不矛盾。
你在數軸有且只能找到一個點表示根號2，無理數也是確定的數，你找不到另外一個點來表示根號2，只不過無限不循環而已。
其實在實際生活中，只要你測量的精度足夠，任何線段都是無理數；不存在絕對為有理數的長度，這取決於你觀測的精度。
再說抽象一點，不知道能否幫助題主理解：任何有理數其實都可以看成是無理數的極限形式，及任何一個有理數都是由一個無理數無限趨近。@zero 我試著把zero大神的話解釋下。
如何理解這樣的問題？我覺得這樣的問題都不需要去回答。
古希臘的時候，人們就對所謂的極限和稠密性有了很初步的認識。但是直到近代，微積分和實分析被創造出來，人們對這些最最基本的概念的認識才越來越深刻。
所謂的如何理解，不是說你看著這個定義，絞盡腦汁去給無限不循環小數一個極其intuitive或者極其visualized的解釋就可以的。相反，你需要把這個概念更加複雜化，去學習更豐富的成果。你了解了分割，然後學了柯西序列和空間完備性後再來看，感覺肯定不一樣。
這個就和幾何一樣，歐幾里得的幾何在希爾伯特那被重新審視，不是人們死盯著這本書看了幾千年然後想出來的。相反，人們不求馬上去理解，而是在幾何的基礎上豐富其內容，最終又回到起點，給了更好的定義和體系。
要更好地理解，就少問一些這種問題。對於一個正確的命題，除了你看不懂定義，不知道怎麼證明這些問題，其餘類似於如何理解這種虛而又虛的形而上問題是沒有任何意義的。你只要確保自己知道其為什麼正確，然後繼續學下去。最後再回過頭看，這個概念就和你坐的這把椅子一樣實在。
真正的理解，都是螺旋式發展的副產品，不要在不深入學習的前提下妄談理解。
例子真的好多，從古典的stokes公式到流形上的stokes公式。從古典的連續到利用拓撲定義的連續。從一般的範數到padic範數和ostrowski定理。好多好多。
用戴德金分割（Dedekind Cut）理解好了……
誰規定(證明)了(數學上，理想情況)一條線段的長度必須可以用有限位或無線循環10進位數值來表示？
如果不理解無理數，我不覺得無限循環小數有什麼更容易理解的地方。比如那個古老的小學生難題：「0.999……和1到底一樣不一樣大？」1是一個確切的數，但是0.999……似乎會讓題主這樣的人在數軸上苦苦地爬呀爬的，很不爽吧。我的理解是這個問題題主的不理解的原因可以理解為反直覺（這句話里「理解」這個詞有點多哈 ）。一個通用的規律是只要涉及到極限，就是比較反直覺的，這個很好理解，因為我們現實生活中不會碰到極限。所以反直覺也可以說反經驗。這和量子力學啊相對論啊什麼的讓人奇怪是一個原因，因為人沒經歷過就會覺得奇怪。極限是數學家定義的，不是生活中經驗碰到的，因為沒有人總是拿著刻度尺無限精確地測量正方形對角線，何況畫圖的時候本身會產生極大的誤差。那麼極限問題怎麼處理？解鈴還須繫鈴人，必須嚴格用數學語言處理。從計算的角度，無限不循環完全是算出來的（平方運算的逆運算），完全是個精度問題；從感覺上講，極限處出現了一種不讓人有非極限的時候的經驗感覺的感覺（廢話），反倒是自然的。幾何上確定的一個點，代數上也是完全確定的，只不過人類無法用有限的那些寫法把它寫出來而已。正像我現在無法用文字表達我此時激動的心情，但是我的心情是真實而且確定的，這完全不矛盾。
如果題主喜歡玩數軸而且連無限不循環都驚訝，那我給你個更讓人驚訝的：「數軸上0到1之間的所有點的個數和1到無窮遠的點的個數是嚴格一樣多的(等勢的)。」確實挺反直覺，但是嚴格從數學的定義理解，其實也沒那麼讓人受不了的。
大概類似於 只可意會不可言傳要傳達的東西是真實存在的，只是沒法用語言完全的描述而已
長度確定，就是那個端點是靜止的；無限不循環的數（比如），給人一種感覺就是 隨著位數的增加 （1 1.4 1.41 1.414 ...），有一個點在數軸上 愈加緩慢 而 永久地移動，題主就是想問那個處在永久移動中的點是怎樣和那個靜止的點統一起來的吧。
那個在數軸上靜止的點 代表；
這個無形的屏障是，既然說到這了。但為什麼是
，為什麼不是 2 、3 、4 ……？
事實是 面對這道屏障，會比0.1更近，會比0.001更近……會比任何你能說出的正數都近，不論這個正數多麼小，而非比尋常。其餘的屏障，也是越來越近，但再近，總會比某個固定的距離大。
只是對，這個 固定的距離 才是0。
補充：還有另外一種說法，無限個有理數組成的集合A = {1, 1.4, 1.41, 1.414, ... }，比A中所有元素都大的最小的實數是。
極限、收斂、柯西收斂原理或單調有界原理（兩者是等價的，等價於一組實數完備性的公理）。
這個"無限不循環"的數就是一個（數列的）極限，該極限是收斂的（根據柯西收斂原理或單調有界原理），即極限存在；收斂到一個"精確且唯一"的值（極限存在的唯一性），這個值就是通俗地說，故事是這樣的：
整數很多。(整數有無窮多個。)有人覺得整數已經夠多了，所以一切的「數」應該都是整數。大家很開心。
很快大家發現整數顯然不能表示所有「數」。基於現實(例如把1等分為兩部分)，分數的概念被構造出來了，於是數的概念被擴展到了有理數。發現有的有理數不是整數，大家有點慌。
仔細想了想，大家很快就不慌了。因為有理數是可以用整數定義的。(更概括地說，我們總能找到一種方法，用與表示整數相近的複雜度表示一個有理數：不管是無限循環小數還是分數還是什麼其它的方法，我們總能用有限長的欄位精確定義一個有理數。這個的理論基礎在於有理數和整數一樣多，而「有限欄位」和整數一樣多。)有理數也很多。有人覺得有理數已經夠多了，所以所有的「數」都應該是有理數。大家(必達哥拉斯及之前的幾乎所有人)很開心。
很快大家發現有理數也不能表示所有「數」。基於現實(例如方形的對角線)，無理數的概念被構造出來了，於是數的概念被擴展到了實數。發現有的實數不是有理數，大家有點慌。
仔細想了想，大家慌的更厲害了。因為實數…和有理數根本就不是一個東西。(學過一點數分的應該對這個比較有感觸；實數集和有理數集簡直不在同一個次元。)最簡單的說，實數比有理數多。事實上，我們通常不能用有限長度的欄位表達一個實數。(從生物或者說心理學上講，這意味著我們並不能對一個無理數形成清晰的概念；這也就是為什麼會有一點反直覺的感覺。)想到這一點，數學家們已經嚇尿了。這個故事告訴我們…既然數學家都尿了，我們稍微彆扭一下也沒什麼不對的。(大霧
但是，還是有個好消息：實數真的很多，而且差不多已經夠多了。(我記得似乎一個無限集要麼和整數一樣多要麼和實數一樣多，好象是一個公理的直接推論或者就是個公理來著…然而這很可能是我記錯了。有興趣的讀者查一下告訴我唄～)
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總之，故事差不多就是這樣。好像還是有點跑題了。喜歡嚴謹的小夥伴們請自行把「多」替換成跟cardinality相關的東西。本來是準備純賣萌的，沒想到寫到後面就很難用足夠簡單的語言講專業知識了，再加上相關的東西(分析代數)忘得比較多，於是就寫的比較略。歡迎勘誤，吐槽。隨便量一個什麼東西的長度，如果精度無限高的話，基本上一定是一個無限不循環的數。 在現實世界中，循環的才是特例。
如果一個數是無限循環小數，那麼它一定是有理數。因此，既然根號二不是有理數，那麼它一定是無限不循環小數。
只要一個數是無理數，不管用什麼進位表示，結果都會是無限不循環。
相反，如果一個數是有理數，不同的進位會不一樣。在有的進位下，它是有限小數，在有的進位下，它是無限循環小數。例如1/3，在3進位下，它是0.1，在10進位下是0.3...還有，其實並沒有另外存在一個什麼叫「數軸」的東西，「 數軸『』 不過是一種形象的比喻而已。所謂「數軸」上的點和實數一一對應，這句話在邏輯上並不成立。或者可以這麼說，數軸是一個理性中的概念，它是由實數定義的，即數軸上的點就是實數通俗的講，這個無限不循環小數，是因為我們是用十進位來計數，造成的運算偏差，如果用別的進位來計數，可能就不會是無限不循環小數了，或者說自然界不存在某種進位，只是人類為了方便自己的理解和運算，強行用十進位去理解他。
極限的存在唯一性
有一個故事叫阿基里斯追不上烏龜，希臘最擅長跑步的神追不上烏龜，烏龜先跑，阿基里斯去追，有人把阿基里斯追上烏龜那段距離無線分解，給人的錯覺就是阿基里斯永遠追不上烏龜。這裡，我們從一個頂點向另一個頂點出發，在不斷接近對角頂點的過程中，我們想把距離用等長線段表示，但是發現不論怎麼分解，都找不到等長的線段來表示那段距離。
你憑什麼說有理數是有理數呢？這僅僅是人為加上去的概念，你也可以把根號2說成是「有理數」。
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