物理系適合的張量教材還有變分法教材?

01-05

題主大一，在自學經典力學的時候發現書(梁昆淼《力學(下冊)》)中涉及到了張量(慣量張量)以及變分法(哈密頓原理)的有些知識，看物理書上的可以看懂但是總覺得有些地方他就直接一帶而過了，數學上交代的不是很詳細。張量是直接引入的一個概念，變分法那兒也總覺得有些地方只是直接用了結論性的東西。如果我希望更了解一下張量自己變分法的知識應當用什麼教材(書)合適?難道真的要去啃數學系的《矢量分析》《泛函分析》了么?謝謝指教。

數學系的數學和物理系的數學完全是兩碼事。

如果非要找數學書學習數學的話，我個人建議，唯一的一門課，高等代數。

物理系使用代數非常普遍，工科用線性代數完全不能滿足需求，而且到了後面學習四大力學的時候，會出現理解性困難。數學系的高等代數則完全滿足需要，但是在一定程度上又太多了。

張量在物理學中用起來就跟矩陣似的，完全可以粗淺地理解為將各種物理量從「數」替換成「矩陣」，其實仍是一種表示物理量的方法。使用張量（矩陣）形式的好處在於不需要寫很多個方程，只需要一個方程，在形式上就概括了物理量之間的關係，看得十分明白。

至於變分法，則要看代數中的線性空間理解得如何了。將求導運算看作是函數空間上的微分運算元（映射），是理解變分法的第一步。第二步則是將泛函看做是這個函數空間到R上的映射，同樣可以將類似微分運算元（變分）的東西作用在這個映射（泛函）上，這就是變分法。

至於書的話，矢量分析一定要學，矢量場是一個非常基礎的、將來會變成直覺性的概念，其散度、旋度，標量場的梯度等，都是很直觀的概念。最基本的內容出現在微積分課程中，之後在電動力學中大量運用。

泛函分析則可以扔掉不管了。因為有了線性空間和微積分的基礎，理解變分法完全沒有問題。另外，變分法在數學系的課程中幾乎不提，因為泛函分析整門課程就是在證明幾個基本定理，走完這些定理課程就結束了，根本不會碰到變分法。所以這一塊兒還是得自學，不過將變分類比於微分是一個很好的理解方式。

很多物理系的老師都刻意強調，不要去學數學系的數學。個人感覺，數學系的分析學是物理系的同學最最不能碰的，不然就會陷入到糾結存在性、唯一性、穩定性等歧途上，進而開始思考關於物理量的哲學問題（存在性），這是萬萬不可取的。

數學上有很多（半）直覺性的概念，也有相應的課程，大多在幾何、代數等領域。這些東西則是多多益善。。

力學裡的張量計算，學好線性代數就差不多了。

謝謝邀請。

不過有點抱歉，我沒專門看過這方面的教材，數學學院的課雖選過一些，但也沒上過這種課。不過我覺得如果你只是為了物理裡面能夠熟練掌握你提到的這些語言，不至於推導的時候遇到困擾，沒必要去專門學數學專業的此類課程，多學這類物理即可慢慢掌握其運用。書上沒提的相關背景內容wikipedia大體也可以解決。

變分法似乎沒看到過數學學院專門開一門課？（也許是我沒注意到？）物理學院也沒開過這種課，但關於這些物理的教材上都會講怎麼用。數學專業課的話主要是注重概念和證明，倒是反而有時並不太適合所有搞物理的去學（對純粹一點的數學很感興趣的、或者搞的特別偏數學的物理等的除外）。

謝邀。我這個外行人推薦：

Schaums Outline of Tensor Calculus (Schaum"s Outline Series): David Kay: 9780071756037: Amazon.com: Books

專門的張量分析教程很難找，張量和變分法一樣，地位比較尷尬，張量分析再往前進一步就是微分幾何，但是就像前幾位說的，數學系的數學和物理系的數學大不一樣，如果只是實用目的的話大概只有呂盤明的那一本，但是還處在試用本階段，子標比較亂。還有就是各種網上的講義，大都在100頁左右。

另外就是在很多偏工程物理的書上都會用到張量分析，比如彈性力學，流體力學。如果再進一步對任意（非正交）曲線坐標系感興趣的話可以看廣義相對論的書，但是因為本人也沒有下決心看所以不是太清楚。

當時我因為怎麼補這兩塊數學花了很多精力去找合適的材料，這裡良心推薦:老大中的《變分法基礎》和Nadir Jevanjee的《An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists》。這倆看完分析力學可以朗道或者Goldstein，場論可朗道第二卷(廣義相對論部分如果物理圖像不清晰的話可以先看一下曲線曲面上的微分幾何)。

試試這本《張量演算法簡明教程》——呂盤明。張量教程寫得比較適合物理系的不多，大部分彈性力學的書里都能找到某個章節或者附錄在講這個。或者可以搜一下lecture notes。

朗道第一卷，開篇變分法。第二卷經典場論，張量。應該夠用了。

張量的話，可以看看廣義相對論的教材。比如，趙崢老師的《廣義相對論基礎》。

變分法的話，看一般理論力學方面的書，應該就可以了吧。比如，Goldstein "Classical Mechanics "，這書的第二版比較老，有翻譯版，而且感覺很詳盡；或者朗道的《力學》。朗道的書，不適合入門。

An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists (豆瓣)

Amazon.com: Customer Reviews: An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists

變分法可以看看Variational Methods in Classical Mechancis, Lanczos，這本書是 @andrew shen 的良心推薦。

目前我看了大概一大半，覺得這本書確實對變分法有側重，然而並不是整本書都在講變分法，而是主要在講分析力學，只是在能用變分法的地方就用一下，顯示一下變分法的用處。通過這本書，學分析力學所需要的變分法大就夠用了。

張量分析我只看過Introduction to Tensor Analysis, Sharipov，這是專門給物理系學生寫的講義，算是個速成的教程。另外各種Mathematical Methods for Physicists之類的書也大都有講授張量的一章。

PS 另外我覺得為了學物理而先學數學有時很容易走彎路，經常自己學的自認為的物理所需的數學基礎和物理中真正所需要的數學交集並不大，導致「白學」了很多數學——當然如果你本來是奔著數學去的，那就是另一回事了。

老大中變分法基礎。

劉連壽鄭小平物理學中的張量分析。

老大中的書已經出到第三版了，當時買的時候還是第二版，感覺不錯。第三版多加了第十章，含向量、張量和哈密頓運算元的泛函變分問題。題主可以細細地翻一下。

要是對張量有一定了解的話，劉連壽的書一下午就可以翻完。用來入門是很不錯的，最重要的是它很薄很薄……(-_-) zzz

接下來建議題主可以去翻看一些整體微分幾何的書籍，應該會有幫助的……(=^???^=)……吧

For tensor analysis, a good reference is Chern"s Lectures on Differential Geometry. Chern did not cover a lot of material, but he proved everything with remarkable attention to detail. This book has a Chinese version which you can find easily online. The drawback is you need to go through some abstract nonsense (like the definition of cotangent bundle and tangent vector using germs), which you might not like from a pure physics background. Another potential issue is Chern used his own notation for computation, and some of his conventions (like he prefer to work everything in a coframe) is out of fashion nowadays. But the section on tensor analysis and de Rham cohomology is still very good, though for later there are better reference books (like Bott-Tu).

The other book Modern geometry, methods and applications I is also a very good reference book, but the Chinese translation (at least the one I read many years ago in high school) was quite bad, with typos here and there all over the place. So if you have access to China-pub you should buy the cheap GTM 93 version instead, or maybe you can find a copy in the local public library. This book series (together with Vol II, III) is worth keeping on the shelf as together they covered a lot of material. I used Vol III during grad school to look up material related to fibre bundles, for example.

張量的話你可以看看郭仲衡的

R.柯朗有一本數學物理方法Ⅰ，第四章就是變分法，非常不錯，不過年代有點久

經典力學的數學方法也有講變分法，不信邪可以試試。

朗道的力學就算了，人家一上來就用，沒跟你說怎麼學

徐一鴻的Einstein gravity的前三部分是很好的入門.

學習的時候也遇到過相同的問題，自己也去搜過許多書，主要學習過《張量演算法簡明教程》【呂盤明】和《數學物理方法》【R.柯朗，D.希爾伯特】。還有老大中的那本變分法。

教訓：學過之後不經常用很容易忘掉ˊ_&>ˋ

《物理學中的幾何方法》，余政揚，馮承天所著的那本，還有《經典力學的數學方法》（GTM 060），阿諾德所著

Srednicki的量子場論