學習數學時，如何『知其然，知其所以然』？或請推薦一些優秀的書籍。

01-05

高中生，學了十二年『老師給公式——運用公式做題——得解』的數學，但我想知道為什麼會出現這些定義、公式（即當時出現這條公式是為了解決什麼問題，怎麼推理出來的）。也想知道，為什麼這條公式會生效。
我已經畢業了，不用再為高考學數學了，請不要勸我好好讀課本，多做題。
大學不想再這樣學數學。
對數學史也比較感興趣。

你是背了十二年公式，不是學了十二年數學。

回去好好看看課本是正道。

關於你說的無理數為何會出現的問題：

你既然有這疑問，那些你不知道怎麼來的公式你有推一遍么？如果沒試著去推一遍就來問這問題就誠意不夠啊。

只羅列定理、公式，不講為何引入概念的數學書有嗎?

有，而且很多。

但是主要在大學程度以上的數學，因為大量需要數學作為計算工具而不是深入研究數學的專業存在，所以有了一大批只講計算，不講公式怎麼來的書。

但是就中學的那點東西，中學數學課本真的已經講得很清楚了。

所以我覺得給題主推薦參考書是一件極其困難的事情，因為適合你看的書，你不屑於看，你想看的，又未必看得懂。

《什麼是數學》，推薦這本了。

所有的數學公式推導一遍

美諾 我明白了，蘇格拉底。但是，你說我們並不在學習，所謂學習只不過是回憶罷了，這樣說是什麼意思？你能告訴我這是為什麼嗎？

蘇格拉底 我說過你是個小無賴，而現在你又在要求我告訴你為什麼我要說沒有學習這回事，而只有回憶。你顯然是在伺機發現我自相矛盾的地方，以便把我抓獲。

美諾 不，說老實話，蘇格拉底，我不是這樣想的。這只是我的習慣。如果你能以某種方式說明你的話正確，那麼就請說吧。

蘇格拉底 這不是一件易事，但這既然是你的要求，我還得儘力而為。我看到你有許多僕人在這裡。隨便喊一個過來，我會用他來向你證明我說的正確。

美諾 行。（他對一個童奴說）過來。

蘇格拉底 他是希臘人，說我們的語言嗎？

美諾 確實如此，他是個家生家養的奴隸。

蘇格拉底 那麼請你注意聽，看他是在向我學習，還是在接受提醒。

美諾 好的。

蘇格拉底 （蘇格拉底在沙地上畫了一個正方形ABCD，然後對那個童奴說）孩子，你知道有一種方的圖形嗎，就像這個一樣？

童奴 知道。

蘇格拉底 它有四條相等的邊嗎？

童奴 有。

蘇格拉底 穿過圖形中點的這些直線也是相等的嗎？（線段EF，GH）

童奴 是的。

蘇格拉底 這樣的圖形可大可小，是嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 如果這條邊長兩尺，這條邊也一樣，那麼它的面積有多大？你這樣想，如果這條邊是二尺，而那條邊是一尺，那麼豈不是馬上就可以知道它的面積是二平方尺嗎？

童奴 對。

蘇格拉底 但是這條邊也是二尺長，那麼不就應該乘以二嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 二乘二是多少？算算看，把結果告訴我。

童奴 四。

蘇格拉底 現在能不能畫出一個大小比這個圖形大一倍，但形狀卻又相同的圖形，也就是說，畫一個所有邊都相等的圖形，就像這個圖形一樣？

童奴 能。

蘇格拉底 它的面積是多少？

童奴 八。

蘇格拉底 那麼請告訴我它的邊長是多少。現在這個圖形的邊長是二尺。那個面積是它兩倍的圖形的邊長是多少？

童奴 它的邊長顯然也應該是原來那個圖形的邊長的兩倍，蘇格拉底。

蘇格拉底 您瞧，美諾，我並沒有教他任何東西，只是在提問。但現在他認為自己知道面積為八平方尺的這個正方形的邊長。

美諾 是的。

蘇格拉底 但他真的知道嗎？

美諾 肯定不知道。

蘇格拉底 他以為這個邊長也是原來那個正方形的邊長的兩倍。

美諾 對。

蘇格拉底 現在請你注意他是怎樣有序地進行回憶的，這是進行回憶的恰當方式。（他接著對童奴說）你說兩倍的邊長會使圖形的面積為原來圖形面積的兩倍嗎？我的意思不是說這條邊長，那條邊短。它必須像第一個圖形那樣所有的邊長相等，但面積是它的兩倍，也就是說它的大小是八（平方）尺。想一想，你是否想通過使邊長加倍來得到這樣的圖形？

童奴 是的，我是想這樣做。

蘇格拉底 好吧，如果我們在這一端加上了同樣長的邊（BJ）

那麼我們是否就有了一條兩倍於這條邊（AB）的線段？

童奴 是的。

蘇格拉底 那麼按照你的說法，如果我們有了同樣長度的四條邊，我們就能作出一個面積為八平方尺的圖形來了嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 現在讓我們以這條邊為基礎來畫四條邊。（亦即以AJ為基準，添加JK和KL，再畫LD與DA相接，使圖形完整）這樣一來就能得到面積為八平方尺的圖形了嗎？

童奴 當然。

蘇格拉底 但它不是包含著四個正方形，每個都與最初那個四平方尺的正方形一樣大嗎？（蘇格拉底畫上線段CM和CN，構成他所指的四個正方形。）

童奴 是的。

蘇格拉底 它有多大？它不是有原先那個正方形的四個那麼大嗎？

童奴 當然是的。

蘇格拉底 四倍和兩倍一樣嗎？

童奴 當然不一樣。

蘇格拉底 所以使邊長加倍得到的圖形的面積不是原來的兩倍，而是四倍，對嗎？

童奴 對。

蘇格拉底 四乘以四是十六，是嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 那麼面積為八（平方尺）的圖形的邊有多長？而這個圖形的面積是原先那個圖形的四倍，是嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 好。這個八平方尺的正方形的面積不正好是這個圖形的兩倍，而又是那個圖形的一半嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 所以它的邊肯定比這個圖形的邊要長，而比那個圖形的邊要短，是嗎？

童奴 我想是這樣的。

蘇格拉底 對。你一定要怎麼想就怎麼說。現在告訴我，這個圖形的邊是二尺，那個圖形的邊是四尺，是嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 那麼這個八平方尺的圖形的邊長一定大於二尺，小於四尺，對嗎？

童奴 必定如此。

蘇格拉底 那麼試著說說看，它的邊長是多少。

童奴 三尺。

蘇格拉底 如果是這樣的話，那麼我們該添上這條邊的一半（畫BJ的一半BO），使它成為三尺嗎？這一段是二，這一段是一，而在這一邊我們同樣也有二，再加上一，因此這就是你想要的圖形。（蘇格拉底完成正方形AOPQ）

童奴 對。

蘇格拉底 如果這條邊長是三，那條邊長也是三，那麼它的整個面積應當是三乘三，是嗎？

童奴 看起來似乎如此。

蘇格拉底 那麼它是多少？

童奴 九。

蘇格拉底 但是我們最先那個正方形的面積的兩倍是多少？

童奴 八。

蘇格拉底 可見，我們即使以三尺為邊長，仍舊不能得到面積為八平方尺的圖形？

童奴 對，不能。

蘇格拉底 那麼它的邊長應該是多少呢？試著準確地告訴我們。如果你不想數數，可以在圖上比劃給我們看。

童奴 沒用的，蘇格拉底，我確實不知道。

蘇格拉底 請注意，美諾，他已經走上了回憶之路。開始的時候他不知道八平方尺的正方形的邊長。他剛才確實也還不知道，但他以為自己知道，並且大膽地進行回答，並以為這樣做是恰當的，並沒有感到有什麼困惑。然而現在他感到困惑了。他不僅不知道答案，而且也不認為自己知道。

美諾 你說得非常對。

蘇格拉底 與不知道相比，他現在不是處在一個較好的狀態中嗎？

美諾 我承認這一點。

蘇格拉底 我們使他感到困惑，使他像遭到魟魚襲擊那樣感到麻木，這樣做給他帶來任何傷害了嗎？

美諾 我認為沒有。

蘇格拉底 實際上，我們在一定程度上幫助他尋找正確的答案，因為他現在雖然無知，但卻很樂意去尋找答案。到目前為止，他一直以為自己能夠在許多場合，當著許多人的面，夸夸其談，談論如何得到某個相當於某個給定正方形的面積兩倍的正方形，並堅持說只要使原有正方形的邊長加倍就能得到這個正方形。

美諾 他確實是這樣的。

蘇格拉底 在產生困惑、明白自己無知、有求知的慾望之前，儘管他事實上並不知道答案，但他以為自己知道，在這種情況下他還會去試著尋求或學習嗎？

美諾 不會。

蘇格拉底 那麼使他麻木一下對他來說是好事嗎？

美諾 我同意。

蘇格拉底 現在請注意，從這種困惑狀態出發，通過與我共同探索真理，他會有所發現，而我只是向他提問，並沒有教他什麼。如果我給他任何指點或解釋，而不是僅就他自己的意見向他提問，那麼你就隨時抓住我。

（此時蘇格拉底擦去先前的圖形，從頭開始畫）

孩子，告訴我，這不就是我們那個面積為四的正方形嗎？（ABCD）

童奴 是的。

蘇格拉底 我們還能再加上另一個相同的正方形嗎？（BCEF）

童奴 能。

蘇格拉底 還能在這裡加上與前兩個正方形相同的第三個正方形嗎？（CEGH）

童奴 能。

蘇格拉底 還能在這個角落上添上第四個正方形嗎？（DCHJ）

童奴 能。

蘇格拉底 那麼我們有了四個同樣的正方形，是嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 那麼整個圖形的大小是第一個正方形的幾倍？

童奴 四倍。

蘇格拉底 我們想要的正方形面積是第一個正方形的兩倍。你還記得嗎？

童奴 記得。

蘇格拉底 現在你看，這些從正方形的一個角到對面這個角的線段是否把這些正方形都分割成了兩半？

童奴 是的。

蘇格拉底 這四條相同的線段把這個區域都包圍起來了嗎？（BEHD）

童奴 是的。

蘇格拉底 現在想一想，這個區域的面積有多大？

童奴 我不明白。

蘇格拉底 這裡共有四個正方形。從一個角到它的對角畫直線，這些線段把這些正方形分別切成兩半，對嗎？

童奴 對。

蘇格拉底 在這個圖形中（BEHD）一共有幾個一半？

童奴 四個。

蘇格拉底 那麼，在這個圖形中（ABCD）有幾個一半呢？

童奴 兩個一半。

蘇格拉底 四和二是什麼關係？

童奴 四是二的兩倍。

蘇格拉底 那麼這個圖形的面積有多大？

童奴 八（平方尺）。

蘇格拉底 以哪個圖形為基礎？

童奴 以這個為基礎。

蘇格拉底 這條線段從這個四平方尺的正方形的一個角到另一個角嗎？

童奴 是的。

蘇格拉底 這條線段的專業名稱叫「對角線」，如果我們使用這個名稱，那麼在你看來，你認為以最先那個正方形的對角線為邊長所構成的正方形的面積是原正方形的兩倍。

童奴 是這樣的，蘇格拉底。

蘇格拉底 你怎麼想，美諾？他的回答有沒有使用不屬於他自己的意見？

美諾 沒有，全是他自己的。

蘇格拉底 但是我們幾分鐘前認為他並不知道這個答案。

美諾 對。

蘇格拉底 那麼這些意見存在不存在於他身上的某個地方呢？

美諾 在。

蘇格拉底 所以一個無知者可以對某個他不具有知識的主題具有正確的意見。

美諾 似乎如此。

………………………………………………………………………………………………

以上出自柏拉圖的《美諾篇》

　　不過這個答案更適合給教數學的老師看，如何以一種讓學生知其然知其所以然的方式教數學。我個人也認為這個問題更適合老師去考慮，可惜感覺我遇到的多數老師好像都不太Care這種問題。

　　如果是自學的話，我很難給出一種能夠讓你滿意的答案（因為你的問題我以前也多次想過，也沒想出一個我自己滿意的答案。）

　　理想的情況是當你學一個數學知識時把你放到這個數學知識尚未被發現但即將被發現的年代，讓你感受一下當時的數學家是看了哪些資料以及怎麼解決問題的。就比如把你放到伽羅瓦和阿貝爾的時代，讓你去研究一元五次方程的求解問題，看看你能不能夠提出「群」的概念？

　　不過這種學法的效率恐怕很難保證，一方面那個時代的學術環境是什麼樣的你很難還原，一方面你很可能卡在一個問題上抓耳撓腮也想不出來……

　　給你看一下伽羅瓦的故事：伽羅瓦的故事_qxjd_新浪博客

　　「他一開始就對那些不談推理方法而只注重形式和技巧問題的教科書感到厭倦，於是，他毅然拋開教科書，直接閱讀數學大師們的專著．A．M．勒讓德(Legendre)的經典著作《幾何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他領悟到數學推理方法的嚴密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解數值方程》(Rélution des équations nume－riques，1769)、《解析函數論》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不僅使他的思維更加嚴謹，而且其中的思想方法對他的工作產生了重要的影響；接著他又研究了L．歐拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，為自己打下了堅實的數學基礎．學習和研究數學大師的經典著作、是伽羅瓦獲得成功的重要途徑．他深信自己能做到的，決不會比他們少．他的一位教師說：「他被數學的鬼魅迷住了心竅．」

　　現在上哪找勒讓德的《幾何原理》，拉格朗日的《解數值方程》，《解析函數論》這種書呢？不過我在書店還是能看到高斯的《算術探索 (豆瓣)》和歐拉的《無窮分析引論(上) (豆瓣)》《無窮分析引論(下) (豆瓣)》中譯本，你要是有興趣可以找來看一下。

　　我能想到的也只有建議你多去讀讀大師們的手稿了。

　　知乎上還有兩個問題與之相關，你看一下能不能找到對你有啟示的答案：

　　數學方面的能力該怎麼培養？

　　怎樣用非題海手段訓練數學思維？

多想。

做完每道題可以多想一下：

1、把題目中這個條件（or數字）換一下還要這麼解嗎？為什麼？

2、這道題考了哪些知識點？（or解題的關鍵是什麼）

3、從中我學到了什麼？（最好寫下來「以後碰到這種xxx的題要怎麼做」）

4、整理錯題本並時常翻閱。

若是數學愛好者想多了解一些：

1、看一些這方面的書、文章、知乎問答、果殼。

2、上課（含網路公開課、大學蹭課）

3、微博微信人人網知乎多關注一些數學系的大神。

4、自己在生活中多發現數學，多想。

貌似我記得數學的公式分公理、定理和推論三種；公理是無須證明的，例如兩點之間直線最短；定理是以公理為基礎證明的，課本上絕對都有；推論是定理獲得的，課本上也應該有，甚至有習題。

除此之外，還有些基本的定義，例如，這些不用證明，跟你為什麼叫張三李四一樣的道理。

至於數學有什麼用，當然不是解體，也不是顯擺，而是用來描述可以計算或者演變的過程。

個人感覺，高中課本真的不水。題主不妨看看這些課本，如果沒上過的話。

如何評價人教版高中數學的選修3-*及以後的課本？

推薦看麻省理工的數學公開課。

說個可能不好聽的話，我覺得沒戲。關鍵是，你想花幾年的時間完成別人12年積累的知識量？

你要學張無忌學太極，把公式方法都忘了先，，，我記性差考試老是自己推公式，(+﹏+)~

我問過我的數學老師，大學數學學什麼？你說的這些他都有提到，而且，他提到還遠不只這些，再且，他只是個普通師範的師範生，大四不學數學而是學教學，就是教書

所以，你找一個數學系的學長，跟他要一份教材清單，你想知道的就都能知道了（如果有這麼個東西的話）

自己沒思考過？多想想就好了

知道他是怎麼來的，知道他是怎麼沒的。

問老師唄

上海高二數學上學期教材

我找到的雖然是上海教材，但是全國大同小異吧。

見該教材10-11頁，已經描述了等差數列的推導過程和公式。而老師可能不會講推導過程，因為這些在你的預習課本過程中應該已經熟悉了。

另：回答你的PS

數學就是抽象化的世界，不僅僅是漂亮話。

比如上例中的等差數列的描述，你可見教材第12頁的例題，這種題在小學叫做「應用題」，也就是說，應有實際用途的問題。雖然題目只是抽象化的討論了綠化面積和時間這兩個變數，很容易就能計算出結果，但是你有沒有問過下列幾個為什麼？

為什麼綠化面積和時間相關？

為什麼第一年綠化面積不為0？

如果我持之以恆的綠化下去，亦是n趨向無窮，結果會不會無限放大？

（暫列三個）

如果你考慮過除第三個以外的兩個問題，時髦的講，你有發散思維。

如果你連第三個問題都沒有考慮過，我只能說你學的是屠龍之術。無怪乎你會認為學起來枯燥無味。

*大家都是過來人，都知道除了最好的學校和頂尖的學生以及擁有保送資格的同學以外，大家暫時還是要過高考的獨木橋的（高考改革了估計有些人再也讀不了大學了），如果你沒有學習的興趣，不妨從這些入手，會讓你輕鬆愉快許多。

不賣萌了，直接推薦好書。

BetterExplained

X的奇幻之旅 (豆瓣)

數學橋 (豆瓣)

費馬大定理 (豆瓣)

數學講究的不是計算，而是模式想像、邏輯嚴謹。數學是智慧(任何智慧生物)真正的結晶，因為任何語言、文化描繪下的數學，都是一樣的。只有最本質本源的東西，才有這種美妙特性。

很多非數學系的人不知道數學分析這門課，其實就是給數學系學的高數。這門課入門時和高數內容差不多，但他們之間的差別正是題主想要的，數學分析是知其所以然，每個定理都有嚴格證明。

數分教材很多人包括我自己心目中的聖書是Walter Rudin的Principle of Mathematical Analysis，再笨的人看了數分也能學好，有中文版，很多學校也用。