如何理解薛定諤方程？

01-05

其實薛定諤方程非常好理解啊…………

一般的薛定諤方程就說了一個很簡單的事情：哈密頓算符是時間演化的生成子：

$hat{H}|phi angle=ihbarfrac{d|phi angle}{dt}$

或者說，態的時間演化可以形式地寫成：

$|phi,t angle=e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}|phi,0 angle$

那麼哈密頓算符是什麼，這個其實完全是從經典力學中的哈密頓量來的。哈密頓量是什麼？其實就是能量函數……所以不含時的、定態的薛定諤方程就更好理解了：就是如果一個系統處於穩定狀態不隨時間變化，它的能量守恆：

$hat{H}|phi angle=E|phi angle$

能量為什麼和時間有關，能量和時間是什麼關係，這都是經典力學中就很清楚的東西：即能量是因為時間平移對稱性而產生的守恆量。

哦，對了，需要多說一句。一般說到薛定諤方程，是特指哈密頓算符取成類似牛頓力學的樣子：

$hat{H}=frac{hat{p}^2}{2m}+V(hat{x})$

這和牛頓力學中能量的表達式是一樣的。而相對論性的「薛定諤方程」，則是兩個：Klein-Golden方程和狄拉克方程，它們的哈密頓量是相對論中的能量表達式。但第一個方程問題很大，Dirac方程在低能狀況下還湊合，但也有問題。所以通常說到相對論性量子力學，都只把它當做過渡理論。真正的相對論性量子力學，是量子場論。雖然哈密頓量長得一樣，但場論是多體理論。

對了，還需要再說一句……或許你會有疑問，為什麼 $hat{m{p}}=-ihbar abla$ ，（ $abla=(frac{partial}{partial x},frac{partial}{partial y},frac{partial}{partial z})$ ），這個源頭也要回想一下經典力學裡動量是什麼。動量是空間平移操作的生成子，這和能量是時間演化操作的生成子是一樣的。所以，平移 $deltam{x}$ 後的狀態 $|a$ 與平移前的狀態 $|a angle$ 可以形式地寫成：

$|a$

在坐標表象中，我們用坐標來標記系統的狀態，即用態在坐標本徵態上的分解展開（有點類似於你在直角坐標系中寫一個向量的3個分量）來表示這個態，展開「係數」叫做波函數。所以我們將態用坐標本徵態展開：

$|a angle=int|m{x} anglelangle m{x}|a angle dm{x}$

那麼（第一步的平移就是把態平移而已，第二步則是做了代換 $m{x}$ ，因為積分限是全空間所以不變，第三部就是單純的函數泰勒展開）

$|a$

我們和

$|a$

對比一下，由於平移 $deltam{x}$ 是任意（小）的，所以

$hat{m{p}}|a angle=-ihbarint|m{x}$

$langlem{x}$

也就是對坐標表象中的波函數而言， $hat{m{p}}=-ihbar abla$ 。

1，如果肯定了狀態空間是Hilbert space $H$ 。

2，那麼其上的動力學演化一定由某個單參強連續酉運算元群 $U(t)$ 決定。

3，Hilbert space $H$ 上控制系統演化的 $U(t)$ 形式是唯一確定的，即： $U(t)=e^{iAt}$ ，Stone定理告訴我們 $U(t)$ 的生成元 $A$ 一定是自伴運算元。

4，於是乎，薛定諤方程： $ifrac{partial}{partial t}psi=hat{H}psi$ ，其中 $hat{H}=-frac{hbar^2}{2m} abla^2+V(r)$ ，僅僅是指定了生成元 $hat{H}$ 的具體形式而已。

5，如果我們再肯定正則量子化，即Lie代數同構： $Q:f o hat{f}$ ，那麼若 $Q:p o ihbar abla$ ； $Q:x o x$ 。哈密頓運算元的形式也是確定的： $Q(H)=frac{1}{2m}Q(p)Q(p)+Q(V(x))$ 。

6，也就是說，在肯定了狀態空間是Hilbert space $H$ ，肯定正則量子化的基礎上，薛定諤方程告訴我們：動力學系統的生成元是哈密頓運算元。

薛定諤方程：

$ihbar frac{partial}{partial t} psi(m x) = -frac{hbar^2}{2m} abla^2psi(m x) + V(m x) psi(m x)$

「波函數」 $psi(m x)$ 是歸一的，故此做變數代換： $psi(m x) = e^{-frac{i}{hbar} S}$ ， $S$ 是某一個函數，可以得到：

$frac{partial}{partial t} S + frac{m p^2}{2m} + V(m x) = frac{ihbar}{2m} abla^2 S$ —— ［1］,

或更加明顯的：

$partial_t S + H( abla S, m x, t) = frac{ihbar}{2m} abla^2 S$ ——［2］

這裡， $m p = abla S$ ，為「正則動量」， $H = frac{m p^2}{2m} + V(m x)$ 為哈密頓量。

若 $hbar o 0$ ，我們得到經典力學的哈密頓－雅科比方程。由於 $hbar$ 較小， $S$ 可以寫成 $S = S_ ext{cl} + sum_{n=1}^infty left(frac{hbar}{i} ight)^n S_n$ ，

這裡 $S_ ext{cl} = int dm qcdot m p_ ext{cl}$ 為經典作用量。而波函數可以寫作， $psi(m x,t) = expBig[frac{i}{hbar} int dm q cdot m p_ ext{cl} + S_1 + frac{hbar}{i} S_2 + cdots Big]$ ， $hbar o 0$ 是波函數發散，故其沒有經典對應。

可以證明［Roncadelli Schulman, 2007］，上面的方程［2］是哈密頓－雅科比方程量子化的結果，即：

$partial_t hat S + H( abla_{hat{q}} hat S, hat {m q}, t) = 0.$ —— ［3］

將其在坐標基展開，既可以得到方程［2］。

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這可以作為薛定諤方程諸多前世今生之一。

量子力學的基本假設/公設包含有以下一條:

物理系統的一個確定的狀態用希爾伯特空間中的向量"描述".

在非相對論性量子力學中, 時間和空間不"平權"; 時間是作為參數被而不是可觀測量的本徵值被引入的. 人們希望一個好的理論能夠預測物理系統如何"演化", 亦即, 在數學語言中, 描述物理系統狀態的向量和時間的關係如何. 薛定諤方程就是作為預測一個孤立物理系統如何隨時間演化的基本假設被引入量子力學的.

牛頓質點力學中, 牛頓第二定律的地位可以與薛定諤方程 (描述的量子態時間演化的規律) 在量子力學中的地位相類比. 但是需要注意的是, 牛頓第二定律的數學描述是一個二階微分方程, 這意味著我們要知道質點在 $t=0$ 時刻的位置和速度才能預言質點未來的運動; 薛定諤方程是一個一階微分方程, 就是說我們不需要知道物理系統在 $t=0$ "下一時刻"的狀態, 就可以預言所有 $t>0$ 時刻的系統狀態.

需要說明的是, 我們原則上無法測量單個物理系統的相鄰兩個時刻的狀態. 請參見 Quantum Zeno effect (量子芝諾效應): "對量子系統的連續測量會凍結其演化".

這一點可以大概說明如下.

在0時刻測量到系統處於狀態 $|psi angle$ 以後, 經過 $delta t$ 時間以後, 一般而言 $delta|psi angle$ 是 $mathcal O(delta t)$ 量級 (以模長); 但是系統在此時刻測量到系統坍縮到其它態的概率量級為 $mathcal O((delta t)^2)$ ; 若 $delta t ightarrow0$ 並且測量連續進行, 系統將不演化.(數學上, $lim_{epsilon ightarrow0}{left[1+mathcal O(epsilon^2) ight]^{frac{1}{epsilon}}}=1$ )

就是說, 我們測量到 $|psi(t=0) angle$ 以後, 是無法通過測量其自由演化得到的 $|psi(t=delta t) angle$ 的.我認為這說明, 薛定諤方程是只能是一階微分方程這個事實是和量子理論其它部分相容的; 如果薛定諤方程是二階微分方程甚至以上, 量子力學其它基本假設就有可能不是正確的.

一個可能的解決方案是, 在 $t=0$ 時刻製備大量的 $|psi angle$ 態, 測量 $delta t$ 以後這個系綜的狀態; 然而這樣, 越精確的預言將要求越大的系綜. 我不知道這是否可行, 請熟悉的知友指正.

或許我可以給出一個更直觀，恐怕是不夠嚴謹的認識。

經典波動函數為 $A(x,t)=A_{0}e^{i(kx-omega t)}$ (此式可參加任何一本電動力學教科書，均有詳細推導過程）。

在量子力學中，可認為波函數與經典波動方程對應（具體可能是先猜想，後實驗認定），且對於微觀粒子，有下述德布羅意關係 $u =E/h,lambda =h/p$ ,帶入經典波動方程，得 $varphi (x,t)=varphi _{0}exp[-i(Et-hat{p}x)/hbar]$ 。

如上式所給出的信息，便可推知 $ihbarfrac{partial }{partial t} varphi =Evarphi$ 。接著按照經典力學的定義，有哈密頓量 $H$ 與能量 $E$ 等價，便可最終得出薛定諤方程。

順帶的，也把動量 $p$ 表達出來，即 $hat{p}=-ihbarfrac{partial }{partial x}$ 。

當然趙兄無窮小演化算符的說法，顯然更嚴謹，朗道的書里寫得非常詳細，不過初學者可能會覺得不夠直觀。通過平面波來理解，大抵更容易構建量子力學與經典物理的橋樑。

薛定諤方程是線性的，稍微有高等數學知識的人都可以解出線性微分方程，如果只學怎麼去解題，難度不大。

這裡面要注意裡面有個粒子的勢場函數V，就是因為他不含有ψ參數，只以（x，y，z）為參數，才讓薛定諤方程為線性微分方程。這裡面有句潛台詞，就是說方程只能用在粒子所處的勢場近似為V（x，y，z），也就是只與位置有關的勢場中，薛定諤方程才有效。但粒子其實有很多情況不符合這個條件的，比如粒子速度接近光速，粒子湮滅，粒子產生等等。所以薛定諤方程其實也算一定程度上近似的理論，比起更加基礎的量子場論，它也算是唯象理論。所以大家也不用太過於去糾結方程本身，就好比工程師們使用工程技術手冊的公式，你知道這麼用是人家費心研究出來的成果，不會錯就行了。

個人感覺學量子力學，更重要的是把握波函數概念的測量公設理解，或者說是如何理解各種例題里求出的波函數，它對應的是怎樣的測量結果，粒子在這個波函數狀態，在觀測儀器中表達了什麼。理解了這兩方面，再反過來驗證推導薛定諤方程，就簡單了。

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我覺得如果薛定諤方程不好董,但是有個好董公式在高中會學到：

這個公式簡單,闡述了頻率和能量的關係,這公式只有一個量子力學基本常數h，力學其他常數都沒出現，沒有比他更基礎的了。

但是如果仔細觀看一維情況下的薛定諤方程,會感覺某種相似性。

看左邊有個孤零零的h,波函數的偏微分感覺像頻率,等式右邊是個動能運算元和勢能運算元,和哈密頓量多像啊,不同的就是動能運算元和勢能運算元的正負號調換了一下,學過分析力學的一般都知道哈密頓量其實是系統的總能量，也就是說等式右邊其實就是能量。我選個特例來解釋，就是把解定態過程倒過來，我們先來猜答案，然後代入去。有一部很關鍵，就是任何一個波都可以由其他的波疊加而來，寫成複數波的算式就是：

其實就是傅里葉級數拉，或者說是用周期函數做正交規範基來張成，不過這裡就不弄得那麼複雜了，這樣我們已經猜出了任意解一定有一種這樣的表達式，不光如此，對於解的普遍性質，我們可以只研究其中的一個分項就夠了，畢竟每一項的形式都相同，而且薛定諤方程是線性方程，疊加出來的合成波也會符合的，這裡我們就只探討一維情況下的波的疊加：

該形式波函數乘以不同的複數係數，就可以合成任意波，左邊大家都會學到，有時候為了簡單寫成右邊這種，把這個波函數代入薛定諤方程左邊：

注意兩個虛數單位抵消成-1了，角頻率與普朗克常量的乘積也出現了，然後看薛定諤方程右邊會變成什麼：

動能運算元和勢能運算元的符號終於回歸到哈密頓算符的正確狀態了，這個時候方程的樣子也差不多可以看出來了，可以把ψ（t）都約去，然後兩邊分別進行這個變換：

得到：

由於波函數振幅的定義是概率密度，所以方程兩邊其實是在求期望值：

這樣就回到了剛開始談到的話題，定態情況下薛定諤方程就是頻率—能量公式的變體。

最簡單的理解方式，我目前認為是通過物理的直覺加上一點點點點數學

現在解薛氏方程不多了吧，還是要看狄拉克方程吧，畢竟和狹義相對論有協調。

在英國，我的腳步輕輕踏上狄拉克的墓誌名牌，一陣感慨，這麼偉大的人物，和牛頓，達爾文，躺在一起，都是只有這麼小小的一條大理石表明自己的存在，和邊上碩大華美的我不知名的公爵伯爵的名牌躺在一起，到底是可喜還是可悲？！

一直覺得薛定諤是最浪漫的定律想想兵荒馬亂的日子某個人沒了音訊可能跟了別人可能早就死了可能也想著你只要你不去找他這三種疊加態永遠永遠不會坍塌。

迄今為止，仍然沒有任何一位理論物理學家敢於聲稱自己讀懂了薛定諤方程。因為這套方程純粹是根據實驗數據而總結的「經驗性公式」。就連喜歡用數學思維解決物理問題的海森堡都對薛定諤方程感到不滿意。他在寫給泡利（Wolfgang Pauli）的信中談道：我越是思考薛定諤理論的物理意義，就越是感到噁心。薛定諤對他那套理論的形象化描述簡直毫無意義。換一種說法，純粹就是些扯淡的東西！（此處德語原文為Mist）