「序數效用只取決於單調變換」是什麼意思？

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效用是一個序數的概念，而非基數的概念。換言之，我們需要比較的是U1&>U2&>U3，而不是究竟U3比U2在數量上多多少，U1比U3又少多少。所以，如果消費者有一個效用函數U1，U1的單調變換不會改變效用的順序，所以U1的變換依然是消費者的效用函數。數學上，如果U1&>U2，且f是單調遞增函數，則f(U1) &> f(U2)，f依然是該消費者的效用函數。

題主說得效用是序數效用，題目意思是效用函數的單調變換可以表示同一個偏好（Preference）。為了理解，先說說偏好是什麼。

偏好是一個序關係，直覺上說，偏好就是想對這樣一個事情建模：消費者在面臨A籃子消費品和B籃子消費品時，總能說出A籃子和B籃子他更偏好哪個籃子中的消費品。如果兩個籃子一樣喜歡的話那麼該消費者對於A和B兩個籃子的消費品是無差異的。對於一個符合邏輯、性質「良好」的消費者，那麼我們可以假設他的偏好滿足完備性（任意兩個籃子物品都能作出比較）、反身性（A籃子不比A籃子差）、傳遞性（A不比B籃子差，B籃子不比C籃子差，那麼他會認為A籃子不比C籃子差）。

這些假設乍看是顯然的，但是在實際中並不總是會發生（需要自己腦補）。經典理論家們為了避免麻煩，保持理論的簡單性，對於滿足這些條件的偏好性質「良好」的消費者，證明了存在一個函數U，使得對於任意兩個籃子A、B的消費品，如果U(A)&>=U(B)，這個消費者會認為A籃子不比B籃子差；反之亦然。

此時我們就稱這個函數U保持了這個消費者的偏好關係。那麼，我們對這個函數做怎樣的單調變換，例如2U, logU, exp U都不會改變這個偏好排列的關係，這個函數就是（序數）效用函數，其數值大小是無關緊要的。

當籃子涉及不確定性時，比如買彩票時，經典理論引入了von Neumann-Morgenstern期望效用理論，在額外的一組公理下證明了存在一個基數效用函數U可以保持對不確定性物品的偏好。但是這種效用函數就沒有這麼好的性質了，在單調變化下並不能表示相同的偏好。