普朗克當年是如何把兩個半經驗公式組合成黑體輻射公式的？之後又是如何從黑體輻射公式推斷出普朗克關係 E=hν 這一量子力學基礎的？

01-05

最近在看量子力學的公開課和一本量子力學的書「Quantum: Einstein, Bohr, and the Great Debate About the Nature of Reality 」，其中講到普朗克受黑體輻射量子方程等啟發推導出來了這個著名公式，很想知道如何推出來的，難道就想薛定諤函數一樣屬於經驗公式，不能推導得到嗎？

謝自邀。

從樓主提問的方式來看是想問一個如何莫名其妙發現偉大結論的成功學問題。然而作為一個不務正業的二流子物理研究者我要給個八卦學的答案。而且從歷史角度，樓主這個問題本身就問錯了，下面詳述。

如抽煙一般，煙民都知道很爽。從各種渠道你也能知道正確和簡潔的爽法（比喻到此問題中「各種渠道」指各色犬牙交錯的熱力學教科書）。但是你非要尋根問底第一個憂傷難耐的人是如何四十五度角仰望天空發現這個寂寞超越天際的物件之用途時，這就不涉及健康和心理以及傳播學的問題了，這是考古學。（實際上，寂寞的是個民族，叫印第安...)

意思是，黑體輻射的公式的確偉大，但是偉大的結論，如果發現者不是天才，其發現過程往往非常蹩腳和奇葩，與結論的偉大程度成正比，並不能給渴望成功後人指引方向，而只能帶來考古學意義，不如按部就班的跟隨教科書。

文章本天成，妙手偶得之。沉吟十餘載，甘苦誰人知。

普朗克不是天才。

和在東方某國度被黑成了炭，81頁論文被縮水成一頁多一點的「遊手好閒的紈絝子弟」德布羅意相比[1](笑談物理史：一頁紙多一點的博士論文（轉自燕南社區）)，普朗克的待遇就過於好了,不知是不是因為名叫馬克思的緣故。故事的開頭總是普朗克指點江山，揮斥方遒，筆落而天下定。

然而，一切應該回到1890年代。

對於那個年代的物理學家，伊薩克爵士還是神一般的存在。以老牛同志為核心的物理領導班子下，所有非電磁問題都可歸結為一個中心(F=ma), 兩個基本點（牛頓第一，第三定律）。作為少數的無黨派人士，最為前沿的一幫子人也就能扯扯熱力學了。熱力學裡最前沿的問題是如何解釋熱力學第二定律（不能從低溫物體傳熱到高溫物體）。不要想，整體的趨勢肯定是把它扯回那個海灘邊撿貝殼的小屁孩的體系里。當時比較新潮的主要是兩個觀點，一是以玻爾茲曼為代表的分子動力學解釋，體系的熵是分子運動的共同作用結果，熱力學第二定律只在統計上成立；二是更異端的「能量派」，主要代表是一個叫Wilhelm Ostwal的，主張一切都是能量連續物質，沒有分子什麼的。從教科書的出現頻率來說，我們當然知道是玻爾茲曼最終贏了。從人生上來說，Ostwal後來得了諾貝爾，玻爾茲曼壓力山大，自殺了。

普朗克趕上了熱二這個熱潮。作為一個法學教授的兒子，這個「並不期望發現新大陸，只希望理解已經存在的物理學基礎，或許能將其加深。」的青年的博士論文就是關於熵和熱力學第二定律的（Second law)，殊不知他自己就是哥倫布，而且可憐的他確實只是想找找印度而已。

對於普朗克來說，他極為憎恨玻爾茲曼的論點。也許是數學不好的緣故，他認為「從統計上成立」這種不知所云的觀點就是bullshit，熱二從原理上就應該是對的。「這兩種主張的鬥爭最後會鬧出人命的」，他曾寫道，「雖然玻爾茲曼的分子派曾經輝煌，但是連續物質的理論才會天長地久的」。於是.......一開始普朗克同學就堅定的站錯了隊，雖然之後他的態度會越來越曖昧，乃至暖味，直至最後以之為stepping stone踏上最後寶座。

隱約覺得鍊金術士的東西還是不靠譜後，普朗克準備傍上另外一尊神---麥克斯韋。整個熵增理論的全部意義就是沒有時間反演性，一直在增大，永不被超越（xx醫院廣告）。但是F=ma簡直太tm反演了，於是普朗克把一切希望都寄托在麥克斯韋身上，不是咖啡，而是方程組。這時，命運又無情的玩弄了這個落魄的中年老學究。親愛的玻爾茲曼又出現了。 1897，在戊戌變法的前一年，玻爾茲曼輕輕的留下一篇論文，證明了麥克斯韋方程一樣是時間反演的。此時，我在想，玻爾茲曼八年後的自殺肯定是普朗克的咒怨咒死的。

終於開始正題。此時的普朗克繼續尋找熵增的出口。與此同時韋恩的經驗定律已經為了實驗數據而生:

其中u是輻射強度，v是頻率，T是溫度。我一直堅定的認為韋恩是各類curve-fitting軟體的鼻祖以及驚嘆於沒有一款以他命名。他有著工程師的最好品質：在對問題本質一無所知的情況下給出一定範圍內正確的解決方案。

但是對物理有著「貴族」般品味的普朗克並不滿意，他覺得自己必須給出一個解釋，而且他給出了一個解釋---------基於的是玻爾茲曼的氣體動力學，也就是：

不過他還是極力避免統計力學和分子的概念。他利用一些實驗結論以及找到了一種韋恩定律服從的理想振動子（這不就是分子么！魂淡！），其熵之夭夭，耀耀其華，得到：

然後經過一系列大學一年級水平的變換，就可以得到韋恩定律。好吧，如果認為這種理想振動子存在，那麼問題就解決了。想到此處，愛好音樂的普朗克哼起了月亮之上。但是噩耗又來了，低頻輻射此式不符合...以頭搶地....繼續坐回書桌旁邊....再來.....改掉上式，變成：

韋恩定律也隨之變成普朗克定律：

這回ok。

所以之前為什麼說樓主問錯了，是因為普朗克不是由兩個半經驗公式推出，而是一個。所謂的瑞利-金斯定律在當時毫無影響力，因為它基於的是能量均分定理，而此定理在當時是戰鬥力為5的渣們無法理解的（連統計力學都理解不了，這個可以么）。而且瑞利-金斯定律比普朗克定律提出晚。

雖然有個模型出來了，普朗克心裡還是知道這只是一個大膽的猜想而已，憑什麼我說的這個振動子就是對的呢？他心裡很糾結。

有些天才到最後你是必須要服的，比如玻爾茲曼。經過一生的抗爭，普朗克最終還是倒向了他的懷抱。在普朗克的劃時代的巨著&<正常光譜的能量分布定律&>中，整個第一部分就獻給了玻爾茲曼的理論，也最完整的引入了量子論，而這一部分跟你在教科書上看到的路數非常相似，建議樓主看原文，我再寫也就不要再睡覺了。

值得一提的是，普朗克此後的一生都還在試圖把電磁輻射理論併入經典理論。

即使站在山巔，要撥開雲霧看清還是那麼難。

請維基普朗克黑體輻射定律你想要的裡頭都有。

不知提問者數學底子如何。如果還不錯，可參考趙楷華＜＜光學＞＞將黑體輻射那一節。

不涉及數學細節的話，簡單說：原本有兩條波長-輻射率理論曲線，一條短波時符合實驗數據長波時不和，另一條剛好相反。普朗克一咬牙，把能量取成hv的整數倍，居然符合實驗數據了。

簡單來說

前人有兩個公式

其中一個公式在低頻段的結果是對的，高頻段是錯誤的

另一個公式在低頻段結果是錯的，高頻段結果是對的

普朗克想把這兩個公式統一起來，使他們在低頻高頻都正確

卻發現，只有一個方法才能統一起來，那就是把能量分份，不是連續的，而是一份一份的

但是這個傳統的觀念是不符合的

普朗克糾結的好些時候，終於還是分份了，然後這個公式就出來了

樓主既然想知道是怎麼推出來的

就去看看《上帝擲骰子嗎 (豆瓣)》類似的書就可以了

以下答案比較具體，摘自《宇宙的精靈（通俗量子力學史）》

e=hv
多漂亮一個小精靈呀！窈條曼妙，婀娜多姿。e就是本書主人公的名字，普朗克稱之為「作用量子」（ Quantum of action ），現在我們昵稱她為「量子」（ Quantum ）；hv就是量子本身；h是「普朗克常數」，等於6.626×10 -34焦耳·秒，一個很小很小的量；v就是我們已經熟悉的頻率。普朗克發現，能量的吸收和輻射，不是連續不斷地，而是一份一份分立地進行的。能量分割的的最小極限，就是這個hv。每一份量一定是hv的整數倍。為了使這個假定成立，普朗克發現，必須引進之前他十分厭惡的波爾茲曼的分子假設和統計方法。他假定在輻射體的表面，包含著像振動的小彈簧一樣的「振動分子」或「諧振子」，這些諧振子只能吸收或發射一個個的能量包。就像吃饅頭，你可以吃一個，兩個，三個，N個。你說來半個，兩個半，對不起，我這饅頭掰不開，刀砍斧剁也分不開。當然饅頭有大有小，取決於頻率（v）的高低，高頻的饅頭就大，低頻的饅頭就小。飯量大的可以吃大饅頭，飯量小的可以吃小饅頭，但你千萬不要說吃半個。維恩倒是知道饅頭要一個一個地吃，但不知饅頭有大有小。在高頻端吃大饅頭中間歇那麼長時間正合適，到低頻端吃小饅頭還這麼歇就吃不飽啦，因此就出了「紅外事故」。瑞利和金斯不懂得饅頭要一個一個吃的道理，在低頻端連續吃小饅頭還勉強杠得住，在高頻端還這麼干就撐死啦，於是就發生了「紫外災難」。像是挺有道理，但這種跳躍式的能量變化聽起來怪怪的。就好比天氣預報說明天氣溫會從攝氏40度降到0度，上班時你就會帶上幾件衣服，因為你相信氣溫會從40度經過39、38直到2、1最後才到達0度，所以有機會一件一件地加衣服而不至於感冒。但普朗克現在要告訴你的是，氣溫會在某一瞬間，沒有任何中間過程，直接從40度跳到0度。那我們就只好在40度的高溫下穿著棉襖等待這一恐怖時刻的到來。（這得感謝普朗克，他給出的h非常小，如果h足夠大，情形還真會是這樣）普朗克不是憤青，也不是一個愛標新立異的人，但也是被逼無奈呀！除此之外，沒有其他的解釋。多少年後，普朗克在總結當年的心態時說，我是一個性情平和的人，不喜歡吉凶未卜的冒險。但社會上和科學界都很需要這麼一個公式，而且我自己被折磨了整整六年。科學嘛，要奮鬥就會有犧牲。所以除了熱力學第一定律和第二定律，我打算犧牲任何一條我原先信以為真的物理學定律，無論付出什麼代價，都要把黑體輻射的新公式拿下。風蕭蕭兮易水寒，壯士一去兮不復還！

說說我們怎麼學的，和歷史上可能並不同。

1.黑體輻射公式怎麼來的

上課的時候老師提到可以數值擬合神馬的，這東西我沒上過計算物理,數值分析所以也不清楚老師是隨口一說還是歷史上就是如此。

不過推導的話是可以的，普朗克是不是這麼玩的不清楚。假設黑體裡面都是光子氣，頻率也都相同，各自有hv的能量，利用統計物理的方法很簡單就出來了，題主可以去翻翻熱力學與統計物理的課本。

2.薛定諤方程的推導

當年德拜老爺子說，有了波，就得有一個波動方程，於是薛定諤回家就找這個波動方程去了。

這個方程作為量子力學的基本假設存在，完全用量子力學的東西推導是沒可能的。有人說量子力學既是比經典更準確的近似，卻又需要經典體系來建立自身，這是很奇怪的，但現狀就這樣，抱著實用主義的態度先不管這個。這個推導其實也是經典類比得到的。

Fermi的量子力學講義一開始就是這個，通過對光學的費馬原理和分析力學的莫培督原理(或者最小作用量原理)的比較來得到波粒二象性，薛定諤方程。

Cohen的量子力學第一卷(高教社今年出了中文版)里則是用對波包進行操作來得到的。

具體的數學我記不住哈，題主可以自行去看一看，手機也不能貼公式，需要的話改天上電腦再說詳細點。

題主到底是想知道這個公式是怎麼推導的還是普朗克是怎麼推倒出來的啊，我看你題目和描述分別表達了這兩個意思啊。。。

我曾經下載過普朗克的這篇論文的英文翻譯版，根據已知的資料，普朗克真的有很大程度上是根據已有的工作猜出來的，具體怎麼猜的不知道（這就是一拍腦門兒的事兒，有的人拍死了也想不出），如果題主數理基礎比較好，想必就會對一些個極限很敏感，黑體輻射公式（原諒我已經忘了）里就有這麼一個大一學過極限的學生都知道極限值。如果想要跟實驗結果搭上，公式形式就很有可能就是那個樣子。可能的公式寫出來後就可以根據理論往上靠，當時流行的方法是把腔壁當成是一堆簡諧振子，如果要滿足他推出來的輻射公式的話振子的頻率跟振子能量的關係就要是線性的，然後就有了普朗克常數。。。

如果非要嚴密推導這個公式，要有量子電動力學的知識才能明白無誤地推導才可，或者學了量子統計以後也可以稍微那麼自欺欺人的得到結果。

但是，最坑爹的是，這頭把量子力學從籠子里放出來的人，當時最tmd討厭哥本哈根詮釋，所以就別指望他能毫無破綻的推導這個公式了。。。。

我本人則覺得，他只是在已有的公式里減了個一，然後發現它跟實際吻合很好，順手就把量子理論推了出來。。。。。

具體的稍後我會把公式附上

只能說普朗克對量子力學起到一個先驅和啟示的作用，而不能說他就是量子力學的創始人。

為什麼這麼說呢？因為他只是把公式改了一下。「目前的這個公式的預言不符合實驗的結果，那我把它改一改。改得恰到好處不就行了嗎？把這個換成這個……這裡加個h吧……這個不要了……」普朗克改了一下公式之後，再和實驗結果比較，剛好就符合實驗結果了。普朗克的基本假設是能量的發射和吸收都必須是一份一份的能量團，

但他並不知道其中的原因，在那麼做了之後將意味著什麼，

但他並不知道其中的原因，在那麼做了之後將意味著什麼……

（重要的事要說三遍）

直到愛因斯坦提出光子理論。在愛因斯坦的光子理論中，普朗克的那些東西都被解釋了一番，其中說明了那「能量團」是個什麼樣的東西，那h起著什麼作用，並且提出了一個關於光的全新的概念——光子。所以，愛因斯坦才是量子力學的創始人。

當然了，之後的所發生的大家也都看到了，事情變得越來越「詭異」了，就連愛因斯坦也開始反對了。當然，愛因斯坦沒有反對他自己所提出的光子理論，而是認為量子力學是一個不完備的理論，肯定還存在另一個理論，它能夠包含整個量子力學從而取代量子力學。

「你們可別想幹掉我的相對論。我可是這方面的王霸，要干也只能幹你們的東西。而且我並不打算幹掉那裡面的我的那部分。」

但令人驚奇的是，如此怪異的量子力學，其預言卻總是和實驗結果符合得很好，更重要的是，似乎沒有可以替代它的理論。