一個數學問題，是不是一個整數除以一個2、5以外的任一質數，若整數不為質數的倍數，則結果必定是循環小數？若是，可有證明？

01-05

小學教師了，對數學不精通。問問知乎上的朋友。我發現1除以3、7、11、13、17都是這樣的。。
補充，剛才又想了想，這個結論應該是一個整數除以任一分解質因數的結果中包含2、5以外的質因數的整數，若被除數不為除數的倍數，則商必定是循環小數。
不知道有沒有這方面的證明。

不好意思我就肆意說了……

準備：

費馬小定理說，給定一個質數 p 和一個整數 a，如果 a 不能被 p 整除，那麼 a^(p-1) - 1 可以被 p 整除。

這裡，我們取 a=10，那麼當 p 不等於 2 或 5 的時候，10^(p-1) - 1 = 99...9（p - 1 個 9）可以被 p 整除。

比如 p = 7，999999 可以被 7 整除。

無限循環小數都可以表示成一個分母為 99...9 的分數，這可以用等比數列級數驗證。

比如 0.123123...=123 / 999

現在看你的問題：

整數 k 不能被 p 整除。由於我們只考慮小數部分，不妨設 k &< p。

令 n = (10^(p-1) - 1) x k / p，由之前的討論我們知道 n 是一個整數。

那麼 k / p = n / (10^(p-1) - 1) = n / 99...9，是一個無限循環小數。

問題簡化為，若最簡分式a/b，b存在2或5之外的質因子，則a/b為無窮循環小數。

假設a/b為有限小數，小數位數為n，則有a/b*10^n為整數，意即a*10^n可以被b整除，由於10^n只能分解為2^n*5^n，所以不可能約去b中非2和5的質因子，矛盾。故而a/b必然為無限小數。

如何證明這個無限小數循環？

對小學生可以根據豎式除法非常直觀的證明，因為餘數的可能性是有限的（小於b的自然數），所以餘數必然重複出現，就造成了循環。

任意一個整數除以任意一個非零整數一定是有理數，任意有理數都是有限小數（包括整數）或者無限循環小數，那麼只需要證明一個整數除以一個非2或5的質數若不能整除則一定是無限小數就可以

用反證法，假設整數a和質數b， a/b=c，而c是個有限小數，則存在整數n使得c*10^n為整數

於是a*10^n / b = c*10^n為整數，即a*10^n可以被b整除，由於10^n必然不是b的倍數（因為b不等於2或5），所以a是b的倍數，矛盾

故a/b必為無限小數，由有理數的定義，a/b是無限循環小數

必定是循環小數。

假設你除以n，如果除不盡，餘數是無限個，其中必有兩個相同，於是乎後面的也就都循環了。

有理數可以雙射到N上說的就是這個吧

分數寫成小數，循環節長度不會大於分母。

因為小數的每位是反覆由余數乘10再除以分母得來的，餘數不能大於分母，所以最多只能有分母那麼多種情況，一旦出現重複的餘數，小數就開始循環了。

其實就是這麼一命題：對於整數m和n，其中n&>5且為素數，且m不能被n整除，求證(10^k)*m也不能被n整除（k為任意自然數）。

用反證法就可以輕易證明了。

假設結果是有限位小數，乘以有限個10則表示可以整除，意思就是這個數可以被有限個10的乘積整除。

補充一點，前兩個數必須是互素的，不然的話，同時除以它們的最大公約數。

呃，除數是質數，不能整除當然互素。

其實本質原因是無限不循環小數是無理數，而通過出發的出來的是有理數……