常微分方程的通解包含所有的解嗎？

01-05

因為書上直接用 $e^{x}$ 做出通解，個人感覺很矛盾：這就能包含所有的解嗎？如果不能，那通解的意義又何在呢？

先說結論，通解並不包含所有解。

讓我們通過常微分方程來講解這個問題。

對於這樣的微分方程：

$y$

其中， $y=f(x)$ ，我們稱為常微分方程。

求解常微分方程是有明確的幾何意義的。我們下面就通過它的幾何意義，來觀察什麼是通解、特解以及所有解，以及通解是否包含所有解。

1 解常微分方程的幾何意義

$y=f(x)$ 是有明確的幾何意義的：

在這個曲線上取幾個點，作出點附近的切線：

根據微積分的思想，「以直代曲」，切線就是代替曲線的最佳直線。

所以我們可以看到，如果曲線上的點密集一點，切線就看起來很接近曲線了：

我要是把曲線去掉，你大概也能根據切線腦補出曲線的樣子：

求解常微分方程的幾何意義就是，根據切線畫出曲線。

2 歐拉方法

歐拉，給出了一個以他名字命名的歐拉方法，可以通過切線來畫出曲線。

怎麼作出切線呢？ $y$ 這個就是導數的方程，把導數作為斜率就可以畫出切線。

我們舉個最簡單的例子吧， $y$ 。我們隨便選一點作為起始點 $a_1$ ：

不斷重複以上步驟，我們可以得到一個折線段：

容易知道 $y=e^ x$ 是 $y$ 的一個解，我把 $y=e^ x$ 畫出來看一下，會發現這兩個的圖像還是有點接近：

隨著 $Delta x$ 的縮小，圖像就越來越接近（為了方便觀看，我把點給去掉了）：

歐拉方法就是這樣通過切線來把原來的曲線描繪出來的，這些連起來的折線，我們就稱為歐拉折線。

歐拉折線肯定和曲線是有誤差的，就好像泰勒級數和原來的曲線有誤差一樣，這裡就不深入討論了。

3 線素場

歐拉方法計算量其實還蠻大的（ $Delta x$ 越小計算量越大），不過好歹人手還可以算。

有了計算機之後，我們就可以不管計算量了，所以就有了更有效的線素場。

其實說來也簡單，我在平面上等距離取點：

然後以這些點為起點，根據 $y$ 畫出切線，這就是線素場（或者稱為斜率場）：

結合歐拉折線和線素場，我們就可以開始分析通解、特解和所有解了。

4 通解、特解和所有解

4.1 通過歐拉折線來觀察解

我們通過 $y$ 來繼續講解。這個微分方程的通解還是很容易求的，就是：

$y=pm e^{x+C}$

知道通解之後我們通過圖像來驗證下。

指定 $a_1$ 的位置，可以畫出不同的歐拉折線（大家可以觀察到，有了線素場之後，就算沒有歐拉折線，我們大概也可以腦補曲線的樣子）：

不同的 $a_1$ ，就相當於不同的初始值。不同的初始值得到的歐拉折線都是 $y$ 的一個特定的解（這裡不用特解這個詞，因為同濟大學的書上的定義，特解是通解的一個特定解）。

這些 $a_1$ 對應 $y=e^{x+C}$ ：

這些 $a_1$ 對應 $y=-e^{x+C}$ ：

容易觀察到，還有一個解是通解裡面沒包含的，這就是 $y=0$ ：

你可以手動拖動下 $a_1$ ，看看可以得到怎樣的解：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

4.2 小結

至此，我們可以得到以下結論：

微分方程往往有無數多個解
有一些解，可以寫成 $y=f(x,C)$ 的形式，其中 $C$ 為任意常數，稱為通解
對於通解，特定的初始值 $a_1$ ，可以得到一個特解
通解並不包含所有解，比如上面的 $y=0$

常微分方程的通解並不包含所有的解。

比如伯努利方程：

$frac{dy}{dx} =6frac{y}{x} -xy^{2}$

的通解為

$frac{x^{6} }{y} -frac{x^{8} }{8} =c$ ( $c$ 為任意常數）

但 $y=0$ 也是方程的解，並不包含在通解里。

定義.一般的 $n$ 階常微分方程具有形式[1]

$Fleft(x,y,frac{dy}{dx} ,cdot cdot cdot ,frac{d^{n }y }{dx^{n} } ight)=0qquad (1)$

這裡 $Fleft(x,y,frac{dy}{dx} ,cdot cdot cdot ,frac{d^{n }y }{dx^{n} } ight)$ 是 $x,y,frac{dy}{dx} ,cdot cdot cdot ,frac{d^{n} y}{dx^{n} }$ 的已知函數，而且一定包含 $frac{d^{n} y}{dx^{n} }$ ； $y$ 是未知數， $x$ 是自變數。我們把包含 $n$ 個獨立的任意常數 $c_{1} ,c_{2},cdot cdot cdot ,c_{n}$ 的解 $y=varphi (x,c_{1} ,c_{2},cdot cdot cdot ,c_{n})$

稱為 $n$ 階方程 (1) 的通解，關於解對常數的獨立性是指，對 $varphi$ 及其 $n-1$ 階偏導數關於 $n$ 個常數 $c_{1} ,c_{2},cdot cdot cdot ,c_{n}$ 的雅可比行列式不為0。通解的定義中並未要求其包含方程的所有解，只需要包含 $n$ 個獨立的任意常數就可以了。

參考

[1].常微分方程 P18

考慮如下例子： $y=xy$

這個一階方程有通解 $y=Cx-frac{1}{4}C^2$ (一族直線)，但也有不在通解中的特解 $y=x^2$ (拋物線)。

觀察它的幾何意義可以發現，通解恰好都是這條拋物線的切線。

也就是通解只說明了一族直線是解，卻沒有發現這些直線圍成的拋物線也是方程的解。

這種現象是奇解。若有興趣，請參閱:

《常微分方程教程》(丁同仁，李承治著) 的第四章。

我一開始刪了這個答案, 是因為我自己不做這個有的地方寫的不精確. 但是看到其它兩個回答及其連接對通解的解釋有點問題, 所以又修改了一下恢復出來了...

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按一般教材上所說的那種 "定義", n-階方程的通解 (general solution) 指的是某由 n-個獨立參量構成的解的集合, 不包含於此的則稱之為奇解 (singular solution). (這裡為什麼要要求有 n 個參量? 基本想法是我們做了 n 次不定積分, 那當然得有 n 個參量啊...)

所以至少在局部上, "所有解"="通解+奇解". (之所以加了一句 "局部上", 是因為我想這裡會有一些定義域的問題...)

在通常的情況下 (通常的情況=良好的情況), 通解和奇解的聯繫有一個直觀的幾何解釋: 奇解的集合是通解的集合的包絡 (envelope). 如果你要理解什麼是通解什麼是所有解, 這就是一個 "正確的理解".

注意最上面的 "定義" 二字我加了引號. 按我的理解, 微分方程的 "通解", "奇解" 並不是完全定義好的概念, 大概搜了一下, 至少九十年代的嚴肅文章里還有在特殊情況下對其定義的探討, 這是微分方程奇點理論一部分. 見後面文獻.

當然在特別良好的情況下, 比如 n-階復係數線性微分方程, 通解是定義好的, 它們就是所有解, 並且張成一個 n-維復空間.

文獻晚點補充.

結論：通解未必包含所有解，但線性方程所有解就是通解。

@馬同學馬同學的回答很好地科普了常微分方程的幾何意義，但私以為馬同學給的例子並沒有很好很合理地解釋該題，鑒於贊數很高，可能會誤導後來人，我做一點修正和補充。

首先看通解的定義：

我們把含有n個獨立的任意常數 $c_{1},c_{2}···,c_{n}$ 的解
$y=varphi(x,c_{1},c_{2}···,c_{n})$
稱為n階方程 $F=(x,y,frac{dy}{dx},···,frac{d^ny}{dx^n})=0$
的通解.關於解對常數的獨立性是指，對 $varphi$ 及其n-1階偏導數關於n個常數c1,c2,···,cn的雅可比行列式不為0.

------《常微分方程》王高雄周之銘朱思銘王壽松編 Page18

對於馬同學給出的例子， $y$ ，顯然 $y=e^x$ 是其一解，根據定義，那麼， $y=ce^x$ (c為常數)就是它的通解（顯然y對c的導數不為0）。

這一點，在該書Page125 定理6（通解結構定理）也有很好的印證。

定理6（通解結構定理）如果 $x_{1}(t),x_{2}(t),···,x_{n}(t)$ 是方程
$frac{d^nx}{dt^n}+a_{1}(t)frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+···+a_{n-1}(t)frac{dx}{dt}+a_{n}(t)x = 0$ (1)
的n個線性無關的解，則方程(1)的通解可表為
$x = c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)+···c_{n}x_{n}(t)$ ， (#)
其中 $c_{1},c_{2},···,c_{n}$ 是任意常數.且通解(#)包括了方程(1)的所有解.

是故，對於一階線性微分方程，只要通過解方程的辦法求出一個解 $y=f(x)$ ，那麼 $y=cf(x)$ 就是該方程的通解，並能表示出所有解。

-------------------證明過程的分割線----------------

以下為通解結構定理的證明過程（不感興趣可以忽略）：

證明：首先，由疊加原理知道(#)是(1)的解，它包含了n個任意常數.我們指出，這些常數是彼此獨立的.事實上

$left| egin{array}{ccc} frac{partial{x}}{partial{c_{1}}} frac{partial{x}}{partial{c_{2}}} cdotcdotcdot frac{partial{x}}{partial{c_{n}}}\ frac{partial{x$ $= W[x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot,x_{n}(t)] e0$

（因為 $x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot,x_{n}(t)$ 線性無關）

其中， $W[x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot,x_{n}(t)]$ 為 $x_{1}(t),x_{2}(t),cdotcdotcdot,x_{n}(t)$ 的Wronsky行列式

$left| egin {array}{ccc} x_{1}(t) x_{2}(t) cdotcdotcdot x_{n}(t) \x$

因而，(#)為方程(1)的通解；現在，我們證明它包括了方程的所有解.由n解線性微分方程解的存在唯一性定理知道，方程的解唯一地決定於初值條件，因此，只需證明：任給一初值條件

$x(t_{0})=x_{0},x$ (*)

能夠確定(#)中的常數的值，使(#)滿足(1).

現令(#)滿足條件(*)，我們得到如下關於 $c_{1},c_{2}···,c_{n}$ 的線性代數方程組

$c_{1}(t)x_{1}(t_{0})+c_{2}x_{2}(t_{0})+cdotcdotcdot+c_{n}x_{n}(t_{0})=x_{0},\ c_{1}(t)x$

（知乎數學公式編輯器不會寫方程組。。。。見諒）

該方程組的係數行列式就是 $W(t_{0})$ ，由於 $W(t_{0}) e0$ ，根據線性代數方程組的理論，該方程組有唯一解 $ilde{c}_{1}, ilde{c}_{2},cdotcdotcdot, ilde{c}_{n}$ .

因此，只要表達式(#)中取常數為 $ilde{c}_{1}, ilde{c}_{2},cdotcdotcdot, ilde{c}_{n}$ ，則它就滿足初值條件(*)，證畢。

-------------------證明過程的分割線----------------

另外，有兩個高票答主已經給了很好的關於通解非所有解的例子，我再來補充一個。（就不手動艾特以免打擾大佬了）

反例：

$y=frac{x^{2}}{2}+cx+c^{2}$ 是微分方程 $y=(frac{dy}{dx})^{2}-xfrac{dy}{dx}+frac{x^{2}}{2}$ 的通解，但 $y=frac{x^{2}}{4}$ 也是該微分方程的解，顯然不包含在通解之中。

---------------------------分割線-----------------------------

還有一些答主關於「不是還有奇解、不是還有特解」等的答案，也做個說明。

我們把滿足初值條件的解稱為微分方程的特解。初值條件不同，對應的特解也不同。一般來說，特解可以通過初值條件的限制，從通解中確定任意常數而得到。 ------《常微分方程》（剛才那版）

通過初值條件(*)確定通解中的任意常數後，得到的解稱為(1)的特解. ------《常微分方程通解、特解、所有解的區別與聯繫》劉雄偉王曉

可以看出，特解和通解之間並不是非此即彼的關係，相反的，特解是通解的一種特定情況。

對某些微分方程，存在一條特殊的積分曲線，它並不屬於這方程的積分曲線族.但是，在這條特殊的積分曲線，它並不屬於這方程的積分曲線族。但是，在這條特殊的積分曲線上的每一點處，都有積分曲線族中的一條曲線和它在此點相切。在幾何學上，這條特殊的積分曲線稱為上述積分曲線族的包絡。在微分方程里，這條特殊的積分曲線所對應的解稱為方程的奇解。
--------《常微分方程》（還是剛才那版）

顯然奇解才是通解表示不了，但滿足方程的解。

本人是初學者，不當之處，懇請斧正.

ps:很欣賞馬同學把數學做的如此通俗易懂且頗具美感，希望馬同學越做越好，期待更多的作品，為大眾普及數學

通解不是所有解

定義:對於n階微分方程，它的含有n個獨立常數的解稱為該方程的通解。

線性常微分方程的通解就是全解

除了通解還有特解（奇解）。

合起來叫全解，一般數學專業都是求全解。

在求通解的情況下丟解是不算錯的。

《高數18講》說了好幾遍ㄟ(▔ ,▔)ㄏ

有木有考研狗，請點贊ㄟ(▔ ,▔)ㄏ

居然沒有一個說對的！

難道不知道通解等於所有解的前提是這個微分方程必須是線性的？

通解（通積分）是一簇曲線族（積分曲線），但是對於變數可分離方程P(x)Q(y)=y"，M（x）P（y）dx+N（x）Q（y）dy=0，它們存在Q(y)=0，或者P（y）=0，N（x）=0的奇解（常數解），有些常數解不能由通解里的獨立參數取某個值得到，也就不包含在通解裡面。這是非線性方程所存在的現象，線性方程的通解就是所有解。

通解的定義並不是包含所有的解，實際上假如方程是n階的，只要求出來的解裡頭包含了n個獨立的(必須是獨立的！)常數，這就算是通解了。。。而且不還有奇解這一說嘛。。。那些個說還有特解的人可能壓根沒學過微分方程而在這兒瞎說(認真臉)

用泰勒級數會否清晰點？？

不是還有特解嗎？

高等數學第四版上冊有，相信你是大學生了，好好看書吧。

不一定請注意通解的定義是含有與最高階數相同多個任意常數並不一定是所有解