為什麼量子力學中動量算符是對位置的微分？虛數單位i又是如何推導出的？

01-06

如題，大一新生複習量子力學課上講的東西的時候對這個實在不明白了…
動量為什麼對x求導…虛數單位i又是哪來的…

謝邀。

粒子的波函數是 $psi(r)$ ，則 $|psi(r)|^{2}$ 表示在r處找到粒子的概率。假如波函數已經歸一化了，則在全空間找到該粒子的概率為1，所以有（積分範圍為整個R3空間）

根據數學中概率密度函數的定義，可以求出位置的平均值

任何是位置的函數的物理量，均可以按照上述方法求出其平均值。例如勢能V(r)的平均值為

但要求動量的平均值，我們不能寫成如下形式：

原因是動量p不是位置r的函數。根據不確定關係，粒子在某一點的動量的說法是沒有意義的，所以根本就不存在p(r)這樣的東西。為了求動量的平均值，我們需要的不是以位置為坐標的波函數 $psi(r)$ ，而是以動量為坐標的波函數 $varphi(p)$ ，有了 $varphi(p)$ ，我們就可以仿照求位置平均值的方法來求動量的平均值：

所以接下來的任務就是要找到 $psi(r)$ 和 $varphi(p)$ 的關係。

一般情況下，平面單色波表示為 $e^{ikr}$ ，而動量 $p=(h/(2pi))k$ ，所以平面單色波可以寫成：

波函數 $psi$ 可以認為是由很多很多的平面單色波疊加而成，所以 $psi$ 可以寫成

因此， $varphi(p)$ 其實就是每個單色平面波在疊加中的權重。積分前面的係數是為了保證波函數的歸一化。可以發現，上式其實就是數學中的傅里葉變換，其逆變換為：

將 $varphi (p)$ 帶入上面求動量平均值的公式，得到：

而

所以

倒三角是對坐標的微分，因此可以和積分號交換位置，從而先把p積掉。而對p的積分正好又是 $psi(r)$ ，所以得到

對比位置的平均值公式，可以發現

正好對應r和V(r)的角色，所以它就是動量，只不過變在位置表象中變成了一個算符。

看自由粒子的波函數，就自然明白。

動量算符，是對波函數進行微分計算，得到動量數值。

自由粒子的波函數的數學表達式是e^ih(wt+kx) ，那個字元太難打，粗略這樣表達。

動量P=hk。得到動量P，得到hk就可以得到動量P。

現在你要對這個波函數進行微分計算，得到hk，你要怎樣進行微分？當然是對波函數的x進行微分。

就這麼簡單，沒有那麼複雜。

虛數i來自於波函數的數學表達式中的i。波函數是含i的。對波函數進行微分計算，必須要得到實數的動量hk數值，當然必須在這個微分前面再加一個-i。

至於波函數的數學表達式中為什麼會含有i？這個是物理上對平面波的習慣表達方式。這個都不懂？那你真不適合學物理，趁早轉系。

量子力學的基本概念，非常簡單。那些複雜的表述，都是在玩形式變換，實際都是數學計算技巧，無實際物理意義。

為了保證動量的期待值是實數，我們需要動量是厄米的，具體來說，導數算符不合適在於

線性代數理論中，一個厄米算符往往可以這樣與一個夭正算符聯繫

因此，在忽略數學的嚴格性，在平移坐標後，場是如此變換的

因此，結合實驗數據抽象出了動量算符。

考研黨多起來了……勃

精確的描述應該是「在坐標表象下，若將態矢量 $|psi angle$ 的展開係數 $langle x|psi angle$ 視作函數 $psi(x)$ ，則動量算符形式上是對位置的微分」。

這個等式可以通過坐標算符與動量算符間的對易關係 $[hat x, hat p] = i hbar hat I$ 以及Delta函數的性質 $delta (x) = frac {1} {2pi} int e^{i cdot p cdot x} dp$ 推出來。喀興林老師的《高等量子力學》第二章第九節有詳細講解。

因為動量是平移算符的生成元..所以動量算符是對位置的偏導

虛數單位的出現是為了保證無窮小平移算符是幺正的進而保證概率守恆

考慮到動量為空間平移群的生成元，而空間平移群為 $lim_{N ightarrow infty}{(1-frac{vecvarepsilonfrac{partial}{partial vec x}}{N})^N}=exp{(-vecvarepsilon frac{partial}{partial vec x})}$ ，它的生成元可以寫為 $frac{partial}{partial vec varepsilon}Bigg|_{vec varepsilon=0} exp{(-vecvarepsilon frac{partial}{partial vec x})}=- frac{partial}{partial vec x}$ 。然而動量是可觀測量，而這個算符不是自伴算符，為了使保證動量算符的自伴性，因此乘上一個虛數單位 $i$ ；又為了使量綱與經典力學在的動量一致，因此需要乘上 $hbar$ 。此時有 $hat{vec p}=-ihbar frac{partial}{partial vec x}$ ，完了。

這樣可以保證動量是厄米的，厄米可以保證測量值為實數

/------

現在我們直接考慮動量的eigenvalue

有

$=<psi|hat{p}|psi>$

寫成積分

$=intpsi^*hat ppsi mathrm{d}x$

如果沒有 $i$ ，上式子可以寫為

$=intpsi^*frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}psimathrm{d}x$

考慮分部積分

$=psi^*psi-intpsifrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}psi^*dx$

又要求 $$ 為純實數

上式取共軛,第一項為零（波函數歸一，無窮遠處收斂為0），第二項反號。不滿足取共軛不變。

加上一個i之後，第二項也不會反號了。這樣就滿足了共軛不變。

對上面的式子還有一種理解方式，

$psi$ 是薛定諤方程 $Hpsi = Epsi$ 的解, 由於 $E$ 為實數， $H$ 是厄米的，所以 $psi^*$ 也是方程的解。

對於動量的平均值可以寫為

$int(psi^*)^*hat ppsi^*mathrm{d}x=intpsihat ppsi^*mathrm{d}x$

展開寫，正是上面的第二項

先不從場的角度上去想，僅考慮理論力學，如果將母函數設為動量，無限小正則變換的作用即為將體系平移 $Delta x$ , 所以可以理解為動量具有平移體系的效果。平移後的體系 $f(x+Delta x)$ 和平移前的體系 $f(x)$ 的差便是 $Delta x frac{partial f}{partial x}$ 如果這樣說題主是不是可以更加容易理解對位置的偏導是怎麼來的。

前面的虛數i, 我目前也只能從保證算符具有厄密性的角度上去理解。至於為什麼算符一定要是厄密的，淺顯的可以理解為為了保證基完備以及實驗上的可觀測量為實數。

參考sakurai的量子力學，位置平移算符可以寫成1-i(p2π/h)dx ，用它作用到一個態矢量上。態矢量在x表象上展開，可以得到p的算符表達式

比較準確的表述應該是在位置表象下動量算符的一維函數形式是： $p=-ihfrac{vartheta}{vartheta x}$

推導過程：

1.先求解動量本徵矢量|p&>在位置表象的形式&:定義幾個物理量|0p&>表示算符P的本徵值為0的本徵矢量，|0x&>同理。T，P算符分別為動量本徵矢量的上升算符與位置本徵矢量的上升算符的厄密，即其下降算符（其證明可參考各種主流的量子力學課本），則有： $<x|p>=<x|T^{dagger}left( p ight)|0_{p}>=<x|e^{frac{i}{h}pX}|0_{p}>=e^{frac{i}{h}pX}<x|0_{p}>=e^{frac{i}{h}px}<0_{x}|Qleft( x ight)|0_{p}>=e^{frac{i}{h}px}<0_{x}|e^{frac{i}{h}Px}|0_{p}>=e^{frac{i}{h}px}<0_{x}|0_{p}>$

2.接下來求解動量算符在位置表象x中的連續矩陣形式： $P_{x,x^{$ =int_{}^{}int_{}^{}dp^{"}

=frac{1}{2pi h}int_{}^{}int_{}^{}e^{frac{i}{h}p^{"}x^{"}}pdeltaleft( p^{"}-p
ight)e^{frac{-i}{h}px}d p^{"}dp=ihfrac{vartheta}{vartheta x}deltaleft( x^{"}-x
ight)" eeimg="1">

3.最後我們求解動量算符在位置表象中的函數形式：求解的思路是利用P矩陣形式中的狄拉克函數，連續矩陣在進行乘法運算的時候都要進行積分，狄拉克函數正好可以消去這種積分而得到簡單的關係式。

從該表達式出發：

$|varphi>=P|psi>$

矩陣形式為： $varphi_{x}=int_{}^{}dx^{$

得到函數形式：

$varphileft( x ight)=Ppsileft( x ight) ,P=-ihfrac{vartheta}{vartheta x}$

證畢。

建議題主可以看下喀興林或者Sakuri~

先標記一下，回頭看看老頭子的書是怎麼詳細導出來的。。。

格里菲斯書上是從Schrodinger方程和位置平均值出發，將位置平均值對時間求導並乘上質量推出的動量平均值；另一本應該是曾謹言的吧，大致是先從位置空間傅立葉變換到動量空間求平均值之後再變換回去得到的_(:з」∠)_

這個呢，如果你去看高等量子力學，從希爾伯特空間中定義態矢量和動量算符，動量算符作用於連續的動量本徵矢量結果是動量本徵值乘上對應本徵矢量，滿足這樣條件的動量算符，在坐標表象下就是你看到的那個樣子（你所看到的波函數其實就是相應的態矢量在不同坐標本徵矢量上的投影函數），推薦喀興林高量第七節。

我來說個簡單的理解：

可以把f(x) 理解成某一種平面板即 $f(x)=f_0e^{ipcdot x}$ , 其中的p三動量，然後可以看出 $partial_{old{x}} f(x)= (iold{p}) f(x)$ ,因此，naively的說，動量其實對應的是 $old{p} ightarrow -ihbar abla$ .