關於凸函數的定義問題？

01-05

設 $f$ 為定義在區間 $Isubseteqmathbb{R}$ 上的實值函數.
1.對 $foralllambdain(0,1)$ ， $a,bin I$ ，成立
$f(lambda a+(1-lambda)b)leqslant lambda f(a)+(1-lambda)f(b)$ .

2.對 $forall a,bin I$ ，成立
$fleft(frac{a+b}{2} ight)leqslantfrac{f(a)+f(b)}{2}$ .
則定義1,2是否等價？如果不是，則需要加什麼條件？

條件1叫「convex」，條件2叫「midpoint convex」。條件1顯然可以推出條件2。條件2不能推出條件1，但加上連續性就可以；這是Rudin的《實分析與複分析》第三章的習題3：

事實上，條件2只需要加上「Lebesgue可測」這個條件就可以推出條件1，不需要連續性。這個結果由Sierpinski和Blumberg幾乎同時獨立發現：

Sur les fonctions convexes mesurables

Transactions of the American Mathematical Society

注意在Sierpinksi和Blumberg的結果中，「convex」指的是條件2。

由上面這個定理還可以知道，任何滿足條件2但不滿足條件1的反例，一定不是Lebesgue可測的。（通常這種不可測的反例的存在性都與選擇公理有關。）

不等價，需要 $f$ 是連續的情況下，兩者才是等價的。證明的思路是，通過後者證明當是形如 $lambda_k=sum a_n 2^{-n}$ （ $a_n=0,1$ ）的二進位數的時候， $f(lambda_k a+(1-lambda_k)b)leq lambda_k f(a)+(1-lambda_k)f(b)$ .

成立。然後對於任何的 $lambda$ ,總可以用 $lambda_k$ 逼近，利用連續性可推出一般的情況。

值得一提的是，這個條件不僅僅是充分的，也是必要的。因為任何有限維空間上的（取不到無限值的）凸函數在開集上都是連續的。Proof of amp;amp;amp;amp;amp;quot;every convex function is continuousamp;amp;amp;amp;amp;quot;

值得一提的是，存在一個函數滿足 $f(frac{a+b}{2})=frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ 但是依然不是凸函數的情況發生，實際上滿足Cauchyamp;amp;amp;amp;#x27;s functional equation

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

的函數都滿足上面這個等式 (不妨去證明一下為什麼).。只要函數是連續的，就可以推出滿足這個方程的必然是一個線性函數（也就是凸的）。但是，滿足這個方程的非連續（自然也是非線性）的函數有無限個，他們自然也不是凸的（這裡再一次用到了凸函數必連續）不過，這個結論需要選擇公理。

滿足定義1的函數必是局部Lip的；

另一方面，如dhchen所說，存在不連續的函數滿足定義2。

定義2+連續=定義1