如何理解對表示同一偏好的效用函數做單調變換後，對邊際效用增減性帶來的變化？

01-05

u=x^3 y^3和 u=x^0.5 y^0.5代表同一偏好，但是前者邊際效用遞增，後者邊際效用遞減。范里安在現代觀點中強調邊際效用的數量無關緊要，重要的是邊際替代率。

這個問題還是就著數學推導來看比較清楚。

假設V是U的單調變換：

邊際效用MU和MV之間的關係是：

同理：

所以，邊際效用的大小變了（在(x,y)處縮放了f"(U(x,y))倍），邊際效用的增減性可變可不變（與二階偏導相關，對上式求導可知），而邊際效用的替代率不變：

如何理解邊際效用替代率不變呢？

假設你愛財，而V體系和U體系是兩種財的計量單位（如：美元和人民幣），那麼f"(U)可以簡單理解成兩者之間的匯率。

你去賣王八精（x）和大力丸（y）。美元標價10刀的王八精，人民幣可以賣到70，因而賣出一瓶王八精，在兩種計量體系下給你帶來的邊際效用不同（MU與MV不同）。

但不論是美元還是人民幣交易，三瓶王八精都換一瓶大力丸（替代率相同）。

注意這個舉例有個不盡然的地方。

如以幣種作為計量單位，匯率f"(U)是個常數，與(x,y)取值無關。所以，在上面的例子中，效用函數U,V事實上被賦予了cardinal層面的意義。但嚴格來講，所謂效用其實僅僅是序數（ordinal）概念（如果f(U)嚴格遞增，那麼U、V代表了相同的偏好），並不需數值（cardinal）層面的意義。既然僅僅是序數概念，那麼f"(U)的增減性就無界定：可增、可減、可胡來，邊際效用增減性可變、可不變、可不可不變。

怎樣修正這個例子來凸顯其序數性呢？

你可以假設U,V中的某個幣種匯率是被操控的，使得f"(U)與(x,y)關係曖昧……

(小的本來寫了一個很波詭雲譎的貨幣戰爭的故事來說明邊際效用增減性的問題。然而，如今的網路環境……莫談國事為妙。一塊兒悶聲幹了這碗王八湯吧。）

另外有一點說明。

如果你對ordinal和cardinal的區別不甚明了，不需慌張。一旦有多於一方參與經濟活動，或有價格參與市場平衡，那麼utility function就必須被賦予cardinal的含義了。

偏好是凸的＜＝＞效用函數擬凹;

偏好是嚴格凸的＜＝＞效用函數嚴格擬凹＜＝＞邊際替代率遞減;

效用函數為凹函數＝＞效用函數為擬凹函數，反之不成立;

邊際效用遞減＜＝＞效用函數為嚴格凹函數

從上面可以看到，邊際效用遞減算是很嚴格的假設，如果我們想要得到一個凸偏好或者是嚴格凸偏好，等價於構造一個(嚴格)擬凹的效用函數，但是擬凹函數的凹凸性是不確定的，可以是嚴格凹的，或者嚴格凸的，甚至是線性的，對應的邊際效用就是遞減，遞增，不變的。

但是如果邊際替代率是遞減的，等價的就是一個嚴格凸偏好。

在序數效用論中，效用函數其實沒有什麼數值上的意義，單個商品的邊際效用的增減性自然也沒什麼行為上的意義，對效用函數單調變換後代表的仍然是那個偏好，邊際效用遞減，遞增，不變，都表示著同一個偏好。但邊際效用的比率，也就是邊際替代率就有意義了，因為單調變換不會改變邊際替代率。

即使如此，邊際效用遞減仍然是個蠻好的假設，在這個假設下我們能直接直觀地解釋很多事，但毛病也多。為了理論地更一般化，也許邊際替代率遞減會是個更好的假設（^_^）

既然認為效用函數可以單調變換，說明效用函數的絕對數值是可以變化的，即是一種序數效用的觀點。對於序數效用論來說，效用函數只有排序價值，即一階導數的價值，沒有數值差距的價值，即二階導數的價值。效用函數的單調變換隻要求效用函數一階偏導（邊際效用）正負不變，不要求二階偏導（邊際效用的單調性）不變，因而所謂單調變換後邊際效用增減性變化是完全正常的。

那麼，這會造成任何問題嗎？答案是不會。因為邊際效用遞減規律是基數效用論者提出的一種假設，是歸納得到的一條心理定律，他們從邊際效用遞減推得消費者為多消費一個單位商品願意支付的貨幣量遞減，從而推導出向下傾斜的需求曲線。然而，序數效用論者認為這種假設既過於隨意，也無法測量。他們的向下傾斜的需求函數是從邊際替代率遞減的無差異曲線中推導出來的。當然，范里安的書裡面也提到了其他形狀的無差異曲線推導出的需求曲線，但是總的來說真正重要的是邊際替代率。單調變換實際上保證了變換前後的邊際替代率不變。邊際效用遞減還是遞增對於推導序數效用的需求曲線沒有影響。

再者，對於序數效用論來說，效用函數是「構造」出來的，而不是客觀自有的。只要滿足顯示偏好的強公理，那麼就可以構造出以效用最大化為目標的消費者的效用函數。因而，不能說「經濟學家從效用函數中推導出邊際效用遞減（遞增）」，而且「經濟學家構造出一種效用函數（這種函數可以有無數種），以符合他假設或者觀察到的事實」。例如，如果經濟學家假設或者觀察到邊際效用遞減，那麼他會選擇題目中的第二個函數。這種選擇是任意的，完全依賴於經濟學家的需要或者觀察。

最後，注意這個問題與生產函數的對比。生產函數是可以通過觀察到的數據推導或者擬合的，它的絕對量是有意義的，而效用函數的「效用值」是可以任意指派的。因此生產函數不能單調變換，從而也不會出現從邊際產品遞減變換到邊際產品遞增的情況。

utility function的存在（identified up to 「單調變化」）需要preference滿足一些axiom，這幾個axiom「沒有一個」（劃重點）和邊際效用遞減遞增有關。所以單調變化出來的utility function的邊際效用可能遞減or遞增。