軸對稱圖形只能看出來么，不能證明么？

01-05

我們看一個圖形是否為軸對稱不就是看它翻過去大致是什麼樣子但怎麼說翻過去就重合了啊？

謝邀。

當然可以證明。但是證明之前，首先要「用數學語言描述」什麼是軸對稱圖形。

你不能說，給我證明一下我看到的那個圖形是軸對稱的。什麼，你說哪個圖形，就是我看到的、我用手指給你看的那個啊！對不起，這種直觀的、依賴於外在對象和個人感受的描述不叫「數學語言」，自然不可能存在什麼「數學證明」。「數學語言」應該是一套通用的語言，不管對方是什麼文化背景，是否在時間空間上和你處於同一位置，只要他有正常的邏輯思維能力，他就能理解這套語言。

一種嚴格敘述的方法是把圖形當成平面上的點集，軸對稱就是存在一條直線，使得這個點集關於這條直線做反射，得到的仍然是它自身。反射變換是可以用數學式子寫出來的，點集是你需要給的一個輸入，需要你告訴我這個圖形上的每一個點都在什麼位置。好了，有了這個輸入，我就可以開始找是否存在一條直線使得你給我的圖形在反射下不變了。這就成了一個well formulated的數學問題，就可能存在或者不存在一個解答了。

凡是問「證明什麼」的問題，你要尋求一個數學解答，首先要把它表述成一個數學問題，這樣它才有可能存在一個數學解答。學數學最煩的是歧義，文字遊戲，討厭的是那些明明自己說都不會話、還要求別人給自己一個清晰的答案的人。

應該可以把軸對稱定義為一個點集S的雙射反射變換函數。若對於S存在這種函數的話，S就是一個軸對稱圖形。

兩邊能對上 → 沿著軸翻過去圖形不變

於是，把「沿著軸翻過去」定義為一個線性變換，就能定義對稱啦，多簡單

Sorry，軸對稱圖形本來就是定義出來的，不是看出來的。

最簡單的sin(x)，你告訴我你怎麼看出軸對稱來？

這個圖形有無窮大，你永遠不可能在有限的時間內看完。

還有什麼1/x啊、x^2啊這些都是無窮大的圖形。就連ax+b這個都是無窮大的圖形，你用眼睛怎麼去看出來軸對稱？你連看全這個圖形都做不到。

$exists (A,B,C) in mathbb{R}^3 ,forall (x,y)in E ,exists (p,q)in E$

$Afrac{x+p}2+Bfrac{y+q}2+C=0$

$A(y-q)=B(x-p)$

這裡的ABC至少有一個不為0.

從歐氏幾何中來說，是引入公理：能重合的圖形是全等的

但是能重合這件事本身可以證明，通過許多唯一性的定理進行，比如說直線外有且只有一條直線與已知直線平行，比如說兩條直線只有一個交點，比如說過兩點有隻有一條直線，比如說直角都相等等等。

還是回歸課本吧！

我們最早接觸軸對稱圖形是在小學二年級，人教版二年級下冊【圖形的運動（一）】這一章。小學數學並沒有對其進行定義和證明，再次接觸的時候已經是初中二年級。

人教版八年級上冊【第十三章　軸對稱】，由軸對稱圖形引出了垂直平分線、等腰三角形等一些概念，同時在物理書的第四章學習光現象時會學習光的反射，這裡也用到了軸對稱的知識。

我們來看看書上對軸對稱圖形的定義：

如果一個圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就就它的對稱軸。

還有對軸對稱的定義：

把一個圖形沿著某條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，摺疊後重合的點是對應點，叫做對稱點。

書上還告訴了我們軸對稱的性質：

如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

看起來書上只告訴了我們定義和性質，並沒有說證明，但其實這是一道送分題呀！我們根據什麼去證明，當然是根據定義或者性質啦！

初中平面幾何的基本概念包括：定義、性質、判定（證明）三部分，這三部分是學生背起來最頭疼的。但！是！證明就是定義+性質的運用，只不過是把性質的條件和結論顛倒過來了而已。

比如，初中平面幾何里最魔性的平行四邊形「口訣」：

定義：
在同一平面內有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
性質：
（1）平行四邊形對邊平行且相等；

（2）平行四邊形兩條對角線互相平分；
（3）平行四邊形的對角相等，兩鄰角互補。
判定：
（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

每次看到學生不明所以念經似的背這一段內容我就很心痛！這判定除了最後一條，其餘的就是定義和把性質反過來呀！

所以題主說的翻折，這本身就是根據定義的初中數學階段的證明方法（根據定義去證明是數學路上永遠的幫手）。不過依賴於操作，與我們平時解題時的∵∴不太一樣。那如果我們要根據性質來證明，可以把上面性質部分的內容反過來，變成：對於一個圖形，如果有一條直線，使該圖形上任何一點都能在圖形上找到另一個點，使兩點連成的線段被該直線垂直平分，則該圖形是軸對稱圖形，該直線是圖形的對稱軸。

是！不！是！很！簡！單！（其實並沒有！）

這個證明本來也是定性分析，因為圖形上有無數個點，我們不能一個一個去計算或者作圖。類似於高中對偶函數的證明（ $fleft( x ight) =fleft( -x ight)$ ），在初中階段學生並不具備理解抽象概念的能力，所以我們對於軸對稱的證明避而不談，很模糊的處理掉了。

題主能提出這樣的問題，說明真的是有在思考這個問題，雖然對應試沒什麼幫助，但是從數學學習上能開闊視野！（一不小心以前的職業病又范了，我最討厭啰嗦的老師然而自己當老師的時候還是忍不住啰嗦兩句）

最後總結下回答：想搞清楚軸對稱圖形的嚴格證明，請看其他回答！（PIA飛~）本回答旨在說明的問題是，數學的學習一定要靈活。如果題主剛好是初中生，那麼初中平面幾何的判定是性質的逆運用，知道這一點一定會對你有幫助。ELSE，根據定義去證明，不論代數還是幾何都是解決數學問題最基本的方法。

考慮到題主可能的認知起點，我從初中的角度來說好了......

首先定義點關於直線對稱：若某兩點的連線段被一條直線垂直平分，則稱這兩點關於這條直線對稱，彼此互為關於直線的對稱點；在直線上的點關於直線的對稱點即為它本身。

好，現在給定一條直線和任意一點，都能作出關於直線的對稱點了。

軸對稱圖形可以定義為：存在一條直線，使得圖形上任意一點關於直線對稱點也在圖形上。

這個是不是找到一個坐標，滿足f (x)=f(-x)就可以了吧。

要證明這個你要先回答幾個問題：

1，什麼叫圖形？

2，什麼叫軸對稱？

這個問題問的也有問題。像正方形這種，小學生都會證明了。

只要舉這個反例就可以簡單回答你這個問題。就是一個字：不。

建議你問：是不是有些複雜的軸對稱圖形不能證明？（相信複雜到一定程度光看都不能確定是否軸對稱。有些說不定只能公式表達，畫都不一定好畫）。這樣還顯的有一定價值。

不過答案也很簡單，能畫出來的肯定能證明啊，只是要花時間而已。

只是從常識角度來回答啊，數學除了買菜用的，其他都忘了。

先有定義才有軸對稱這個概念呀

一個東西是不是軸對稱套定義算一下不就知道了嘛

弱弱的說一句，這不是初中數學問題嗎？為什麼能上知乎。還是我想的太簡單了.....

不清楚你問的是兩維還是三維，假定兩維吧，三維應該也類似。既然是圖形，理論上一定能找到對應的表達式，假設為y=f(x)，則，軸對稱圖形一定滿足存在一條直線x=x" 或y=y"，使得f(x-x")=f(x+x")，或f"(y-y")=f"(y+y")，這就是把你的問題轉化成數學表達了。

f(x)=x^2 就是軸對稱圖形。而且也能證明

證明就是 f(x)=f(-x),為什麼這就證明了？因為用數學語言，這就是軸對稱的定義呀。。。

所以，數學想要說證明之前，起碼得知道你要證明的東西，在數學上是如何描述的呀

偶函數和奇函數啊

能；舉個栗子：圓： $x^{2} +y^{2} =r^{2}$ 點A( $x_{0}$ , $y_{0}$ )圓上任意一點，證圓關於直線L:y=kx 對稱

證明：k=0或者 $infty$ 略

設點B（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ）是點A關於L的對稱點，則有（ $y_{0} +y_{1}$ ）/2=k（ $x_{0} +x_{1}$ ）/2 ；（ $y_{1} -y_{0}$ ）/（ $x_{1} -x_{0}$ ）=-1/k 相乘得 $x_{1} ^{2} +y_{1} ^{2} =x_{0}^{2} +y_{0}^{2} =r^{2}$ 點B在圓上得證

y=x2 關於Y軸對稱。

第一，複雜圖形靠肉眼是看不出來軸對稱的

第二，數學證明方法很簡單，一般用坐標系，圖形上取任意點，如果它相對於對稱軸的對稱點也在圖形上，即可得證

描述對稱的數學語言是群啊。對一個圖形，只要能構造出相應的置換群就行了哦，構造性證明。