以最小作用量原理為基礎的拉格朗日力學，L=k-u,那麼如何處理非保守力如摩擦力呢？

01-05

首先，我們考慮受到廣義力作用下的體系的拉格朗日方程，在這裡廣義力包括保守力與非保守力。

$frac{d}{dt} left( frac{partial T}{partial dot{q_alpha}} ight) - frac{partial T}{partial q_alpha} = Q_alpha$

其中， $Tleft( q, dot{q}, t ight)$ 為體系的動能， $Q_alpha$ 為廣義力在廣義坐標 $alpha$

上的分量。

進一步地，若廣義力 $Q_alpha$ 為保守力，亦即 $Q_alpha = - frac{partial Vleft( q ight) }{partial q_alpha}$ （參見一般的勢能），或者廣義保守力，亦即 $Q_alpha = frac{d}{dt} left( frac{partial Vleft( q, dot{q}, t ight) }{partial dot{q_alpha}} ight) - frac{partial Vleft( q, dot{q}, t ight)}{partial q_alpha}$ （參見帶電粒子的電磁勢），則我們可以引入新的拉氏量 $L = T ightarrow L = T - V$ ，保持運動方程形式不變，其中 $Vleft( q, dot{q}, t ight)$

為系統的廣義勢。

複習到此結束。

所以一個簡單且標準的回答是，處理具有非保守力的系統時，可以將拉氏量寫為 $L = T - V$ ，將廣義保守力的勢包含其中，在原有拉格朗日方程的基礎上，等號右邊添加相應廣義坐標下的非保守力 $Q_alpha$ 。即：

$frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q_alpha}} ight) - frac{partial L}{partial q_alpha} = Q_alpha$

實際上我們可以使用另一種方式來引入非保守力的效果。只要我們將拉氏量 $Lleft( q, dot{q}, t ight)$ 做適當修改，使得由拉格朗日方程 $frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q_alpha}} ight) - frac{partial L}{partial q_alpha} = 0$

計算的運動方程保持形式不變即可。

在這裡我展示一個簡單的一維繫統的例子。對於線性阻尼的摩擦力， $vec{f}=-gamma dot{vec{q}}$ ，體系的運動方程一般為

$mddot{q}+gamma dot{q}+frac{dVleft( q ight) }{dq} = 0$

此時，考慮如下形式的拉氏量

$Lleft( q, dot{q}, t ight)= left( frac{1}{2} m dot{q}^{2} - Vleft( q ight) ight) e^{frac{ gamma}{m} t}$

代入拉格朗日方程，即得到等價的運動方程

$left(mddot{q}+gamma dot{q}+frac{dVleft( q ight) }{dq} ight) e^{frac{gamma}{m}t}= 0$

在歐拉方程右邊加上非保守力項，而不是0。

最小作用原理的適用對象應該是一個封閉的系統，也就是不與外部（產生重力勢能的等有勢力或者說保守力的對象不屬於外部）發生能量交換的系統，在這個系統內各種形式的能量直接相互轉換，所以列出的動力學方程一定是不包括非保守力的。

在考慮非封閉的系統時，通常將是在封閉系統的基礎上考慮外部的作用，也就是非保守力，也叫外力。在拉格朗日力學中就是等號右邊的外力項。另外一種方式就是將產生外力的因素與原有系統一起考察，組成一個新的封閉系統，也就是將非保守力作為一種特殊的有勢力（勢函數與時間項有關），但是這種方法適用範圍很小並不總是適用。

廣義力