為什麼球對稱勢下波函數還和角度有關？

01-05

球坐標下，如果勢是球對稱的，只與距離有關，波函數仍然會有角度相關的部分，即球諧函數以及z方向對稱的那個複數因子。
那麼波函數如何保持球對稱性質呢？
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有種豁然開朗的感覺，感謝各位知友~

勢能為球對稱，是說Hamiltonian有球對稱性，這不能保證每個本徵態都是球對稱的。在波函數中這個對稱性的體現是能級的「簡併度」。也就是說，雖然沿著z軸極化的波函數本身當然不是球對稱的，而沿著x、y、z軸分別極化的三個波函數（ $l=1$ ），它們都是能量完全相同（即簡併）的本徵態這一事實，體現出體系，也就是Hamiltonian是有球對稱性的。你如果再想想，就不難發現沿著三維空間任意方向極化的波函數的能量都是一樣的，這其實很對稱，對吧？

「對稱性導致簡併」這件事其實很基本也很重要，我每次研究生面試基本都會問的問題（但是以後不會再問了）是這樣的：「如果把氫原子能級問題中的庫侖勢改為 $V(r)=-e^2/r^{1.2}$ ，那麼 $l=2$ 的五個能級還會簡併嗎，為什麼？」

迄今還沒有在面試過程中給出滿意答案的同學。

10.18更新：

評論中的答案都是對的，更驚喜的是，還有人提到了l=0和l=1之間的簡併是怎麼回事。在這裡我推薦一篇文章，沒有什麼能比這篇關於這個問題講得更清楚易懂的了：

氫原子背後隱藏的代數 | 當阿熱遇見賽先生

我遇到的很多同學對此問題的理解就是：氫原子的這些能級，為什麼簡併？薛定諤方程算出來的簡併啊。包括當年的我自己，也是這麼理解的。然而這樣的想法請一定要扔掉，天底下沒有偶然的簡併，起碼對於理論物理學家而言。

因為粒子有角動量啊，有了角動量就意味著有一個特殊的方向，所以普遍情形下單個波函數肯定不是球對稱的。

舉個例子，太陽的引力勢也是球對稱的，但是行星的運動總是在同一個平面內。

經典情形下由於有確定的位置，球對稱始終會被破壞，不過量子情形就沒問題了，你看角量子數l=0的波函數不就是球對稱的嘛。

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剛發現忽略了題主最後的問題，補充一下：

單個的波函數一般不具有球對稱性，但是角量子數相同的2l+1個波函數的集合保持了球對稱性。更深入地說，如果題主了解過群論的話。。。

三維旋轉群的有三個無窮小變換算符（或者說群的生成元），這三個算符可以生成所有球對稱操作。（其實在量子力學中就是對應的三個角動量算符）

然後，這個群的所有操作都可以用2l+1維的線性空間中的矩陣表示，這些矩陣的集合也是一個群，叫做這個三維旋轉群的表示。而這2l+1個球諧函數其實就是這個線性空間中的基矢。你在線性空間中隨便做多少球對稱操作，還是這2l+1個基矢不變，這就叫球對稱性。

最後你還會發現這三個無窮小變換算符的平方加起來作用到任何一個基矢上都是得到一個常數乘上這個基矢，這個常數就是角動量的的平方。把其中一個算符作用到某個基矢上還能得到在這個算符對應的坐標軸上的角動量投影。

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其實說了那麼多，中心思想就是一個：角動量提供的一個特殊的方向因此破壞了球對稱性，但是如果你把所有可能的角動量方向考慮在一起，就把球對稱性補回來了。

球對稱是SO(3)群，球諧函數正好是SO(3)群的表示。體系的對稱性並不要求所有的解都naive的保持這個對稱性，而是要讓這些解構成一個對稱群的表示，只要在群變換下具有合適的變換關係，就認為符合對稱性。

再說具體一點。對於一個角動量不為零的體系，它必然有一個角動量的方向。在轉動群的作用下，角動量的方向也會隨著轉動。如果你要求每個波函數都在轉動下不變，那角動量的方向也會固定不變，這是不符合我們需求的。

在這裡我們需要的是，在轉動的時候，波函數產生相應的變化，最終結果正好相當於給角動量做一個相同的旋轉。

比如對於角動量為1的解，如果你把z軸轉到-z方向，你很自然的會期待1,1態變成1,-1態，而不是naive的認為所有態都不許變。

簡單來說，不是單個球諧函數保持了球對稱性，而是角量子數l相同的2l+1個球諧函數張成的線性空間具有球對稱性，這2l+1個球諧函數構成了球對稱操作2l+1維不可約表示的基矢。

球對稱性體現在能級簡併上。

設R代表一個旋轉變換，則R與H對易，這說明，R作用在任何一個本徵態上都可以得到相同能量的本徵態。也就是說，R作用于波函數上會得到一個不同磁量子數但角量子數一樣的本徵態。因此你看，不同磁量子數的軌道對應相同的能量。

為什麼s態的波函數球對稱？因為它不簡併，所以R作用於它還是它本身，因此它是球對稱的。

為什麼把某個角動量l的所有軌道波函數加起來是球對稱？因為R作用於它們的和只是調換它們求和的次序，因而還是原來的態。

先說一件事：我曾經看過有人問為什麼在解氫原子的時候非得選擇Z軸方向的角動量分量作為本徵值，x軸和y軸不行嗎？

答案是當然可以，只是這個時候角動量的本徵函數不再是 $Y_{lm}( heta，varphi）$ ，而是變成了 $Z_{lm}( heta,varphi)$ 和 $X_{lm}( heta,varphi)$ 。

錢伯初的那本習題集中就收入了這個問題：

事實上你可以看出來這些表述是等價的，我們完全可以通過線性變換的方式把一個基矢下的坐標變成另一個基矢下的坐標。

正常情況下的波函數（未經過測量的氫原子）應該是這些基矢量的線性疊加，所以你無法說對稱性是否破缺。畢竟我們不知道波函數是個什麼樣子。

但是當你開始測量的一瞬間，由於你選定了一個特殊的軸，並開始測量這個軸對應的角動量分量，這個時候波函數會瞬間坍縮到測量量的本徵態，測出來的值也就是本徵值，這個時候球對稱性才算真正丟失了。

所以我覺得是測量這個過程破壞了對稱性。

因為坐標架本身帶角度參數。。。這裡的對稱性的破缺是人為製造的

假設題主沒學過群論，那麼這樣回答就好了：儘管波函數是依賴角度的，但是電荷密度（佔據態波函數的模平方和）是不依賴角度的，請記住電荷密度才是可觀測量。而至於定義角度的坐標系，隨便取都可以，這並不影響可觀測量（電荷密度）。

題主可以繼續問這樣的問題：如果要求電荷密度在轉動下不變（擁有球對稱性），那波函數在轉動下應該怎麼樣呢，能怎麼樣呢？然後就可以入手學習群表示了。

你說的不對稱是由於人為取了一個z軸導致的，但是這個z軸是任意取的，並不是一個特殊的空間取向，和球對稱勢不矛盾。

單個球諧函數並沒有球對稱性，但是將全部通主量子數（l）不同磁量子數（m）的球諧函數疊加就有球對稱性了。學渣強答，已經快忘了勒讓德多項式的具體形式了。

佔個坑，再去複習下來答。