在可數樣本空間上,依概率收斂如何推出幾乎處處收斂?
01-05
首先,可數樣本空間為。利用反證法,如果定義在這個樣本空間的一列隨機變數並不幾乎處處收斂,那麼
滿足
是可數的,所以存在滿足。
並且,任取一個定義在相同樣本空間上的隨機變數,任取,我們總有滿足
所以,也就是說也不依概率收斂。問題:給定測度(概率/樣本)空間,其中為可數集。設為該空間上的可測(隨機)函數列,並且依測度(概率)收斂到。試證:此列幾乎處處收斂到。
1. 授人以魚部分(旨在揭示關鍵步驟):
:若不收斂至,則;否則與依測度收斂矛盾。記為所有不收斂狀態的集合。是可數集,根據測度的可列可加性:,即幾乎處處收斂。(可數的條件用在這兒了!起關鍵作用的是可列可加性!)2. 授人以漁部分(旨在培養有效的思維):
記事件。(注意體會集合語言的效率,它能準確切入問題。翻看測度論教科書,這個集合在證明過程中出現頻率很高。以下部分需要讀者熟知並集與存在量詞對應;交集與全稱量詞對應,如:等價於;等價於。)
依概率收斂定義:,。不收斂至使得。因此,幾乎處處收斂等價於:顯然,是關於的遞增集合列,因此:。綜上,我們只須證:固定,。(這一步釐清了兩種收斂定義的區別。)到這一步我們只是完成了用集合語言對問題進行重新描述,作用是更加明確了目標,但看不出繼續下去的思路。原因是為可數集這個條件還沒討論到。所以接下去必須要圍繞這一點展開分析。
方法一:由於是可數集,根據測度的可列可加性,只須證:
有。自然用反證法:如果,即使得,與矛盾。方法二:。可以取一個序列使得。
由於可列,不妨設:且滿足使得。因此,。根據測度的可列可加性:
。由的任意性可得:。3. 總結(旨在加深對兩者區別和聯繫的認識):
依測度收斂的實質是的測度趨近於0。但是這個集合本身可能是跳躍的。而幾乎處處收斂的實質是的測度為0,或者的測度隨著趨近於0。記錄的是根據第個函數,振幅超過的那些狀態的集合。而記錄的是那些在未來的某個函數中,總是會出現振幅總會超過的那些狀態的集合。這個集合更大,因此幾乎處處收斂的要求更高。其實每一個在中的狀態,都會出現在某個中。依測度收斂保證了這單個狀態的測度可以任意小。如果已知是可數集,由可列可加性,自然隱含幾乎處處收斂。如果不可數,我們得不到更多關於作為一個整體的性質。一個經典的反例是考慮為上的均勻分布,函數列為用的長度從左往右去掃描,掃到的地方是1,沒掃到為0。因此掃完一遍,就得到了用個序列。然後增加的值繼續掃一個周期。這樣的函數列是依概率收斂到0,但處處都不收斂的!原因是單獨看,它的長度是收縮到0的(每個周期過後衰減一半)。但如果考慮未來,任何一個點總有被再次掃到的時候,也就是。希望這個反例能夠加深讀者對兩種收斂區別的認識。因為可數,利用對角線法則可以找到一個子列,點點與依概率收斂的極限的距離有非0下界。這與依概率收斂(任何子列有子列點點收斂)
推薦閱讀: