在可數樣本空間上，依概率收斂如何推出幾乎處處收斂？

01-05

首先，可數樣本空間為 $(mathbb{N}, mathcal{P}(mathbb{N}), p)$ 。利用反證法，如果定義在這個樣本空間的一列隨機變數 ${X_n}_{n in mathbb{N}}$ 並不幾乎處處收斂，那麼

$A:={k in mathbb{N} mid limsup_{n o infty}X_n(k) > liminf_{n o infty}X_n(k)}$

滿足 $p(A)>0$

$A$ 是可數的，所以存在 $j in A$ 滿足 $p({j})>0$ 。

並且，任取一個定義在相同樣本空間上的隨機變數 $X$ ，任取 $m$ ，我們總有 $k(m)>m$ 滿足 $|X_{k(m)}(j) - X(j)|>frac{limsup_{n o infty}X_n - liminf_{n o infty}X_n}{3}>0$

所以 $limsup_{n o infty} p({ k in mathbb{N} mid |X_n(k) - X(k)|>0}) geq p({j})>0$ ,也就是說 ${X_n}_{n in mathbb{N}}$ 也不依概率收斂。

問題：給定測度（概率/樣本）空間 $(Omega,2^{Omega} ,P)$ ，其中 $Omega$ 為可數集。設 ${X_{k}}_{kgeq 0}$ 為該空間上的可測（隨機）函數列，並且依測度（概率）收斂到 $X$ 。試證：此列幾乎處處收斂到 $X$ 。

1. 授人以魚部分（旨在揭示關鍵步驟）：

$forall omega in Omega$ ：若 $X_{k}(omega)$ 不收斂至 $X(omega)$ ，則 $P({omega})=0$ ；否則與依測度收斂矛盾。

記 $Esubseteq Omega$ 為所有不收斂狀態的集合。 $E$ 是可數集，根據測度的可列可加性： $P(E)=0$ ，即幾乎處處收斂。（可數的條件用在這兒了！起關鍵作用的是可列可加性！）

2. 授人以漁部分（旨在培養有效的思維）：

記事件 $E^{m}_{k}equiv {omega in Omega:|X_{k}(omega)-X(omega)|>1/m}$ 。（注意體會集合語言的效率，它能準確切入問題。翻看測度論教科書，這個集合在證明過程中出現頻率很高。以下部分需要讀者熟知並集與存在量詞對應；交集與全稱量詞對應，如： $cup _{kgeq N}$ 等價於 $exists kgeq N$ ； $cap _{kgeq N}$ 等價於 $forall kgeq N$ 。）

依概率收斂定義： $forall m >0$ ， $lim_{k ightarrow infty }P(E^{m}_{k})=0$ 。

$X_{k}(omega)$ 不收斂至 $X(omega)$ $Leftrightarrow$ $exists m,forall N,exists k>N$ 使得 $omega in E^{m}_{k}$ $Leftrightarrow$ $omega in cup _{mgeq 0}cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 。因此，幾乎處處收斂等價於： $P(cup _{mgeq 0}cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=0$

顯然， ${E^{m}_{k}}_{m}$ 是關於 $m$ 的遞增集合列，因此： $P(cup _{mgeq 0}cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=0$ $Leftrightarrow$ $forall m>0, P(cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=0$ 。

綜上，我們只須證：固定 $m$ ， $lim_{k ightarrow infty }P(E^{m}_{k})=0$ $Rightarrow$ $P(cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=0$ 。（這一步釐清了兩種收斂定義的區別。）

到這一步我們只是完成了用集合語言對問題進行重新描述，作用是更加明確了目標，但看不出繼續下去的思路。原因是 $Omega$ 為可數集這個條件還沒討論到。所以接下去必須要圍繞這一點展開分析。

方法一：由於 $cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}subseteq Omega$ 是可數集，根據測度的可列可加性，只須證：

$forall omega in cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 有 $P({omega})=0$ 。自然用反證法：如果 $exists omega^{*} in cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}, P({omega^{*}})=epsilon>0$ ，即 $forall N, exists kgeq N, E^{m}_{k} i omega^{*}$ 使得 $P(E^{m}_{k})geq P({omega^{*}})=epsilon$ ，與 $lim_{k ightarrow infty }P(E^{m}_{k})=0$ 矛盾。

方法二： $lim_{k ightarrow infty }P(E^{m}_{k})=0$ $Leftrightarrow$ $forall epsilon, exists N, forall kgeq N, P(E_{k}^{m})leq epsilon$ 。可以取一個序列 ${N_l}_{lgeq 1}$ 使得 $exists N_l, forall kgeq N_l, P(E_{k}^{m})leq epsilon/2^l$ 。

由於 $cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}subseteq Omega$ 可列，不妨設： $cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}={omega_1, omega_2, ...}$ 且滿足 $forall l>0, exists k>N_l$ 使得 $omega_l in E^{m}_{k}$ 。因此， $P({omega_l})leq P(E_{k}^{m})leq epsilon/2^l$ 。根據測度的可列可加性：

$P(cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=sum_{1}^{infty }{P({omega_l})}leq sum_{1}^{infty }{epsilon/2^l}leq epsilon$ 。由 $epsilon$ 的任意性可得： $P(cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k})=0$ 。

3. 總結（旨在加深對兩者區別和聯繫的認識）：

依測度收斂的實質是 $E_{k}^{m}$ 的測度趨近於0。但是 $E_{k}^{m}$ 這個集合本身可能是跳躍的。而幾乎處處收斂的實質是 $cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 的測度為0，或者 $cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 的測度隨著 $N$ 趨近於0。 $E_{k}^{m}$ 記錄的是根據第 $k$ 個函數，振幅超過 $1/m$ 的那些狀態的集合。而 $cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 記錄的是那些在未來的某個函數中，總是會出現振幅總會超過 $1/m$ 的那些狀態的集合。這個集合更大，因此幾乎處處收斂的要求更高。其實每一個在 $cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 中的狀態，都會出現在某個 $E_{k}^{m}$ 中。依測度收斂保證了這單個狀態的測度可以任意小。如果已知 $cap _{Ngeq 0}cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 是可數集，由可列可加性，自然隱含幾乎處處收斂。如果不可數，我們得不到更多關於 $cup _{kgeq N}E^{m}_{k}$ 作為一個整體的性質。

一個經典的反例是考慮 $P$ 為 $Omega=[0,1]$ 上的均勻分布，函數列為用 $2^{-n}$ 的長度從左往右去掃描，掃到的地方是1，沒掃到為0。因此掃完一遍，就得到了用 $2^{n}$ 個序列。然後增加 $n$ 的值繼續掃一個周期。這樣的函數列是依概率收斂到0，但處處都不收斂的！原因是單獨看 $E_{k}^{m}$ ，它的長度是收縮到0的（每個周期過後衰減一半）。但如果考慮未來，任何一個點總有被再次掃到的時候，也就是 $cup _{kgeq N}E^{m}_{k}=[0,1]$ 。希望這個反例能夠加深讀者對兩種收斂區別的認識。

因為可數，利用對角線法則可以找到一個子列，點點與依概率收斂的極限的距離有非0下界。

這與依概率收斂（任何子列有子列點點收斂）