解決初等幾何題目使用輔助線的邏輯原理是什麼？

01-05

平面幾何很多定理和問題證明都必須依靠輔助線，比如說證明」三角形的內角和為平角「，其中一種證法是過頂點做對邊平行線證明。但是添加輔助線這種方法在我看來有邏輯問題，因為所謂」輔助線「並不存在，只是我們構造出來的。我們證明一個東西的性質怎麼可以通過構造不存在的對象來證明？如果這種邏輯可以成立，那我還可以證明「所有人都會飛」。給每個人添加一對翅膀，然後通過「所有有翅膀的東西都能飛」來證明？反正依照輔助線邏輯，看不見的東西也不見得不存在，構造就可以了。

作為討論的起點，假定這裡有一個跳步。這個跳步是這樣的：

如果在做了輔助線之後的圖形上，三角形內角和為 180 度，那麼，將輔助線擦掉之後，該三角形內角和依然為 180 度。（這個表述是對稱的，也可以改成：「如果 ……，那麼在加輔助線之前……」並且這並不在實質上影響下面的討論）

這看上去是一個非常重要的性質。並且你可能會覺得，這個性質似乎和我們的物理世界有關，然後甚至可能發現，在我們的物理世界中，這個性質未必真的存在。舉個例子，如果我們只能用水來擦東西，並且水的量總是要鋪滿整個平面的話，那麼這個步驟從實踐上就做不到，因為我們一擦就會擦掉所有東西。另一個情況是，假設我們的「畫布」是一種懸空結構的東西，而我們使用的線都是有顯著重量的。一旦將其撤走就會改變畫布的曲率——那麼此時我們就不能再放心地斷言輔助線的撤去不會影響我們的觀察。

上面討論了兩個假想的行為，和我們的實際行為有點遠。但是即便是現實操作中，這種畫線的工作也有可能受到一些物理條件的干擾，比如說，如果我們是在沙上面作畫的話，很難保證在擦掉一條線的時候完全不影響另一條線——沙子可能會被推過去一點點，或者，震動導致沙粒的滑落。當然，由於誤差很小，我們還是能腦補出正確的圖景。這樣一想，即便我們用紙+鉛筆又何嘗不是如此呢？你即便用的是白紙和鉛筆作圖，你在作圖以及擦除的時候都多多少少改變了那張紙本身（其中一些紙張的纖維被橡皮擦的摩擦力撕斷了，另一些改變則發生在筆和紙接觸的時候——筆尖在紙面上產生的凹痕）。當然，這種改變在大多數情況下是肉眼無法區分的。

Wittgenstein 在講數學的時候，雖然有些不太容易令人接受的部分，但是至少有一些內容是值得玩味的：我們之所以能有數的概念，是因為我們能有實體的概念。如果任何東西拿上天秤之後質量就會改變，或者，任何我們企圖用作砝碼的東西都會忽重忽輕忽大忽小——當然，我們甚至不能想像一個有著這樣物理規律的世界要如何存在，但是無論如何，假設有一個調皮的超智能外星人在調控這一切吧——那麼我們就很難想像，在這種情況下，人們要如何弄出來數學。

很多我們視作理所當然的東西，並不真的有我們想像的那麼理所當然。我們視作等同的東西，未必真的是等同的，而僅僅是一種物理上的無法區分罷了。——雖然這並不能阻止我們在使用語言的過程中正當地將其稱為等同的。

當我們在作圖的時候，一方面，我們在用圖來作為那個完美的幾何形象的例示（instantiation），另一方面，我們也知道這個圖本身不是完美的。——甚至在特定的情況下，我們根本就不需要一副特別好、畫得特別像的圖，隨手畫一下，也能通過根據正確的條件推理來得到正確的結論。——當然，對於那些過於依賴直觀的人，這可能是一件困難的事情。但是另一方面來說，過於依賴直觀也會使得我們卡在某些地方：比如說，雖然我通過作圖和觀察，認為兩條線段是相等的，但是我卻有可能苦於不知道如何證明。——甚至有可能實際上它們根本不相等。

從這個意義上來說，不僅僅輔助線是輔助的，你在做幾何證明題的時候，整張圖全部都是輔助的。

你看到的任何圖根本就是錯的啊，點沒有長寬，沒有面積；線沒有寬度。但是沒有面積沒有寬度的東西你怎麼看得到？問題根本就不在於加了輔助線之後如何如何，而是：那張圖，就其自身而言，全部都是輔助線。

三角形為什麼存在？因為給定空間中的三個點，只要它們不共線，我們必定能夠由其確定唯一的平面，並且，任意兩點之間的連線也都在這個平面上。當我們在紙上作圖的時候，無論我們用再細的筆也好，你畫出的線上總是有無數條理想的直線；落在上面，而你點上去的點，也總是有無數個點落在其中。我們是如何有能力指向這其中的唯一確定下來的三個點和三條直線的？即便人類有能力將物理意義上的空間尺度明確到比如 $10^{-44}mathrm{m}$ ，但是在這個尺度上，依然有無窮個理想點和無窮個直線，符合你的作圖——如果你的作圖的確能達到這個精度的話。

並且，這種精度上的問題就和 Black 在談論同一性問題的時候有類似的地方。

Black 認為，同一律的如下方向是錯的：

如果兩個對象有所擁有的性質都是相同的，那麼這兩個對象是同一個對象。

Black 的舉例是，如果一個宇宙（不具有量子漲落）中只有兩個球，這兩個球具有完全相同的屬性，但是不相互等同。因為規定了其中的對象只有這兩個，因此我們不能讓我們/視角從這個宇宙內部出發，但是如果我們的視角從這個宇宙外部出發，每當我們指向其中一個對象的時候，我們都不知道自己是不是在那個中心對稱的位置上指向另一個對象——因此這兩個對象擁有完全相同的屬性。

這個地方平移過來，我們會發現數學對象，如果我們不假定其本身存在，而將其視作某種依賴於我們構建的東西的話，會體現出類似的情況。假定 $10^{-44}mathrm{m}$ 就是人類的最小分辨尺度。不考慮任何引力導致的空間彎曲，就假定我們所處的物理空間背後有一個數學空間。我們會發現我們沒有辦法區分相距 $10^{-45}mathrm{m}$ 的一對點，或者，一對平行線——其中一者所擁有的性質，在我們看來，都是其同伴所擁有的，雖然我們知道這兩條線離我的距離是不相等的，但是這種不相等在我們觀測能力之上，因此我們並不知道到底哪個是哪個。

你覺得為什麼我要說這麼一大堆呢？這是因為我想展現這樣一個事實：數學意義上的幾何空間在哪裡並不重要。因為就算我們將其視作是和我們所處的物理空間（至少部分）相重合的，我們也不能真的有效地談論它。我們不知道自己指的是哪個點，我們也不知道自己指的是哪條線。我們以為自己藉助物理空間可以把數學空間談論得更加清楚，而事實是，即便我們忽略了物理空間本身的彎曲，我們依然沒有辦法完美地將數學空間建基於其上。

但是，如果我們實際上談論的是數學空間中的抽象對象的話。那麼同樣地，輔助線就不是不存在的對象了。因為，任意兩點之間都有且僅有一條直線，並且，過直線外一點，有且僅有一條直線與給定直線平行。這不是我們在證明的時候構建出來的東西，而是在我們給定了公理之後，就一直在那裡的東西。

我們用物理空間中的記號（token）去模仿理想的數學空間，但是 token 的存在與否並不會影響到理想的數學空間中的對象的存在與否。並且從物理空間中的 token 到數學空間中的理想對象之間的指代關係是需要證明的。我可以畫圖畫偏一點點，然後憑 token 組成的圖片加上一些推理進而得到非常荒謬的結論，而這基本上都是來源於 token 本身的指向並不成立，要麼它實際上指向數學空間中某些別的對象，要麼它實際上並不指向數學空間中我們關心的任何對象。

所以，就算是添加和擦除輔助線對於 token 有影響，但是這種影響，或者說，影響之後的產物，並不應該指向影響之後的 token 的指向。否則，我在紙上畫一條線，然後將紙隨便移動到某個地方之後，然後說這兩個 token 指向的對象（我們所處的物理空間背後的數學空間）相同，這豈不是可以用來證明任何兩條直線都是同一條了？

以上。

以退為進。

因為整個科學系統就建立在這個假設之上，即輔助線不改變原圖性質。假如性質發生了變化，那麼科學會使用奧卡姆剃刀，將之打入玄學範疇。

假如一個正方形，旁邊放一個圓形，正方形性質改變了，這不叫科學，這叫周易。正方形性質不變，就是科學。

周易正是一套認為引入新東西，原有的東西性質可能會發生徹底改變的系統。由這種哲學理念延伸出來的中醫也是有這種觀點。

！！！以下為原答案！！！

其實很簡單，18*6不好算，可以拆解成18*5+18。分割意義上的輔助線，是把6替換成5+1的過程。你當然可以不承認6=5+1，但是在實數加法運算，特別是普通意義上的加法，6就是等於5+1。

羅心澄的回答有些其實等效於不承認數字的準確性，也就是不承認有嚴格意義上的5或者1。舉個簡單例子，我有5個饅頭，但是饅頭大小顯然不精確，所以不是精確的5個，一個饅頭重量5克，由於電子秤精度問題所以我們也沒法嚴格精確的判定質量。這就是5在現實世界中並不那麼好用，倒更像是近似。不知道有沒有哪個理論家研究過這個問題沒，希望知道的能告訴我下…

更新：

後來我知道了，否認等號存在的系統叫周易。

不管做不做輔助線，要證明的定理必然是成立的，與你做不做輔助線沒有關係，也就是說即使不做輔助線我們應該也能得出相同的結論。你應該是這個意思吧，我以前也有類似的想法。但是輔助線並不是不存在的東西，它是由解題者構造的，確切的說這些線是一種解體方法，我們解幾何題的幾何解法，如果我們在坐標系中進行計算，理論上我想應該只要有耐心，計算量可以承受，幾何定理不構造輔助線都是可以由代數來證明，但是如果我們用了「輔助線」這種方法，計算過程將極大簡化，這就是做「輔助線」的目的。至於你舉的例子很容易反駁，我們做輔助線證明的是結論正確的東西，我們構造什麼的前提是我們觀察到什麼具體存在的現象，如果結論錯誤，構造什麼當然都不成立。因為我們做題的步驟是已知輸入輸出，進行系統辨識，而不是系統設計。

輔助線不是隨便作的，而是一定要符合幾何學的公理的。以題主說的問題為例，之所以我們可以過頂點作對邊的平行線來證明三角形內角和為180度，是因為歐氏幾何中有定理「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」。由此我們可以知道我們作的這條輔助線在待證明的體系中存在且唯一，即這樣作輔助線有其合理性。

另外一點是，做輔助線是不改變待證體系的性質的，這保證了通過輔助線證明的結論仍然是我們想在原體系中證明的結論。過一個等邊三角形的某頂點作其對邊的平行線，原來的三角形依然是等邊三角形，它的性質沒有改變。而題主說「假設」給人一雙翅膀，這改變了研究對象「人」的性質，因此是不能成立的。

PS 輔助線的作用是補齊邏輯鏈條而不是直接構造結論。

反正依照輔助線邏輯，看不見的東西也不見得不存在，構造就可以了。

這句話是不正確的，你畫或者不畫，輔助線就在那裡。

就像給出任意兩個頂點A，B，這兩點之間的直線段AB，不論我是否畫出來，它都存在在那裡。

輔助線雖然看不見，但它一定存在，正是因為存在，才可以依託它進行推理。

所以，題主你

我們證明一個東西的性質怎麼可以通過構造不存在的對象來證明？

這個問題本身就是不成立的。

搞不懂樓上一堆人寫長篇大論是作甚。

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你想證明圖 $A$ 有某種性質 $a$ ，但是很難證，於是你設法找到圖 $A^*$ 使得 $Asubset A^*$ ，然後證明 $A^*$ 有性質 $a$ ，於是 $A$ 也有這種性質 $a$ 了。這就是輔助線的邏輯，也就是三段論而已。

至於題主說輔助線不存在而是構造出來的，這是不對的。輔助線就是 $A^*-A$ ，在你畫出來之前就已經存在，所謂畫出來只不過選中這些點來構成一條線而已，你畫不畫這條線，那些點都存在於空間里。

題主又說存在有翅膀的人能飛所以人可以飛，這更加不對。假設真的存在有翅膀的人，令這些有翅膀的人組成集合 $B$ ，全體人類為 $B^*$ ，那麼關係為 $Bsubset B^*$ ，子集 $B$ 具有某種性質 $b$ 是不能說明包含這個子集的集合 $B^*$ 具有同樣的性質的。

既未增加條件，也未改變題設，因為你畫不畫出來，那條線都在那兒呢，你還真以為是瞎編的瞎找的啊……

找輔助線用輔助線的全套步驟是：假設命題為真--推出輔助線--去掉假設描述輔助線相對運動--用一個跟原命題沒有邏輯重疊的輔助線證命題

我就不明白了，幾何原本都沒看過，你有什麼資格對歐氏空間指手畫腳。

孩子你再不回去啃書，就陷入民科沒救了……

你的例子題干限定了「平面幾何」（歐氏幾何的二維情況）這個前提，也就是在歐氏幾何這個框架下討論(而不是在雙曲幾何，或喵的幾何這個框架下）。既然確定了這個前提，那麼就承認歐氏幾何的第五條公設（平行公設）的合法地位了，就有繼續討論的意義了。它就是題主你說的「輔助的過頂點做對邊平行線」，它在這個歐氏幾何下是唯一的，確切存在的。並不因為你加輔助線讓它顯現出來，所以它就是荒謬的。在承認平面幾何大前提下後，它就存在了。所以後續的證明，只要還在這個框架內，推理過程不矛盾，那麼證明出來的結果就是對的。

這就是數學討論的邏輯意義。它在給定的前提下，從確定的已經為真的命題/或約定為真的公理出發，經過可數的步數的演繹出來的結果就是在這個框架體系下的真命題。換句話說，你設定 A 為真理，然後 A→B, 只要這個箭頭過程中涉及的都是在這個框架體系下的公設或已經證明在這個框架下為真的命題，那麼 B 就是這個框架下的真命題。數學講究的是這個箭頭的嚴肅性。

所以，你的論點」輔助線並不存在，只是我們構造出來的」並不成立。因為題干都已經約束在平面幾何這個框架下了。

至於你後來的「翅膀」這個論點，其實也是有意義的，因為你只要認同「所有有翅膀的東西都能飛」這個「公理」，那麼後續的推演從邏輯的角度來說，就是有意義的。當然你覺得荒謬，因為跟現實不符合。

但是，數學並不關心現實。事實上，從小到大，我們在接觸平面幾何（乃至它的三維情況）時並沒有覺得荒謬，是因為它跟我們日常生活的世界是一致的。其實，可以假設這平行公設不成立，然後也能推出新的一種叫「雙曲幾何」的非歐幾何。重要的是，新的這個「雙曲幾何」也是相容的，也就是這新的第五公設與前四條並不矛盾。在這個「雙曲幾何」的世界裡，「過頂點的平行線不唯一」。那你題中這個例子就沒有證的意義了，好在你題干已經約束好討論的前提了。

輔助線並非不存在，它存在。

事實上，在你聲明任意要素的時候，如果你對它的描述沒有矛盾，那麼這樣的要素一定存在。

之所以「設」輔助線，是因為這條線能幫你的忙，其他的線幫不上，所以把這條線強調出來供你使用。

給他一個秤，就能看到他的體重，去掉秤，體重還在那裡，不增不減

給他一道題，就能判斷他的智商，去掉題，智商還在那裡，不高不低

給他一個美女，就能判斷他的取向，去掉美女，取向還在，不偏不倚

給你一個輔助線，就能看到角度的關係，去掉輔助線，關係還在，不少不多

因為所謂」輔助線「並不存在，只是我們構造出來的。

恰恰相反，能在中學數學課講給你的輔助線，必然極易證其存在且唯一。

為什麼要這麼做呢？

因為這麼做能做出來。

這是我很崇拜的一個數學老師告訴我的。

做輔助線是一個水到渠成的思路過程，也是演繹推理的一個重要環節。

比如，角平分線作對稱啦，單圓證垂直可以再作一個圓用根軸定理啦……

就相當於找一個跳板啦。

就是假設所證命題成立，然後找它成立的當且僅當條件。

舉個栗子，q是你要證明的。

題設給出來a，b，c條件。

q成立的唯一條件是條件p成立，而a b c可證k成立，而k又有相關性質p。

那麼k就是輔助線啦。

不過做輔助線的思路這一點，是課堂上經常被忽視的。老師們的課時壓力也很大，沒辦法帶著所有的學生深究。

題主感興趣的話可以看看競賽，應該會有新的理解吧！

輔助線分割出的局部，能直接套用定理，更方便求解。

題主應該從出題人的角度來想。

如果我將簡單的圖形通過包含，拼接等方式聯繫到一起來出題，要學生求某個未知量而且其餘的條件都已知，那麼將會很好求解。所以我必須要隱瞞一些條件，這些條件是「重複了的」，即其他條件已經可以推導出這個條件，如果不隱瞞，也僅僅只是「強化」了已知條件而已。

這就是輔助線。

類似的，還有一種。就是我們常常能發現，去掉某個條件約束後，答案仍然存在，此時可以斷定，這個條件的存在是多餘的，而此時，一道好題，就出現了。甚至可能誕生一個好玩的定理。

做這種題時，可以通過補上這條輔助線來找思路。但絕不是正確的求解過程。

輔助線這名字起的不好。你可以給他換個名字，比如，搭橋線，過橋尺。

那那條輔助線怎麼不存在了。。。它不違背任何公理呀。。。也可以這麼想，原圖形只是帶輔助線圖形的一部分。

數學上需要構造的東西太多了，輔助線只是冰山一角。估計題主是不習慣這種直覺而非邏輯上的東西，實際上輔助線是靠經驗做出來的而並非憑空產生，比如中線倍長。

試問你能不用工具徒手修門嘛？工具也是手做的啊。

我覺得@流離的回答有可取的道理，做輔助線要在公理和定理的基礎上，不能違背已有的定理。比如我現在在兩點之間做兩條不重合的直線，這與已有公理矛盾，那麼做出這樣的輔助線得出相應結論就有可能產生矛盾。所以許多證明不是要依賴於輔助線，而是「正確地做出輔助線」也可以當作一個已證明的定理使用，它和其它的幾何定理具有相同地位。比如證明三角形內角和為180度，其作輔助線便依據「過直線外一點作且僅可以作一條直線與已知直線平行」這條公理，這也是公理化的一部分，作輔助線也是幾何中的基本定理的一部分。在證明過程中作輔助線和使用定理是一個性質，只是我們已經不再習慣說明輔助線的來由。

總之，輔助線不能也不是被憑空捏造出來的，每一條輔助線的作法都可以用基本的公理和定理證明其合理性。

只是因為平面幾何的對幾何模型抽象程度不夠，本來就有的性質非要填幾根輔助線才能用各種定理完成證明。

本來就有的性質一一填加輔助線構成基本圖型一一使用很具象的，僅適用於少數場景的定理完成證明。

不是非要填加輔助線完成證明，只是平幾的模型不夠general而已。

像題主說的什麼填加翅膀的，你可以填一個啊，然後需要證明人什麼性質導致填這個翅膀能怎麼怎麼樣，根據xxx定理，最後證出能讓人飛。這樣飛這個屬性就不依賴於輔助線了。

因為初等幾何地歐式平面上本來就存在無數個點，只要不違背已知條件，你可以通過平面上的任意兩點作任意直線。只不過由於在證明三角形內角和為平角這個命題時我們只需要這一對平行線就足夠了，所以我們才只作出這兩個平行線罷了。