上帝公式（歐拉公式）為什麼有如此高度的自洽？它的數學本質是什麼？

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上帝公式如何體現數學的高度統一性。圓周率，e，i，1，0。完美得呈現在一個式子里，我感覺不是偶然。

因為歐拉公式就是個關於複平面上轉動的公式，而i和1在複平面上模一樣長，轉一周是2π。

不關上帝啥事。

用複平面向量的旋轉解釋很容易，歐拉公式說明了複數作為對實數域的延拓非常成功

這個公式是由指數函數在複數域的推廣得到的。

在實數範圍內，將指數函數 $e^x$ 泰勒展開，得到 $e^x=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}=1+x+frac{1}{2!}x^2+frac{1}{3!}x^3+...$

解析延拓到複平面，得到類似的形式 $e^z=sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}=1+z+frac{1}{2!}z^2+frac{1}{3!}z^3+...$ (z為任意複數)

此為複平面上的指數函數。

將 $z=ix$ 帶入，得到 $e^{ix}=1+ix+frac{1}{2!}(ix)^2+frac{1}{3!}(ix)^3+...$

注意到 $i^1=iquad i^2=-1quad i^3=-iquad i^4=1quad i^5=i...$

即 $e^{ix}=1+ix-frac{x^2}{2!}-ifrac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+ifrac{x^5}{5!}+...$

其中第1、3、5…項（奇數項）恰好是餘弦函數的泰勒展開

$cos(x)=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+...$

而第2、4、6…項（偶數項）是正弦函數的泰勒展開的 $i$ 倍

$isin(x)=ix-ifrac{x^3}{3!}+ifrac{x^5}{5!}-ifrac{x^7}{7!}+...$

於是我們得到 $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$ ,此為複分析中的歐拉公式(Euler"s formula).

將 $x=pi$ 帶入，得到 $e^{ipi}=cos(pi)+isin(pi)=-1+0=-1$

移項後得到歐拉恆等式(Euler"s identity) $e^{ipi}+1=0$

當然不用泰勒展開，直接微積分法構造函數也能得到歐拉公式，就不詳細說了。

為什麼「自洽」，因為是推導出來的。非要再深究的話就要涉及泰勒公式的推導了，任意一本高數書、網上部分課件里都有介紹，需要一定微積分基礎，自己找找看就好了。至於什麼是「高度統一性」，這個詞我不太明白。

歡迎參考拙著：

歐拉公式，我所能想到的最簡潔優雅的推導方式

這和自恰（self-consistent）有什麼關係

說數學是「自洽」的是什麼意思？ - 數學

因為 $e^{ heta }$ 是一個螺線，把它映射到特定的空間，就會成為一個圓，而圓和 $pi$ 又存在某種關係。

歐拉公式對於學數學的人來說就是神一般的存在，每個學數學的人都會感到熱淚盈眶。

這個公式的意義不局限於數學，信號處理，它將能解釋一些物理概念和規律。例如，光速，暗物質等。光速是和圓周率相關的常數，虛數是不能帶入一般物理定律.，，，