什麼叫「具有紮實的數學基礎」？

01-05

我是今年高三畢業生。在選擇專業的時候，好多專業的要求上都說需要有「具有紮實的數學基礎」。我媽看見就給我說，你數學不及格就不要考慮了。因此，我想問一問，什麼叫「具有紮實的數學基礎」，我平時的數學很一般，有時候還不及格，高考更是大坑不及格。
我數學不及格就說明我數學基礎差嗎？
修改：
【應試教育的考試評價可以評價學生的數學基礎嗎？】這個問題取消了

我不是對應試教育有很大意見，只是想從這個角度出發來探討一下這個問題。

我覺得良好的數學基礎應該是這樣的：

微積分、線性代數、複變函數、數理方程、概率論與數理統計都學的還算不錯，並且掌握一兩種數學軟體。這樣的話基本上能滿足大部分理工科專業對數學的要求了。

如果是截至高中水平的數學的話，大概你接觸到的大部分都是初等數學。在這一塊要說數學基礎，那大致可以歸為以下：

一.算術（數感、歸納推理）：可以心算數目不大、運算程序不複雜的計算（懂一點速演算法會有加成）。對於大數目，筆算也應能夠算出正確結果。以及，熟練地正確使用科學計算器（別以為這很low，實際上這裡邊有一堆潛在的錯誤風險，稍不注意就踩雷）…… 巧算、簡算和估算是進階能力，要重視。

**列算術式解應用題雖然號稱很開發智力，但其實不是重點。

二.代數（形式演算與符號抽象）：

1.代數式變形技巧：最簡單的包括合併同類項、冪的法則，複雜點的有整、分、根式的運算化簡，這部分難度最大的是因式分解，其中尤其難的是添、拆項和公式法，特別考驗那種「對複雜的式子做高明的變形，以解決那些用常規方法解決不了的問題（伊藤清轉述柯爾莫果洛夫語）」的技能。

2.列方程與解方程：這是代數的基本能力。沒說的，未知數少於四元，最高次冪小於等於三的方程（組），拿過來就得像庖丁解牛一般，行雲流水地算出解（集）。

3.不等式：這是真正通往高等數學的階梯。判斷解集情況是初等數學的內容，對不等式的證明、變形以及利用不等式進行估計則是高等數學的敲門磚。

**這部分學不會的話，你基本上就告別了理科，建議考慮選擇文藝類相關專業。理由是顯然的——沒有任何一部高於小學程度的數學書不是用字母、代數式這些東西寫出來的。你能想像自己在語言不通的狀態下學習文史哲么？

三.幾何（圖形識別、演繹推理、直觀與想像的均衡）：

1.平面歐式幾何：演繹邏輯的典範，公理化之濫觴。

2.空間歐式幾何：往往會發現自己雖然天天生活在三維空間里，但是對它的想像力與觀察遠不熟悉。

3.解析幾何、向量運算及三角學：代數與幾何的完美結合，其精髓在於把精巧證明全轉化為暴力計算。這部分要是學好了，當初那些你絞盡腦汁也證不出來的幾何題基本都會迎刃而解。

**更高級的現代幾何學需要很多同樣高級的數學支持，不在討論之列。

四.集合與函數（基礎語言與底層邏輯）：

1.集合的概念及集合間的關係：這是數學的底層概念，不能被其他概念所定義。因此，必須要能夠從不同的角度去理解，這些角度包括但不限於：枚舉、示性、圖解（Venn圖）……以及元素對集合可以自然地定義「屬於」，集與集之間可以定義「包含」，這是集合上最基本的關係。

2.形式邏輯：包括邏輯謂詞（數學中常用的是且、或、非、蘊含、等價，其中最詭異的是蘊含）和邏輯量詞（數學中最常用的是全稱量詞「對於一切……」和特稱量詞「存在某個……」），以及基於此二者及某些數學對象所構成的命題（關於命題，最重要的能力是能夠順利地作出其否定，這是反證法的關鍵！）。

3.集合的運算：基於邏輯謂詞中的且、或、非可以分別構造兩集合的交、並、補。而利用交、並、補的定義又可以推演出一系列的運演算法則（如德摩根律等等……）。

4.函數的定義：在這個點上深挖，可以挖到大學數學內容……

5.基本初等函數：對各種性質、圖像、算律、變換的掌握，要能夠實現可視化，也就是達到在腦中運行相關動畫的程度。這部分如果沒搞定。。——「有一棵高高的樹叫高樹，上面掛了很多人，它在風中搖曳著枝條，彷彿在向不遠處的你輕輕招手……『來吧童鞋，投入我溫柔的懷抱，讓我撫慰你智力的創傷……』」。

**1-3這部分學好了，你的邏輯思辨能力會有所提升，可能會發現生活中種種推理謬誤，數學中少見的能夠啟發人思考人生的部分……

五.微積分初步（由常量走向變數，由有限走向無窮，現實是逼近地精確）：

1.直覺地理解極限、無窮大與無窮小、導數/瞬時變化率/切線斜率。

2.熟稔使用微分法則求出任意初等函數的導數。

3.理解原函數與不定積分是求導的逆運算。

4.應用：如將導數與極值的關係應用於畫函數的圖像，運動學(kinematics)。

**鑒於此坑直接通往現代數學，是個無底洞，所以一開始不要挖太深。

六.離散數學初步（返璞歸真——自然的一切真理都源自高明地數數）：

1.加法原理與乘法原理

2.排列與組合

3.古典概型

4.線性優化

5.矩陣乘法

6.演算法流程與計算機程序

**搞定不了這一部分，請反覆回爐重造；否則你若選擇統計、金融或計算機這三個專業，會產生一種類似於農民剛進城的尷尬，就是會覺得自己雖然能幹些活餓不死但特別土，即使運氣好掙了錢也就是只壕。。。

不同意把大學數學搬出一堆來嚇唬題主的答案，對於一個高中畢業生來說這個「數學基礎」要求也太高了吧~

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紮實的數學基礎就是：數學知識，數學思維，計算能力，空間想像，邏輯推理。

這是高中數學課程標準的培養目標，擁有這些基礎，你進了大學才能很好地掌握相應的理工科數學基礎課：微積分，線代，復變，常微…

要給你明確一點，如果你讀理工科，數學將是你的必修課。

這樣說吧，高中數學那點兒東西放在大學估計也就是一兩周就可以學完了。

如果高中數學都不及格的話，勸告題主：除非是對某學科偏愛至極，盡量不要學基礎學科，不然你大學的路走起來會很艱辛。

理工科差不多都要數學基礎吧。

理論方面，微分積分，微分方程和線性代數，概率論，空間解析幾何，這些是最最基本的。

工具方法上，matlab起碼要用的差不多，這東西用好了真方便。

雖然是說數學，但是我覺得c語言挺重要。。

把實分析、複分析、傅立葉分析、集合論、線性代數、點集拓撲學、抽象代數、測度論、概率論、隨機過程、動力系統、代數數論、演算法理論、數值分析、數理統計等基礎打好學透。這些最基本的東西不熟的話，會妨礙你以後的學習效率。

對一些稍微有點專業的內容有一定了解。比如說大概了解廣義函數理論、張量分析、p-adic分析、有限域上的伽羅瓦理論、同倫論、模形式、群表示論、圖論、隨機偏微分方程的數值求解、有限元理論、半鞅論、紐結理論、GARCH模型、小波分析、範疇論、非交換代數等一些稍微專業的分支里的基本概念和定理。最好能夠把其中大部分也系統地學一遍。這樣有助於你在真正開始學習比較深的數學之前，對比較現代的數學有個大致的了解。如果你想著轉到一般的理工科，銜接起來也比較容易。

不說其他科目，至少中國的基礎數學教育絕對是不低於世界水平的。

數學這種科目，沒有什麼應試不應試一說，數學的核心就是問題的發現與解決。微積分，高等代數，概率統計，實變函數，複變函數這些都是有深刻的應用背景，你如果沒有紮實的基礎，學到需要這些知識的部分就會完全無所適從。另外，你如果覺得刷題就是應試，你讓歐拉這種刷題狂魔何以自處？

我覺得吧，題主的當務之急是去多讀點數學書。

我發現上面的答主都把大學學的一堆搞上來了，題主畢竟高三畢業，又不是混奧賽的，拓撲和抽代這些基本就沒有接觸過。我們可以換個角度思考，高中數學知識是從靜態數學走向動態數學的過渡，確實挺重要的，而且抽象能力也是開始鍛煉起來，就題主自己描述，考試成績不能代表你數學學的不好，我個人更看重數學的思考和推理過程，分低不代表你數學學的不好，但是別人看你數學好不好，第一印象還是你數學考得怎麼樣，就像你去求職人家先看你的學歷一樣。我個人認為你可以這麼做來判斷你高中數學混的怎麼樣，把數學課本目錄翻開，各章節的主要定理，推理過程能夠回憶起來，各章節之間的聯繫你能編織出來。就像拿出高數書，導數，微分，連續，不定積分，定積分之間的聯繫都能清楚。你能形成自己的組織框架，就代表你的數學思維能力在逐漸形成，邏輯思維也在完善，這個在數學基礎中其實是最重要的，有了這個，你自學的話是沒有問題的。另外我特別推崇一點，就是好好看數學發展史，一門學科，你只有了解它的歷史，對他的發展脈絡了解清楚，轉折點能夠明白，對於數學以後的發展就能大概有模糊的想法，而且比較容易抓住時代發展的主旋律，不會被拋棄。數學文化的培養也是很重要的基礎，似乎北大數學系近來也在搞這個。總之一句話，要會講故事。

1、我理解的紮實的數學基礎 = 對於《高等數學》這樣的東西，自己看看書就能學下去。對於工科學生，紮實數學基礎 = 微積分、線性代數、概率論、統計、數值分析至少不掛科，脫開書本，微積分還能記得微積分基本的運算規則和公式，有積分表就能解決大部分問題，線性代數基本的求逆、特徵值還能算，更好一點的還會矩陣運算，能正確的計算事件概率，藉助統計表格搞清楚各種驗證以及回歸，做模擬時候能正確評價自己模擬結果中數值方法以及數值結果。

2、能評價

3、確實差

說句實在話，我數學基礎也很差，也不紮實，高考200分試卷才考了178，然後讀到研究生才好點，這也是被老闆欽定培養計劃裡面那麼多數學課和計算機課程的壓力倒逼著，才回去夯了一下基礎。我覺得題主可以選數學要求高的專業，問題是可能會被踢掉或者調劑。

數學可以補，補起來也不是很難，以我的經驗，大部分學科的數學都是有著深厚應用背景的，把一本書學成一張地圖，然後能按照地圖自己走一遍就差不多了，學到後面不同的地圖都能走通就夠了。

PS：如果刷題無用，那些當年發明對數指數的人真是要哭瞎了，老子半輩子就在算數字啊

數學分析線性代數與空間解析幾何概率論與數理統計這個基本是工科的基礎，理科或者電學力學的話再加上數理方程複變函數常微分方程應該夠用了吧

大學專業介紹是對基本屬於一無所知的高中生一個跳坑提示，其表明要有紮實的數學基礎並非表示你高考數學必須達到多少分才能報考，而是告訴你該專業需要很多的數學。

高中生報考該專業的時候進行參考，自行衡量，如果我真的喜歡該專業，我是否能付出更多的努力在數學上？或者我感覺自己數學學的很好，只是考試考不了高分，我認為我可以勝任該專業所需求的數學知識，那麼你考進來以後就別抱怨數學這個坑了……

最簡單的例子，眾所周知計算機相關專業是需要紮實的數學基礎的，那麼不僅僅985,211有，普通大學甚至大專高職也有，換句話說，不管你考多少分，只要不低的離譜，你總能去一個學校學計算機專業。

正常高考數學卷拿到120分以上。

拿不到不是什麼粗心什麼刷題不夠，一不理解二不熟練，只有這兩種可能。因為題主要的是紮實的數學基礎，而被很多人看不起的高考的數學科目恰恰就是訓練你的數學基礎。對於一個正常智商正常努力水平的人來講，兩道壓軸題扣十到十五分，前面再預留十分的失誤，五分的腦筋短路和閱卷誤差，120分其實要求並不高。無論如何努力依然達不到，只能說你在這方面沒有天賦，這並沒有什麼可丟人的。

另外什麼叫「數學不及格就代表我數學基礎差嗎」，除此之外還有什麼可以代表你數學基礎差呢。

給你足夠多的紙、筆，把你關在小屋子裡幾個月，保證你的生理需求，請把研究生水平（至少你的方向）及以下的數學，物理學推導出來。

我覺得吧，就是高考試題你差不多能考100分以上然後有答案的情況下，對不會的題能徹底弄明白，此外運算能力和抽象思維還可以.加油！

高中來看，數學不及格就是基礎差

醫學金融類統計概率（例大數定律）

工程材料類分析建模（例泛函分析）

it類離散演算法（例布爾代數）

文藝哲學類？？？？（例加減乘除）

一個人不可能在數學的所有分支上都沒天賦，選擇適合自己的就行。

你媽說的對，考試好就是具有紮實的數學基礎的一個說明。古今中外，很多數學好的大家，基本很小就天賦異稟，在數學上展現才華了。

以上

答主是高三畢業生選專業，樓上都跑題了吧。。

在我看來，高中的數學水平不能決定大學的數學水平，就算能，也無法用分數來衡量。

我清晰的記得我選專業的時候很多專業也有答主所提的類似要求，我覺得你有數學學習的基本素養和對所選專業的熱愛就夠了。

我覺得就是當你在高中，大學的時候面對初中，小學的題目一樣會做，而不是說很久了早忘了(只用小學初中所教的方法而不是用後來學的)僅此