凸性（債券）為何有價值？

為什麼在久期的基礎上引入凸性

因為久期不足以解釋價格隨利率變動的變動幅度。

久期定義有三，一是債券到期時間的加權平均，二是債券定價公式對利率的導數，三是債券價格對利率變動的敏感程度。第一種呢，是免疫策略的基礎，這兒暫時不提。下面用定義二三來解釋這個問題

從定義二，久期就是利率曲線上某點的切線；從定義三，我們通常會用利率變動百分比乘負的有效久期來估計價格變動百分比。So，這種關係是線性的，然後債券的收益率曲線通常是有凸度的，也就是說這種方法使得無論是利率上升還是下降，我們估計出的價格都要小於真實的價格。所以，才引入凸性來修正這種誤差。

不過，如果從數學上來直接解釋，就要簡單多啦

債券定價公式，一階泰勒展開，就是久期估計價格變動；二階泰勒展開，就是考慮了凸性…二階當然更精確啦。當然如果想要更精確，可以無限展開下去，或者要準確變動的話直接用定價公式算，不過親測，考慮了凸性的話，大概小數點後五位是可以保證噠

如上圖，眾所周知，不含權債券的債券價格和到期收益率是條向中心原點凸起的曲線。

有效久期就是這條收益率曲線的切線。

這條切線是用來衡量債券價格對到期收益率變化的一階導數。

問題來了，在Ａ和Ｂ的位置，用有效久期並不能完全精準的反應二者的關係。

有了偏差，這個偏差就是凸度。曲線彎曲的越嚴重，這種偏差越大！

所以為了更近準的反應，必須合併久期和凸度，才能更為精準的估計債券價格對收益率的變動。

合併公式如下：

percentage change in price=duration effect + converxity effect

=—久期*△Y+凸度*△Y2*100*0.5

舉個栗子：比如一隻債券，YTM=9%。久期9，凸度68。

那麼如果收益率上升1%，對其價格的影響=-9*1%+68*（0.01）2*100*0.5=-9%+0.34%= —8.66%

即市場收益率上升到1%的時候，債券價格會下跌8.66%

所以到市場利率上升時，如果單純的考慮久期的影響，而忽視了凸度的影響，債券價格變動的浮動就會被高估了。