有限元中什麼是等參單元？

01-05

前面的回答已經比較詳細了，我再根據我的理解補充一下。很多時候劃分網格後的單元是很不規則的，造成的結果是每個element都要用不同的shape function，非常麻煩。於是有的哥們就思考能不能將單元標準化，即把單元都mapping成同一個單元，這樣不就簡單了嗎。拿簡單的一維問題為例，如下圖：

目標是將局部坐標系(local coordinates)映射成範圍是 -1 到 1 的自然坐標系(natural coordinates)。可是如何做到呢，於是這個哥們深入思考發現如果場函數插值(比如例子中的位移場)和單元局部坐標繫到自然坐標系的轉化使用同一個shape function不就行了嗎？這樣說可能比較抽象，下面的公式比較直觀：

$x(xi )=N_{i}(xi )x_{i} ,$

$u(xi )=N_{i}(xi )u_{i}$

其中 $x$ 是局部坐標系坐標， $x_{i}$ 是結點的局部坐標， $u_{i}$ 是結點在局部坐標系下的位移， $u$ 則是插值後的位移場。舉個例子，對於結點1(i=1)， $N_{1}(-1)=1, N_{2}(-1)=0,$ 所以 $x(-1)=x_{1} , u(-1)=u_{1}$ 。兩個插值使用同一個shape function。mapping到-1,1的另一個好處是積分方便，通常可以使用如下近似方程（以二維為例）：

$int_{-1}^{1} int_{-1}^{1} phi (xi ,eta )dxi detaapprox phi (1/sqrt{3},1/sqrt{3} )+phi (-1/sqrt{3},-1/sqrt{3} )+phi (-1/sqrt{3},1/sqrt{3} )+phi (1/sqrt{3},-1/sqrt{3} )$

當然，由於shape function $N_{i}$ 現在是 $xi$ 的函數，而積分時需要的經常是 $frac{partial N_i}{partial x }$ ，所以需要引入雅可比J(Jacobian)，即 $frac{d x}{d xi}$ 。這樣就可以通過chain rule： $frac{partial N_i}{partial xi } =frac{partial N_i}{partial x } cdot frac{d x}{d xi }$ ，得出 $frac{partial N_i}{partial x } =frac{1}{J} cdot frac{partial N_i}{partial xi }$ 。同理，對於三角形單元，可以將其mapping成直角邊為1的等腰直角三角形；對於四邊形單元，可以將其mapping成定點分別為(-1,-1)，(-1,1), (1,-1), (1,1)的正方形，等等。下面附上一些常用的等參單元的shape function。

題主有點懶呢，應該找本書看比在知乎問問題效率要高。

對於場函數，例如位移場，我們可以通過結點場值與插值函數來表示場內各點的場值。結點數為n。一般而言，此公式是表示在局部坐標下的。

$u=sum_{i=1}^{n}{N_{i}u_{i}}$

將單元從規則的局部坐標系（如面積坐標系）轉化到總體坐標系中，我們需要建立兩個坐標系之間的變換關係。同理，通過總體坐標表示的結點坐標與局部坐標表示的插值函數可以表示單元內各點的總體坐標。結點數為m。

$x=sum_{i=1}^{m}{N$

如果，場函數插值所用結點數與坐標變換所用結點數相等時，即n=m，而且兩者採用相同的插值函數，即N"i=Ni。那麼，我們稱這種變換叫等參變換，這種單元叫等參單元。如果n&m，我們稱為亞參變換，單元為亞參單元。

為什麼會出現等參單元，因為方便。

局部坐標系下的單元是很規則的單元，我們可以很容易通過Lagrange插值、劃線法、Hermite插值來構造單元內場的插值函數。而且，如果單元是等參單元的話，坐標變換也可以運用場的插值函數，把局部坐標系下的規則單元變換為笛卡爾坐標系、極坐標、球坐標下的各種離奇形狀的單元。即使這麼做，對於剛度矩陣、力向量的積分上也不會很困難，所以我們很熱愛等參單元。

分析一個三角形單元，具有三個頂點，每個頂點具有他自身的坐標值還有就是待求的節點位移植。

（1）單元內任意點的坐標怎麼求？ x=N1x1+N2x2+N3x3 即採用形函數乘以節點坐標

（2）單元內任意點的位移怎麼求？d=N1*d1+N2*d2+N3*d3 即採用形函數乘以節點位移

等參就是指的兩種求法對應的形函數是相同的。

單元的位移模式和坐標變換式採用等同的形函數（階次相等），同時用以規定單元形狀的結點數等於用以規定單元位移的結點數，這種單元稱為等參數單元。

剛剛學完等參元，先簡單答一下。

其實除去物理意義，從數學上看等參元就是換元積分。

1.先回顧一下高等數學中的，極坐標下的二重積分。

2.再看具體的，單元剛度陣的變數代換

6月5號更新，這個地方好像有點問題，等整理好再來修改

3.最後附上有限元分析的全過程。

初學者，如有錯誤之處，還請批評指導。

幾何形狀插值與位移場插值使用同一套點和形函數的單元