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數學物理學

兩杯水，質量相等，一杯50度，一杯100度，不考慮散熱，最高可以把50度的水提高到多少度？

01-05

兩杯水，質量相等，一杯50度，一杯100度，不考慮散熱，最高可以把50度的水提高到多少度？

100度

如果用熱交換器，細管逆流換熱，幾乎能讓兩杯水的溫度對換。

大約81.6度

我來給 @舒自均補充過程

假設兩杯水都是1kg

將100℃的水均分成n等分，依次給50℃的水加熱，設第i次加熱後50℃的水變為 $t_i$ ℃

則可得到如下遞推公式：

$t_{i+1}=frac{100-t_{i+1}}{n}+t_i$

化簡可得：

$t_i=100-50(frac{n}{n+1})^{i-1}$

故

$t_n=100-50(frac{n}{n+1})^{n-1}$

$lim_{n o infty}t_n=100-frac{50}{e}approx 81.6$

可能做麻煩了。

將兩杯水交換。。。這樣50度變100，100變50。。。

題主把他的作業題目發上來了。。。

100度水加入50度水杯中的話：

1.如果允許50度水杯里的水往外倒的話，最高無限接近100度

2.如果不允許，最高應為75度

100度水隔著水杯給50度水杯熱傳導的話：

最高約為81.6度

咋能只有75呢...難道100度的水裡面不能有一部分低於75度？...物理系最差的學生飄過

不考慮熱損失，無相變。同物質狀態-液態，水的比熱容近似恆定，50度和100度混合後不就是75度嘛

無限接近100度題主說的是 「最高可以把50度的水」

怎麼會是75度！？不應該是一個極限過程嗎！？

結果肯定比75高，一會回來算

我傻逼了，沒想到可以用熱傳導的方式……

熱傳導過程，將高溫的 $dx$ 份質量和冷水傳導加熱的話：

$dx(T_{h}-(T+dT))=dT$

這裡 $T_{h} =100$ 於是：

$T_{h}-T=const.e^{-x}$

$x=0$ 時， $T=T_{l}=50$ ,所以

$T=T_{h}-(T_{h}-T_{l})e^{-x}$

$0leq xleq 1$ ,可見

$T_{max}=T_h-(T_{h}-T_{l})e^{-1}=81.6$

下面是之前用以為熱混合方式推的，搬石砸腳 -_-##

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按照所謂的極限過程（把100℃分為n等分），我再仔細推導如下：

首先：第 $i$ 次將 $frac{m}{n}$ 份質量100C的熱水倒入50C低溫杯中時，低溫杯中其實已經有了質量為 $m+(i-1)frac{n}{m}$ ，溫度為 $T_{i-1}$ 的水，所以混合的能量平衡方程為：

$c_{p}frac{n}{m} (100-T_{i} )=c_{p}(m+(i-1)frac{n}{m} )(T_{i} -T_{i-1} )$

也就是：

$T_{i} -T_{i-1} =frac{100-T_{i-1} }{n+i}$

到這裡應該明白說81.6C的錯在哪裡了吧，就是因為沒有考慮質量的變化。

以下解這個數列我就隨意寫了哈：

移項變形得出如下：

$(n+i)T_{i} -(n+i-1)T_{i-1}=100$

……

$(n+1)T_{1}-(n+1-1) T_{0}=100$

然後疊加，於是：

$(n+i)T_{i} -nT_{0}=100i$

當然 $T_{0} =50$ ，也就是：

$T_{i} =frac{n}{n+i} 50+frac{i}{n+i} 100$

最後 $i=n$ 時，也無非：

$T_{n} =frac{50+100}{2} =75$

所以還是75℃。

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