補碼10000000為什麼可以表示-128？

01-05

計算機 C語言

很多人並不理解補碼。補碼就是同餘啊。1000000是正128你知道吧，正負128模256是同餘的。加減乘可以直接算也是同餘的定理決定的，而不是湊出來的巧合，哪可能湊出這種東西？

8位只能表示256個數，0到255，但我還想表示一些負數怎麼辦呢？就用與該負數同餘的正數來表示唄。-1=255，-2=254，等等。

建議脫離算數的思維方式，這其實就是一個環。模任何一個正整數（如256），可以把所有整數分類，比如模256可分256類，0 256 -256...是一類（餘0類），1 257 -255...是一類（餘1類），等等，這256類可看作環 $Z_{256}$ 的元素，你看-128和128是同一個類里的（餘128類），用一個代表另一個罷了。補碼和普通的unsigned integers都是在每類中選一個數，unsigned integers選0到255，補碼錶示的有符號整數選-128到127，都是一個數恰好對應一個類。

當你明白這一切後，補碼就是順理成章的事。

練習：設計用8位二進位數表示13至268這256個數的方案。要求作加減乘運算的時候，可以直接把編碼當正整數算，能得到正確結果。

可以參考這個： http://www.zhihu.com/question/20159860/answer/21113783

設w位二進位數x表示為 $x=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_{1},x_{0}]$

將該二進位數以補碼的規則解釋，有以下公式

$BST_w(x)=-x_{w-1}2^{w-1}+sum_{i=0}^{w-2}{x_i2^{i}}$

當 $x=[10000000]$ 時

$BST_8([10000000])=-1 imes 2^{7}=-127$

補碼和原碼的區別就在於最高位的「權重」從 $2^{w-1}$ 變為 $-2^{w-1}$ 。

為什麼會這樣，樓上各位已經說得很清楚了。

Reference:

Computer Systems - A Programmer"s Perspective 2ed, P60

題主可以試一下(-64)補+(-64)補，看最後的結果是否溢出。

-127的補碼是1000 0001，-128是在它基礎上減一。

別用原碼取反加一的方法去算補碼，別死心眼兒。

都知道第一位表示的是正負符號則：

0000 0000表示的是0

0111 1111表示的是127，這樣正數0-127就表示完了。

輪到表示負數了，負數第一位為1（規定的）則：

1000 0001表示的是-1

1111 1111表示的是-127，這樣負數就有-1到-127

發現負數好像還有一個1000 0000，表示0？正數已經有了，那就表示-128吧，不浪費。

你把 1000 0000補碼一下就是 1000 0000

計算機有兩種記數系統，二進位補碼記數法，和余碼記數法。

其中補碼記數系統是這樣構成的，先規定一定長度的0（二進位），接著在這個基礎上，用二進位計數，直到只有一個0，其他都是1，表示數值0,1,2,3……。負數的表示方法是這樣的，先規定一組適當長度的1，然後按照二進位反向計數，直到只有一個1，其他都是0。表示-1，-2，-3……。

具體一點舉個例子。先用基於長度為3的位模式來理解，三個二進位的0，表示0，那麼001表示1，010表示2，011表示3，停！只剩一個0，其他都是1了，此時我們在看負數，按照規定，111表示-1，反向計數開始，110表示-2，101表示-3，100表示-4，停！只剩一個1其餘都是0了。到此我們可以發現長度為3的位模式，可以表示的最小數為-4，即100，同理，如果位長度為4，那麼能表示的最小值為-8，即1000，那麼正常情況下一個位元組是八個位模式，那麼能表示的最小值為-2^7=-128即10000000。

另一種記數方法叫余碼記數法。他是用二進位1，作為最高位的第一個模式來，其餘都是0，來表示數值0。具體參考計算機科學概論1.6節。

因為它加128得0

這真的是定義的，這種定義使得

1. 符號位和數值域統一處理, 第八位用0和1來表示正和負

2. 正數=原碼，負數=反碼加一

你看 127 為 01111111，那麼－127 則為 10000000 + 1 ＝ 10000001，而－128 ＝－127 - 1，所以－128 ＝ 10000000.

[X] + [X]反+1 = 0

[X]反+1 = 0-[X]

[X]反+1 = -[X]

10000000,取反01111111, +1 後為10000000,1000000=128,再加上符號位就是-128