如何區分左和右？

01-05

從數學用語上講，我們只在三維歐氏空間的標準笛卡爾坐標系中習慣性地談論左右手系。我們想像著頭朝 Z 軸正方向，面朝 Y 軸正方向時，X 軸正方向朝右。嚴格地，標架 ( u, v, w ) 稱為（關於標準笛卡爾坐標系）屬右手系的，如果其在標準標架上行列式為正。定向平面上的逆時針旋轉，是指其旋轉變換矩陣行列式為正。這是將平面當成三維空間中 XY 平面、賦予標準定向看待的。而且，我們可以把 XY 平面的標準定向等同解釋為由三維空間標準定向和法方向 Z 軸正向唯一誘導的定向，從而使逆時針一詞聽起來比較合理。

在定向三維流形或定向曲面的場合，談論標架的手性和旋轉的逆順總是以上面的模型為局部約定。比如，對於定向帶邊曲面，我們說內法向誘導的邊界定向使得曲面落在沿邊界前進方向的右邊，其中說的右邊就是這樣的用法。

這種約定大概來自笛卡爾坐標系對我們所在的自然局部空間的描寫。對平原上生活的人類來說，有兩組常見的指向詞，上下東西南北，前後左右俯仰，前者是絕對的（方），後者是相對的（面）。有了鐘錶就可以談論逆時針和順時針，而鐘盤方向來自約定俗成。實際上，時針的旋轉方向約定還很可能來自北溫帶白天的日影運動。總之，左右和其它一些指向詞都是通過人類的自然經驗形成的用語。把這些用語從自然空間搬到幾何空間的最後一步是，在歐氏空間建立符合這些經驗的笛卡爾坐標時，我們如臨其境，即想像它與牛頓空間直觀地重合，然後添加約定說，迎著 Z 軸看起來 X 軸必須逆時針旋轉 90° 才到 Y 軸。這個要求好像沒有什麼特別的道理，不過到今天也被固定了下來。

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數學中可能只有極少數場合才需要小心（或者能夠放心）使用左和右的術語，而且都來自習慣性約定。我能想到的有：（1）右手三葉結（righthand trefoil）特指具有某個 Jones 多項式的三葉結，因為約定了三維空間的標準定向；（2）群在其 Cayley 圖上的兩個乘法作用，一般只有左乘給出的那個是保距的，因為約定了 Cayley 圖的邊是通過右乘生成元添加的；（3）定向閉曲面上可以區分右手或者左手的 Dehn twist，這樣的叫法比正負 Dehn twist 意思更清楚。

謝邀. 就我不多的數學知識來看，暫時沒有想到數學上一定要區分左右的地方……能想到的，比如說左手系和右手系，群的左乘和右乘，李群的左不變向量場和右不變向量場，還有左模和右模，左理想和右理想。。都可以通過一個轉換把左變成右，也就是說，不管對哪個對象談論左，總是可以和對另外一個對應的對象談論右的效果是一樣的。。

根據宇稱不守恆定律，部分物理反應中，左右方向表現是不同的，以此定義和區分左右

找個宇稱不守恆的作用，比如弱相互作用