怎樣理解流體力學中的拉格朗日描述和歐拉描述？
才學流體的物理狗，感覺書上這兩種描述很抽象呀~~
若能科學上網，這個片子絕對是值得一看的：http://www.youtube.com/watch?v=mdN8OOkx2ko歐拉表述側重於「場」，把流體的性質（質量密度、速度、溫度、熵、焓，甚至單位流體中的磁通量，等等）定義為空間位置+時間的函數。通俗地說，是把空間分成一個個的小屋子，屋子的位置是不變的，流體可以自由進出這些小屋子；在計算的時候，給每個小屋子一個「門牌號」；在演化之後，我們關注的是每個門牌號的屋子裡頭到底在發生什麼：想知道某個屋子裡頭長啥樣，按著門牌號敲門就好。
拉格朗日表述側重於「質點」（或者叫「流體微元」），把流體的性質按著質點/流體微元，來逐個定義；定義的方法，通常是把這些性質寫成初始坐標的函數——也就是說，用質點的初始坐標來描述質點。通俗地說，就是把流體劃分成一個個的小包裹，包裹的位置一直在移動，大小也會變化，但流體不會穿透包裹的皮兒。一開始的時候，先給小包裹們編號；在演化之後，都是按著包裹的編號來找包裹，再拆開看裡頭變成啥樣了。若想像歐拉表述里那樣按照空間位置去找包裹，反而不太容易。
誠如樓上所說，拉格朗日表述在關注流體所攜帶東西時特別管用，包括但不限於：霧霾粒子、河流中的泥沙、水中的氣泡、風洞中的示跡的煙，乃至風中的樹葉、大洋中的魚群，如是等等——因為它們很少穿透包裹皮兒。特別地，那套 MIT 的流體力學教學視頻中，用電解水的方式產生氣泡，進而指示水的流動、演示流體現象——第一個發明這個演示技術的人，請受我一拜……而歐拉表述，則特別適用於研究流體在一定空間區域內性質的分布（出了這個區域咱不關心），如大橋周圍的狂飆。這種情形下，若用拉格朗日表述，就會有這些麻煩：1. 我們會跟著一個小包裹走出很遠很遠，走出了我們關心的區域，卻還在跟著呢；2. 大橋的牽拉鋼索上的某一點受到大風的多大作用力呢——這可真麻煩，因為，不同時刻，在鋼索上的那一點的包裹的編號都是不一樣的（但，相對地，若用歐拉表述，那兒的「門牌號」總是一樣的）。但總之，兩套表述，原則上可以互相轉換。當然，在更廣泛的意義上，還有一些關於這兩套表述的有趣事兒。胡侃開始。在相對論流體力學中，使用拉格朗日表述，通常更為方便：因為，這時候，把每個包裹按著相對論中處理質點的方法來處理，就立即能滿足「方程要有洛倫茲/龐加萊不變性」的要求；而若用歐拉表述，「坐標架子該怎麼搭」，就成了一個麻煩事兒——特別是在廣義相對論中：非平凡的時空幾何，有時可以把這個問題下的相應計算變成一個超級噩夢。當然，您要是在穩態時空中研究自身引力可忽略的系統（比如克爾黑洞周圍的吸積盤），就當我啥也沒說。
在宇宙的大尺度結構研究中（這時研究對象並非整個宇宙，廣義相對論效應因而通常並不重要，所以，用牛頓力學就好了），若是做數值模擬，目前流行的是如此的「混合手段」：用歐拉方法處理常見的物質（所謂「重子物質」，也叫氣體，它是有壓強的流體），同時用拉格朗日表述下（或者，更應該稱為「與拉格朗日表述具有共同精神」）的 N-體模擬的方法處理暗物質（其實就是丟了一堆只被引力影響的粒子進去：那堆暗物質粒子本身是不會產生氣體一般的壓強的）。若是做解析計算，則若微擾展開的階數相同，拉格朗日方法通常會比歐拉方法更加精確（Matsubara 2008a,b）（這時候就通常只能處理暗物質了）。因為…… 好吧，一個星系團中的暗物質，差不多就是那樣的一個包裹；而星系團這個包裹一旦形成了，常常也就不那麼容易再散開了。但是，在很多中小尺度且氣體內部的有壓強和耗散機制的模擬中，拉格朗日方法是有缺陷因而不是那麼常用的：它無法處理 shell-crossing——也就是「超車」（Carlson et al. 2008），也不容易處理激波。因為，通常的拉格朗日表述，是假定了「小包裹和它的編號總能一一對應」的，而且越「靠前」的包裹「編號越大」。這樣，只要後一個「小包裹」超了前一個的車（超車過程中，必有一刻，兩個包裹的位置重疊），這套假定就凌亂了：此時，很多方程會出現奇異性，或者直接發散掉。所以，在拉格朗日體系中處理「超車」，是需要一些特殊的技巧的。ReferencesMatsubara T., 2008a, Phys Rev D, 78, 083519
Matsubara T., 2008b, Phys Rev D, 77, 063530Carlson J., White M., Padmanabhan N., 2008, Phys Rev D, 80, 043531
為了了解歷史，你去看張三李四的家譜，就是拉格郎日觀點。
去查地方志，就是歐拉觀點。謝邀。
當年學課本時也覺得比較抽象。後來遇到具體項目後才發現兩種方法都是實用且易於理解的。
例甲：某北方城市污染嚴重，霧霾頻繁。當地氣象部門需要計算何種氣象條件下霧霾將會緩解，以預報並指導該地區即將發生的國際馬拉松賽事安排。這個問題的關鍵，是某一初始時刻，某空間位置上的流體（霧霾發生區域某處的空氣）的運動軌跡（以判斷其是否能夠，及何時能夠離開該城市）。至於固定空間點上流體情況如何（風速和氣溫）雖然可以計算出來，但並不重要。這就是拉格朗日方法描述。
例乙：某南方城市颱風頻發，又需要建設一條跨海大橋。設計單位希望該橋在當地百年一遇的災害天氣下不出現無法修復的結構問題。問題的關鍵，是計算空間點中流體的運動狀態（建築表面上流體的運動情況，如速度和壓強）。而氣流在到達建築附近之前是來自何處，離開建筑後去往何方都不重要。這就是流體的歐拉方法描述。
【課後作業】
例丙：某新型飛機翼型開發，需要用數值模擬和實驗的方法確定其升力。該項目中對流場應採取何種描述？拉格朗日法用來描述一個質點的運動，用初始時刻的坐標來標記質點，記錄這個質點每時每刻所在的位置。用數學來表達就是r(a,b,c,t)，這裡a,b,c就是初始時刻質點的坐標。拉格朗日描述其實就是理論力學裡的方法。歐拉法描述固定的空間點上的流體狀態，記錄每一時刻流過這個點的流體質點的速度，比如說t1時刻質點1流過這個空間點，我們就記錄他的速度v1，t2時刻質點2（不是質點1了）流過這個點，我們記錄速度v2。歐拉法不關心某一個質點的流動，只關心固定空間點上的流動，用數學來表達就是V(x,y,z,t)，這裡x,y,z就是空間點的坐標了。如果固定時間t，可以看做在空間每個點上放了一個矢量v，這就是矢量場。歐拉法配套場論，梯度散度旋度都是針對歐拉法而言的
「拉格朗日法就像籃球里的人盯人，歐拉法就像聯防。」拉格朗日法關注的是質點本身，歐拉法關注的是位置。
簡單的說，拉格朗日方法就是著眼於研究流體質點的運動，和以前理論力學分析質點運動方法是一致的，只不過流體不再是剛體而是變形體；歐拉方法是從場的觀點研究。在連續介質假設下，流場中物理量看作連續分布的函數。這樣可以用矢量分析的工具來處理。舉個形象的例子，跑馬拉松時，你跟著一個選手拍照，這是拉格朗日方法；你站在邊上，給經過的人拍照，這是歐拉方法。
一言以蔽之，拉格朗日跟著流體微團跑，歐拉不跟著跑
手機答一下，上個學期剛剛學過流體力學。 我們老師的講法是，假設教室里的同學是水分子，歐拉法就是拍照片，拉格朗日法就是對著某一個同學錄像。所以想得到整個教室學生的運動狀態有兩種方法，一是用照相機覆蓋教室里所有的位置，一是在所有同學身上安一個攝像機。前者對應歐拉法，後者對應拉格朗日法。
感覺以前上課老師講過的一個描述挺形象的。拉格朗日描述就是來了一個美女，你跟著她研究她。研究對象是一個美女。歐拉描述就是你坐在路邊不動，看著美女路過。研究對象是你視線里路過的那美女。
我個人覺得有點類似波形圖和質點運動曲線的關係。
學術向的解釋請參考其他答主，我覺得就是這樣，拉格朗日描述就是描述質點的人生歷程，啥時候在哪兒（位移），或者啥動作（速度）等等。歐拉描述就是每分每秒的大合照，從相片里只可以知道在拍攝的瞬間，處在A位置的質點有啥動作（速度），等到下一張照片，還是只能知道A位置的質點有啥動作（速度），但是「鐵打的A位置，流水的流體質點」，最後得到的只是A位置不同時刻的動作（速度）信息。
Lagrange描述和Euler描述是描述物體運動的兩種方法，@耿添的介紹已經很好了，我再補充一下。描述物質的運動簡單來說就是描述不同時刻物質點所相對參考系的位置，所以這裡面存在兩個坐標系，一個是空間坐標，一個是物質坐標。空間坐標比較好理解，就是固定在參考繫上不動的坐標，一般認為是Cartesian坐標系，但是也可以是曲線坐標系；物質坐標是物質點的編號，一般情況下是以
導師剛講這個內容，簡單理解就是：E描述法就是你站在橋上看水裡的魚，不同時刻都是不同的魚以不同的速度經過，你並不關心這些魚從哪裡來到哪裡去；L描述法是你坐在一條魚身上跟著他一起在水裡游，你知道他從哪裡出發往哪裡去，也就是這條魚全程的運動狀態你是知道的
告訴你一個跟現實的類似法。話說，開學初期，某男對某女一見鍾情，於是某男想要了解某女的生活，進一步研究她。那麼，問題來了，他該怎樣去掌握某女的行為規律呢？這裡給你兩種方法，一，尾隨法嘛，她去那，你去那，她在那，你在那，跟她個幾個月，這就OK啦；二，靜待法嘍，這個是需要你發動身邊的人，在女生可能出現的不同的點守著等待，講她不同時間不同點的行為告知你，這也就OK啦。第一種方法就是拉格朗日法，對一個固定點進行追蹤，研究它一路上的運動特點，第二種方法就是歐拉法，研究不同的時間不同的地點研究點的運動特點。
你可以想想成 Euler描述是一個黑盒子 你只關注進去的和出去的Langrange描述是你抱著一個粒子 跟著流體流， 你可以知道他時刻的狀態
我們老師說：拉格朗日描述就是盯人防守；歐拉描述就是區域防守。哈哈
時間平均與系綜平均
我能說到現在我都還沒有看明白嗎。不過我想說一下，希望有高人能給我幫忙解釋更清楚。
首先，我要說，拉式和歐式描述法是完全不同的兩個東西，他們如果有相等也不過是數值上的湊巧，根本不是同一個意義。x=X是所有巧合的開始。
所有和空間xyz相關的，全部是歐式，拉式只和具體的物質相關，和空間相關只不過是某一刻他們恰好「重合」了。另外有τ的一定是拉式，歐式只和t相關，拉式才有t-τ的出現，具體而言，歐式只和「這一刻t」相關，即使涉及到導數及高階導數也是△t趨近0，換言之，是和時間假相關，這個和過去的具體任何時間都沒有關係，理解一下，就是說我們測得這一刻物體的速度，是求導得到的，但是△t趨近0，和之前任何具體的點t0都沒有關係。拉式是不一樣的，從某個具體時刻t0到t，也就是t-τ時刻內所有的變化（其實早已經變到不知道什麼樣子了，說不定當年的一個包裹已經分散到世界各個角落了。）都相關的，是過去某一堆物質（和坐標無關）的延續。跟相對論里的comoving frame和stationary frame的道理一樣。
我也不懂，我只知道就是描述物體的參考坐標不一樣。一個是以運動前的坐標，一個是運動後的坐標。抽象吧
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