Black-Scholes方程中為什麼會沒有股票收益項μ？類似地，為什麼二叉樹定價和真實概率P無關？

01-05

我知道推導，我只想能聽到一個感性上的解釋，好多年了，總是不能特別好的說服自己

因為不太熟悉自護排版，就寫在了word里，然後截圖粘貼過來了。手機黨請注意流量。

我寫了這麼多，zhihu你說我內容為空？

兩張圖是我昨天給學生上課時寫的東西，東西不多，但更直觀便於理解。記住定價的原理和規則是No Arbitrage就好了。

最直觀的理解是，股票的預期收益率 $mu$ 是由於股票波動帶來的超額風險所帶來的回報，如果BS定價公式中存在股票價格的漂移項 $mu$ ，那麼這部分風險就被多次計算，就有套利機會。根據金融學第一基本定理，存在等價鞅測度（風險中性測度）的充要條件是市場無套利，那麼可以通過等價鞅測度方法得出的BS公式自然也不會含有 $mu$ 。

更加形式化的說法是，

$dS_t=mu S_tdt+sigma S_tdB_t=(mu-sigmafrac{mu-r}{sigma})S_tdt+sigma S_tdhat{B}_t$

其中 $B_t$ 是真實概率測度， $hat B_t$ 是風險中性測度，可以看出，股票所要求的期望收益率 $mu$ ，是無風險利率 $r$ 和標準差 $sigma$ 的線性組合。這個期望收益率與CAPM的形式相一致，恰是因為風險中性測度存在等價於市場無套利機會，而無套利均衡和線性定價法則是題目給定的條件下是等價的。

更進一步理解， $mu$ 與 $r$ 的不同反映的是投資者的風險厭惡，股票期望收益率高出無風險收益率的部分被投資者的風險厭惡所抵消掉了。對風險資產的定價，需要通過隨機貼現因子對投資者的風險厭惡進行量化評估，而等價鞅測度相對於原測度的Radon Nikodym導數 $dQ/dP$ 就是隨機貼現因子的累積值，將原本的「風險價格」 $frac{mu-r}{sigma}$ 變為 $0$ 。在變化前的概率測度下投資者風險厭惡，在變化後的概率測度下投資者風險中性。由於風險中性的條件下才可以從未來的現金流計算現值，所以出現在BS公式里的是無風險利率 $r$ 而非股票期望收益率 $mu$ 。

參考內容：

史樹中《金融經濟學十講》

張順明、趙華《金融經濟學》

為什麼歐式股票期權的價值與股票的期望收益率無關？ - 金融

珠玉在前，都是技術的，偏理性的，答主想聽感性的

我就說說我理解的

技術上來看，每一個時間點都是表達了之前所有的信息。達到了市場買方和賣方的一個平衡

所以，下一個時點的概率就不用考慮了。

舉個栗子，市場上只有兩個人，我和我的對手盤

對於下一秒，我預期80%會漲到10，所以我買，而我的對手盤，認為60%會跌到5，會賣

最終達到我們的平衡則可能是價格為8

雖然每個人的預期不同，但是下一秒的價格總會隨著大家的博弈達到一個短暫的平衡

所以無需考慮概率了，被抵消了。

當我們用驅動方程dS來描述一個標的資產價格過程的時候，通常是在「客觀測度「（physical measure）的意義下，這個所謂的客觀測度就是使得dw成為布朗運動的那個測度。其實你應該知道，當我們定義一個隨機過程的時候，先要在底空間上定義一個概率測度。一個隨機過程是不是布朗運動取決於你在空間上賦予什麼樣的測度。既然你的方程裡面出現了dw項，說明你已經承認這個空間上已經有了這麼一個客觀測度，否則方程本身沒有意義。

但是，你再看這個方程，發現它不但有dw項，還有dt項，由鞅的表示定理知道，這時方程描述的價格過程不是一個鞅。不是一個鞅會怎樣？說明價格過程的期望值隨著時間的變化而變化，它不是一個常數，處理起來會有很多技術上的問題。於是你想知道能不能把它變成一個鞅？

可以。但是需要轉換計價單位，即把這個價格過程轉化為「相對價格」過程。計價單位選什麼好呢？任何一個市場上都有「無風險」證券，比如國債的收益率曲線可以認為是無風險收益率。為了方便起見，我們採用它作為計價單位，記為B，dB = r * B dt。在這個計價單位下，把 d(S/B)用ito公式展開得到一個新的方程，即相對價格過程方程。Girsanov定理說，為了使新方程是鞅，我們需要定義新的測度，不同於客觀則度的測度。既然定義了新的測度，那麼原來的dw也就不再是一個布朗運動了，而我們有了新的布朗運動dw*。在新測度之下，把dw*帶回原方程，這時你發現mu不見了，取而代之的是r。

其實，選無風險計價單位只是為了方便，你可以選任何一個你感興趣的計價單位，相應的BS方程會表現出不同的形式，比如描述匯率的方程就跟BS方程不同，BS方程本來就有多種形式。

任何資產，任何時候，以無風險利率r貼現到現值的期望相等！！！其實就是說我們現在金融衍生品市場中基礎的定價模型基本都是以風險中性以及標的價格符合幾何布朗運動為假設前提的。那麼就是用無風險收益率r替代了定價公式中的最初的漂移率miu（具體參照Girsanov theorem）。而在二叉樹定價模型中的上漲或下跌概率也是在風險中性的假設前提下而計算出來的風險中性概率，是與真實的價格上漲下跌概率無關的。

考慮一階段二叉樹，上漲事件state 1，下跌事件state 2。我們要構造一個複製資產組合，使得資產組合在期末的價值等於期權的payoff，就是說，無論在一階段後世界到了state 1 （股票上漲到S*u）還是state 2（股票下跌到S*d），複製資產組合的價值都要等於payoff. 無論上漲的概率多麼小，只要不為0，這個state還是有可能的，複製資產在這個state就必須等於這個state的期權payoff。也就是說，在配置複製資產組合的時候，需要考慮的只是各個概率不為0的state下股價的變化，而不用關心這個state的可能性有多大（可能性不為0就夠了）。

為什麼歐式股票期權的價值與股票的期望收益率無關？ - 知乎用戶的回答 - 知乎

P.S. 『風險中性測度』是個很差勁的術語，個人還是更喜歡鞅測度的叫法，可以減少混淆概念和誤導的幾率。其實測度的變換並沒有改變投資者風險厭惡的事實（因為風險中性定價整套東西根本和投資者的風險偏好程度無關，真能和風險偏好有點關係的就是這個很弱的「不存在無風險超額利潤」的無套利假設），也不成立「測度變換之後便來到了一個投資者們都風險中性的世界」的說法。假設存在風險中性測度，那麼風險中性定價定出來的價格就是說：給我這麼點錢，我就能做到毫無風險地在期權到期時給你一個和期權一樣的payoff。具體來說，先構建一個資產組合，通過連續交易調整資產組合，無論股價如何變化，到了期權到期的時候這個資產組合的價值剛好和期權payoff一樣。

P.P.S. 然而由於無法實現連續交易，所以現實中沒法實現無風險複製，所以現實中的期權價格還是脫離不了風險偏好。Options are not redundant assets.

簡單說就是不管mu怎麼樣，期望意義上你都能把它對衝掉。所以不需要它。

μ其實就是標的證券的預期收益率，在BSM偏微分方程推導的過程中，認為在極短的一段時間內，你構建的「標的證券+期權的無風險組合」的瞬時收益率等於該段時間的無風險收益率，因此μ就沒了。

不能輕視假設的意義，背後含義是所有參與者都是風險中性的，主觀偏好並不影響期權定價。而二叉樹是通過密集的離散運算近似連續，時刻保持你的組合是無風險組合，以便在每個短時間間隔上可以使用無風險收益率近似瞬時收益率。構建無風險組合，就是為了扔掉真實概率。但既然是近似，該定價方法自然存在問題，因為真實的參與者是風險厭惡的。

PS：

從結論而言，問題出在下面的公式上：

具體而言，問題出在推導過程中的這一步：

其實，風險中性假定只是一種純技術假定，加以修改，還是可以適用於風險厭惡的真實情況的。

無套利等價於風險中性。

前面各種大大已經解釋的很清楚了，我來貼一個Pearson Derivatives Market書上的解釋，理解的不對還請大神指教

假設風險中性概率為p*，真實的概率為p

p*滿足的式子是p*uS+(1-p*)dS=Se^(r-δ)h，其中r是名義利率，δ是股利率

同理，當只有一隻股票的時候，有puS+(1-p)dS=Se^αh，這個α就是真實的純股票回報率，這個式子下沒有引入call或put

當用一個portfolio去模擬這個hedged position (比如股票+call）的時候，假設用△單位個股票+B單位的lending能夠完全模擬這個portfolio，那麼我們可以得到：

e^γh=S△e^αh/(S△+B)+Be^rh/(S△+B)，γ為這個portfolio的回報率，由股票回報+lending回報組成

這個時候的γ才是正確的貼現率

如果這個時候計算Call premium的話，就會發現使用γ作為貼現率的時候，e^γh(pCu+(1-p)Cd)就成立了

也就是說，這個portfolio的風險不僅僅是由股票帶來的，而是一個portfolio組成的，option的存在本身就已經hedge了股票的一部分風險，所以不能單純地用股票的實際概率p來模擬risk neutral，如果對這個portfolio的風險和回報進行修正以後，就可以用真實概率來求解option price了。

「風險中性概率定價」這個概念是期權定價有史以來最大的偽概念。正確的提法應該是「鞅測度速算定價」。

可以證明，自融資的調倉對沖方程組可以化簡為

d(V/B) = b( d(S/B) )

或者

d(V/S) = a( d(B/S) )

d為微分運算，而a和b為常量

也就是到這一步了，我們似乎可以用常微分方程的方法來解，如果右邊的微分是dt那種東西，相信你已經解出來了，是一個冪函數。但是本質上右邊既有dt，又有dW，是大雜燴。Harrison假設右邊只有dW，那就好辦了，我們對兩邊做積分，得出來的東西必然是均值為初始值的正態隨機變數。既然如此，就可以再取期望

E[Vt/Bt] = [Vo/Bo] (當且僅當 d(d(S/B))/dt == 0 )

這不就可以解出來了么？

或者

E[Vt/St] = [Vo/So] (當且僅當 d(d(B/S) )/dt == 0)

這也可以解出來了

教科書一般管第一種叫風險中性定價，第二種叫numeraire分母定價，其實只不過都是鞅速算的實現形式。詳細推導請見我在SSRN的論文Illustration on Martingale Pricing without Risk Neutral Measure.

風險中性下的定價，這樣mu 即股票收益率等於無風險利率了。

風險中性下的導出的幾個分數成了概率，這個概率是風險中性的。