學習數學需要數學天分嗎，還是靠努力也可以學？

01-05

我知道數學是一門很優雅的學科，但是我數學能力很一般，比較抽象的線性代數多重幾何已經比較難以理解了，很擔心自己對後面數學物理方程等一系列進階數學的理解力。我沒有想要成為數學研究者，但是僅從一般的數學應用學習上，努力是否能起到作用？
（什麼高中數學高考啥的就算了，那不是數學，只是算術。我高考數學接近滿分，但是仍然意識到自己對數學的理解力非常差，高考和學數學是兩回事。）

1.陶哲軒有篇文章，是專門講這個問題的，這裡貼出它的英文版和中文版，如下

Does one have to be a genius to do maths?

by Terence Tao

（http://terrytao.wordpress.com/career-advice/does-one-have-to-be-a-genius-to-do-maths/）

Does one have to be a genius to do maths?

The answer is an emphatic NO. In order to make good and useful contributions to mathematics, one does need to work hard, learn one』s field well, learn other fields and tools, ask questions, talk to other mathematicians, and think about the 「big picture」. And yes, a reasonable amount of intelligence, patience, and maturity is also required. But one does not need some sort of magic 「genius gene」 that spontaneously generates ex nihilo deep insights, unexpected solutions to problems, or other supernatural abilities.

The popular image of the lone (and possibly slightly mad) genius – who ignores the literature and other conventional wisdom and manages by some inexplicable inspiration (enhanced, perhaps, with a liberal dash of suffering) to come up with a breathtakingly original solution to a problem that confounded all the experts – is a charming and romantic image, but also a wildly inaccurate one, at least in the world of modern mathematics. We do have spectacular, deep and remarkable results and insights in this subject, of course, but they are the hard-won and cumulative achievement of years, decades, or even centuries of steady work and progress of many good and great mathematicians; the advance from one stage of understanding to the next can be highly non-trivial, and sometimes rather unexpected, but still builds upon the foundation of earlier work rather than starting totally anew. (This is for instance the case with Wiles『 work on Fermat』s last theorem, or Perelman『s work on the Poincaré conjecture.)

Actually, I find the reality of mathematical research today – in which progress is obtained naturally and cumulatively as a consequence of hard work, directed by intuition, literature, and a bit of luck – to be far more satisfying than the romantic image that I had as a student of mathematics being advanced primarily by the mystic inspirations of some rare breed of 「geniuses」. This 「cult of genius」 in fact causes a number of problems, since nobody is able to produce these (very rare) inspirations on anything approaching a regular basis, and with reliably consistent correctness. (If someone affects to do so, I advise you to be very sceptical of their claims.) The pressure to try to behave in this impossible manner can cause some to become overly obsessed with 「big problems」 or 「big theories」, others to lose any healthy scepticism in their own work or in their tools, and yet others still to become too discouraged to continue working in mathematics. Also, attributing success to innate talent (which is beyond one』s control) rather than effort, planning, and education (which are within one』s control) can lead to some other problems as well.

Of course, even if one dismisses the notion of genius, it is still the case that at any given point in time, some mathematicians are faster, more experienced, more knowledgeable, more efficient, more careful, or more creative than others. This does not imply, though, that only the 「best」 mathematicians should do mathematics; this is the common error of mistaking absolute advantage for comparative advantage. The number of interesting mathematical research areas and problems to work on is vast – far more than can be covered in detail just by the 「best」 mathematicians, and sometimes the set of tools or ideas that you have will find something that other good mathematicians have overlooked, especially given that even the greatest mathematicians still have weaknesses in some aspects of mathematical research. As long as you have education, interest, and a reasonable amount of talent, there will be some part of mathematics where you can make a solid and useful contribution. It might not be the most glamorous part of mathematics, but actually this tends to be a healthy thing; in many cases the mundane nuts-and-bolts of a subject turn out to actually be more important than any fancy applications. Also, it is necessary to 「cut one』s teeth」 on the non-glamorous parts of a field before one really has any chance at all to tackle the famous problems in the area; take a look at the early publications of any of today』s great mathematicians to see what I mean by this.

In some cases, an abundance of raw talent may end up (somewhat perversely) to actually be harmful for one』s long-term mathematical development; if solutions to problems come too easily, for instance, one may not put as much energy into working hard, asking dumb questions, or increasing one』s range, and thus may eventually cause one』s skills to stagnate. Also, if one is accustomed to easy success, one may not develop the patience necessary to deal with truly difficult problems. Talent is important, of course; but how one develops and nurtures it is even more so.

It』s also good to remember that professional mathematics is not a sport (in sharp contrast to mathematics competitions). The objective in mathematics is not to obtain the highest ranking, the highest 「score」, or the highest number of prizes and awards; instead, it is to increase understanding of mathematics (both for yourself, and for your colleagues and students), and to contribute to its development and applications. For these tasks, mathematics needs all the good people it can get.

做數學一定要是天才嗎?

翻譯作者：劉小川（南開大學數學博士，個人主頁：http://liuxiaochuan.wordpress.com/）

這個問題的回答是一個大寫的：不！為了達到對數學有一個良好的，有意義的貢獻的目的，人們必須要刻苦努力；學好自己的領域，掌握一些其他領域的知識和工具；多問問題；多與其他數學工作者交流；要對數學有個宏觀的把握。當然，一定水平的才智，耐心的要求，以及心智上的成熟性是必須的。但是，數學工作者絕不需要什麼神奇的「天才」的基因，什麼天生的洞察能力；不需要什麼超自然的能力使自己總有靈感去出人意料的解決難題。

大眾對數學家的形象有一個錯誤的認識：這些人似乎都使孤單離群的（甚至有一點瘋癲）天才。他們不去關注其他同行的工作，不按常規的方式思考。他們總是能夠獲得無法解釋的靈感（或者經過痛苦的掙扎之後突然獲得），然後在所有的專家都一籌莫展的時候，在某個重大的問題上取得了突破的進展。這樣浪漫的形象真夠吸引人的，可是至少在現代數學學科中，這樣的人或事是基本沒有的。在數學中，我們的確有很多驚人的結論，深刻的定理，但是那都是經過幾年，幾十年，甚至幾個世紀的積累，在很多優秀的或者偉大的數學家的努力之下一點一點得到的。每次從一個層次到另一個層次的理解加深的確都很不平凡，有些甚至是非常的出人意料。但儘管如此，這些成就也無不例外的建立在前人工作的基礎之上，並不是全新的。（例如， Wiles 解決費馬最後定理的工作，或者Perelman 解決龐加萊猜想的工作。）

今天的數學就是這樣：一些直覺，大量文獻，再加上一點點運氣，在大量連續不斷的刻苦的工作中慢慢的積累，緩緩的進展。事實上，我甚至覺得現實中的情況比前述浪漫的假說更令我滿足，儘管我當年做學生的時候，也曾經以為數學的發展主要是靠少數的天才和一些神秘的靈感。其實，這種「天才的神話」是有其缺陷的,因為沒有人能夠定期的產生靈感，甚至都不能保證每次產生的這些個靈感的正確性（如果有人宣稱能夠做到這些，我建議要持懷疑態度）。相信靈感還會產生一些問題：一些人會過度的把自己投入到大問題中；人們本應自己的工作和所用的工具有合理的懷疑，但是上述態度卻使某些人對這種懷疑漸漸喪失；還有一些人在數學上極端不自信，還有很多很多的問題。

當然了，如果我們不使用「天才」這樣極端的辭彙，我們會發現在很多時候，一些數學家比其他人會反應更快一些，會更有經驗，會更有效率，會更仔細，甚至更有創造性。但是，並不是這些所謂的「最好」的數學家才應該做數學。這其實是一種關於絕對優勢和相對優勢的很普遍的錯誤觀念。有意義的數學科研的領域極其廣大，決不是一些所謂的「最好」的數學家能夠完成的任務，而且有的時候你所擁有的一些的想法和工具會彌補一些優秀的數學家的錯誤，而且這些個優秀的數學家們也會在某些數學研究過程中暴露出弱點。只要你受過教育，擁有熱情，再加上些許才智，一定會有某個數學的方面會等著你做出重要的，奠基性的工作。這些也許不是數學裡最光彩照人的地方，但是卻是最健康的部分。往往一些現在看來枯燥無用的領域，在將來會比一些看上去很漂亮的方向更加有意義。而且，應該先在一個領域中做一些不那麼光彩照人的工作，直到有機會和能力之時，再去解決那些重大的難題。看看那些偉大的數學家們早期的論文，你就會明白我的意思了。

有的時候，大量的靈感和才智反而對長期的數學發展有害，試想如果在早期問題解決的太容易，一個人可能就不會刻苦努力，不會問一些「傻」的問題，不會嘗試去擴展自己的領域，這樣遲早造成靈感的枯竭。而且，如果一個人習慣了不大費時費力的小聰明，他就不能擁有解決真正困難的大問題所需要耐心，和堅韌的性格。聰明才智自然重要，但是如何發展和培養顯然更加的重要。

要記著，專業做數學不是一項運動比賽。做數學的目的不是得多少的分數，獲得多少個獎項。做數學其實是為了理解數學，為自己，也為學生和同事，最終要為她的發展和應用做出貢獻。為了這個任務，她真的需要所有人的共同拼搏！

（完）

2.契訶夫說過：大狗要叫，小狗也要叫。這就是說，即使寫作水平達不到托爾斯泰那樣高度，仍然可以成為一個作家。作家水平有高低，各有各的價值和獨到之處。托翁大概總體水平比契訶夫要高，但契的短篇也有很多托翁所不及之處。

3.做數學大概也是如此吧。

數學的許多領域和方向在難度、意義、影響力上，有從高到低的各個層次，它們都是數學大廈的一部分。大數學家做大課題，小數學家做小問題，都是為了人類心智的榮耀。

眾所周知，現在已沒有龐加萊一類的百科全書式數學大師了。數學分支何其多也，他們的發展進步絕不能只依靠少數幾個天才。

所以我認為，一個智力中等的人，只要堅持不懈地努力奮鬥，就可以在數學界站穩腳跟。才智超群並不是必需的。

當然要想在數學史中留下痕迹，那就有點難了

題主看來對數學和高中數學的區別是有深刻認識的。按照我的經驗，學習數學最好的方式就是帶著問題去學。例如，對於線性代數，你可以提出問題：有沒有解n元線性方程組的通法？然後你就認真學這一部分，把它搞明白。一個問題解決了，代表你的數學能力有所提升。你提出的問題，可以是具體的，也可以是抽象的，可以是特例，也可以是一般情況。按照我的認識，數學就是不斷提問的知識，而且問題越來越大，越來越廣泛，所以從問題入手學習數學，我以為是把握住了數學的性質。如果說數學需要什麼天賦，我看就是提問的天賦了。

謝邀...然而我對真正的數學也不了解，沒法回答啊orz

天才們一臉真誠回答說: 不需要你是天才，努力就好

這個問題，你應該邀下認知神經科學的人：）

要想研究如何跑的快，研究運動學的人可能比跑步名將更懂些。

同理，要想研究如何學好數學，研究大腦的人可能比國家隊的俞辰捷小朋友更專業^_^

大腦的不同模塊處理不同的功能。有的人的運動處理區域發達，有的人的音樂處理區域發達。

科學家也發現，雄性動物的空間想像能力比雌性動物強。

人類的基本能力的大腦模塊激活區域基本一致。比如看到一隻狗，大部分人類的大腦都激活了視覺區域中模擬狗的圖像和聽覺區域中狗的叫聲的模擬，甚至「狗是忠誠的，貓是奸詐的」，「狗和狼比較像」等等知識區域。

所以，學習數學，你的抽象邏輯處理的大腦區域是有天生的影響。

理解特別專業的抽象知識時，涉及到了大腦的很多區域的功能聯結。一個相同的抽象概念，在不同人腦中的激活的區域可能就完全不一樣了。比如「線性相關」這個數學概念，在普通人腦中可能只和一個數學概念這樣的知識產生聯結，甚至一個誤解性的聯結。

但是在數學專業人的大腦中就能產生各種專業準確的聯結，比如會想像一個三維立體空間，一個平面上的3條線是線性相關的，立體的3個軸就是線性無關的。再比如矩陣初等變換得到的秩的幾個方程是線性無關的，多餘的方程就是線性相關的。

所以，即使大腦的抽象推理能力不強，也可以通過準確深入的理解一個數學概念提高自己的水平。學習數學概念的時候，不要死記其定義，要對數學概念的直觀含義產生專業準確的大腦聯結。

以樓主高考數學水平也不能理解線性代數，不是線性代數太難了，而是上課的老師不會教。

《麻省理工公開課：線性代數》講課的一隻眼睛睜不大的Gilbert Strang教授是美國有名的數學家，下面前6幅貼圖這個網易公開課第一課視頻的跟帖評論，第7幅貼圖是MIT另一門公開課評論，看了就明白中美兩國在高等教育的差距。不過，美國牛的就是排前七、八名的藤校，其他學校也一般，美國二流的相當於國內一流大學水平。

馬克一下，最近在總結數學學習方法，有空了把博客貼上來。

嗯...我覺得是你沒有花時間在線代上