量子化的定義是什麼？量子化的理論一定會出現普朗克常量h嗎？

01-05

這個回答著重於理解後半個問題: 量子化的理論一定會出現普朗克常量 h 嗎?

答案是肯定的, 從量綱分析就可以看出來.

氫原子外繞原子核運動的電子能量為動能與靜電勢能之和:

$E=frac{1}{2}m_ev^2-frac{e^2}{r}$ , 其中 $m_e$ 是電子質量.

我們手上有的有量綱量只有電子質量 $m_e$ 和元電荷 $e$ .

里德堡總結出了氫原子譜線的經驗公式: $frac{1}{lambda}=R(frac{1}{n^{2}} - frac{1}{n$

氫原子中的電子通過吸收/放出光子從低/高能量的軌道躍遷到高/低能量的軌道上. 這一過程導致了譜線的吸收. 式中 $R$ 是里德堡常數, 而顯然 $1/R$ 則具有長度的量綱: $[1/R]=L$ . (我們用 $[cdot]$ 表示一個物理量的量綱, 用 $M, L, T$ 表示質量, 長度, 時間量綱. )

與行星運動不同, 電子的運動是有內稟長度的: 所有氫原子的電子都有相同的軌道半徑 $a_0$ . 但是僅通過 $e$ 和 $m_e$ 我們無法組合出長度的量綱! 因此如果想要提出一個可以解釋里德堡經驗公式的物理理論, 就必須引入一個具有新的量綱的常數! 普朗克常數 $hbar$ 就扮演著這個角色: $[hbar]=ET=ML^2T^{-1}$ .

有了普朗克常數, 我們可以組合出長度量綱: $left[frac{hbar^2}{m_e e^2} ight]=frac{M^2L^4T^{-2}}{M imes ML^3T^{-2}}=L$ . 因此 $a_0simeqfrac{hbar^2}{m_ee^2}$ . 這就是著名的玻爾半徑: $a_0simeq0.5overset{circ}{mathrm{A}}simeq0.5 imes10^{-10}mathrm{m}$ . 由此還可以組合出能量量綱 $E_0simfrac{e^2}{a_0}sim13mathrm{eV}$ .

總結說來: 量子化 =&> 額外的量綱(在上面的例子中是長度量綱) =&> 額外的物理學常數(在原子論中就是普朗克常數)

當然可以問這樣一個問題: 為什麼引入的額外常數是普朗克常數, 而不是所謂玻爾半徑? (儘管邏輯上說這是可行的. ) 個人認為原因如此:

在量子論早期, 有人(比如 Ehrenfest)認為量子化的物理量必須是經典力學中的絕熱不變數. 最典型的絕熱不變數是就是作用量 $oint p dq$ . 它正好具有角動量也就是普朗克常數的量綱. 因此

從歷史上看, 普朗克引入普朗克常數是為了解決黑體輻射譜的疑難. 黑體輻射由各種電磁波模貢獻, 每一個波模都可以看作是不同頻率的諧振子. 我們知道經典諧振子的絕熱不變數是 $E/omegasim h$ , 這就是普朗克的能量量子 $E=hbaromega$ .
Bohr-Sommerfeld 基於此提出了所謂舊量子論: $oint p dq=nh$ .
在 Dirac 的正則量子化中, 我們要推廣泊松括弧 $[p,q]$ . 注意到這也具有角動量的量綱, 因此普朗克常數必然出現在正則對易關係 $[p,q]=ihbar$ .

有意思的是, 普朗克常數在物理學中的首次亮相併不是在量子論, 而是在經典統計力學中. 一個經典狀態佔據的相空間體積 $delta p delta q sim h$ . 只不過在經典統計力學中, $h$ 的取值並不具有可觀測的物理效應. 那時的物理學家們只能承認自然界中有一個萬有的常數存在. 直到量子論的出現, 我們才知道這個常數是什麼. 某種程度上說, 這就像吉布斯佯謬一樣: 量子力學早就隱藏在了經典統計力學中.

(這個回答前半部分摘抄並改寫自專欄文章 http://zhuanlan.zhihu.com/andyshen/19800536 片段)

我們一般所說的量子化，從路徑積分的角度來說，是這樣的：

給一個經典的作用量 $S=int d^4x mathcal{L}$ , 我們計算其路徑積分：

$Z=int Dphi e^{int d^4 x mathcal{L}}$ .

但是作用量是角動量的量綱，所以我們定義路徑積分的時候，需要把作用量除以一個量綱是角動量的常數，這個常數就是 $hbar$ .

也就是：

$Z=int Dphi e^{frac{int d^4 x mathcal{L}}{hbar}}$

這樣就自然地引進了一個跟量子化有關的常數，這個常數就是 $hbar$ .

量子化可以從兩個角度出發理解：

1. 給出經典作用量 $S$ ，量子理論由配分函數 $Z=intexpleft(frac{i}{hbar}S ight)$ 定義，積分是路徑積分。這種方法有時不能得到正確的理論，嚴格的方法要從第2種方法出發導出。

2. 給出經典拉格朗日量，做勒讓德變換，把變數替換為算符，並要求對易子

$[mathcal{O}_1,mathcal{O}_2]_-={ihbar}{mathcal{O}_1,mathcal{O}_2}$ ,

即正比於泊松括弧，或Dirac括弧（約束體系）。

假設有一個理論中沒有普朗克常量，那麼它的量子理論和經典理論就沒有任何區別，這樣的理論只能是平凡的。

量子化的定義是什麼？

「量子化」 (quantize, quantized, quantization) 這個詞來自於「量子(quantum)」，與量子物理(quantum physics) 緊密相連，然而它有很多含義。

一般來說，它作為名詞(quantization)和形容詞(quantized)時，例如：能量量子化、角動量量子化、量子化的能量，表示離散的、分離的值。氫原子（束縛態）能量量子化是指它的能級是離散化的，不同於經典的情形，其能量是連續化的。類似的，角動量量子化是指角動量 $J$ 的值是離散的整數或半整數： $J=0,1/2,1,3/2,2,...$ 這來自於角動量代數 $mathfrak{su}(2)$ 。

一般來說，「量子化」這個詞作為動詞(quantize)和其相應的名詞(quantization)、形容詞(quantized)形式時，例如：量子化電動力學（量子化成功以後的結果叫做量子電動力學）、路徑積分量子化、二次量子化，它的大致含義是「自洽地定義一個量子理論的操作和過程，以及與之相關的手續」，即所謂的「量子化手續(quantization procedure)」。例如所謂的正則量子化手續（正則量子化），是指挑出理論的獨立的動力學變數，並施加恰當的正則對易關係。儘管有原則可循，一般的量子化手續仍然繁難複雜，且並沒有一個確切的定義，不過常見理論的量子化是有公認的手續的。

量子化的理論一定會出現普朗克常量 $hbar$ 嗎？

如上所述，最一般理論的量子化手續並不確切和唯一。鑒於此，量子化的理論是否會出現普朗克常數 $hbar$ 並不確定。然而，絕大多數量子化手續都會引入普朗克常數 $hbar$ ，作為量子化過程中的一個參量，它大致表徵了量子現象的顯著程度。

作為一個數，普朗克常數跟宏觀量綱（單位制）有關 —— 就好比用公斤還是英鎊——從這個意義上講，我們可以通過調整量綱（單位制）來將普朗克常數消去——將其值變為1。

推薦問題：

泊松括弧（Poisson bracket）是怎麼量子化到李括弧（Lie bracket）的？

要說量子化，我們先從「量子」這個詞說起：

「量子」這個詞在最早的普朗克的年代所對應的分立的能級的意義，並非是量子體系都一定有的。一個最典型的例子就是自由粒子，當一個粒子不被束縛的時候，它的能級就不是分立的。

之所以量子體系會有分立的能級的情況存在，是因為在微觀的尺度上我們所關心的對象變成了波函數的形式，而其概率的模方對應於概率，整個體系是概率守恆的。（或者說這就是世界本來的樣子，只是宏觀的狀態下因為其波包的延展範圍(或者可以說波長)相比於我們關心的對象而言太小了，同時也存在多粒子的退相干效應，所以在研究宏觀問題的時候常常可以忽略。）把一個對象不用粒子去描述，而用一個在空間上有一定分布的波函數來表述，那麼我們會發現：當這個體系存在一定的限制的時候(比如說在無窮深的方勢阱中)，波函數就像只有處於特定的波長才能存在的「駐波」一樣。不同的存在形態對應不同的能量，這樣就導致了能級分立的現象。

所謂「量子化」，在量子力學中，歸根結底就是把物理對象在微觀的尺度下，用波函數來描述底層的對象，建立與之相關的一系列描述物理量的方法。「量子化」容易讓人直接往分立的能級等東西上想，或許把它叫做「量子物理化」更合適。所有的物理的信息，都可以從波函數的解決來得到；而與之相關的算符，是可以作用在波函數可以由波函數提取相關的物理量的信息（比如由初末態的波函數算出某個散射矩陣元）的東西。作用在其上就能得到我們關心的動量、勢能、動能等。而對於實際觀測的值，如樓上所說：

而實際的觀測值是算符的本徵值。
算符的本徵值可以不是連續的，而且算符的運算可以不是可交換的。

為何人們要用[x, p_x]=ihbar這種關係來作為量子化的重要條件呢？這正對應於不確定性關係。不確定性關係本質上是描述同一個對象兩個共軛的量不能夠同時得到精確描述的體現。對於一個真正的理想的經典的粒子（有質量但無體積，也不存在所謂概率分布）而言，其位置是一個確定的數，即它在空間中的信息是極為精確的，若對其進行傅里葉變換，則在其對偶空間就將得不到任何信息。我們可以證明：若兩個力學量A和B不對易，則A和B不能同時有確定的測量值；若對易，則可以同時有確定的測量值。在經典體系中，因為所考察的對象的波動性與其本身的尺度相比可以忽略，所以位置和動量可以近似的認為是對易的。這個量子化的條件其實反映了量子理論與經典理論的本質區別。

而在量子場論中的量子化的緣由則是：人們研究相對論性的量子力學的時候，發現Klein-Gordon方程沒有守恆的概率流、還存在負能解，而且同時，它不能用於描述有自旋的粒子。後來Dirac寫出了Dirac方程，而這個體系雖然能描述有自旋的粒子，但它也存在負能解，為了解釋這個負能解，Dirac說真空是一個Dirac海填滿的，原先出於負能海的電子在吸收了能量後就被激發到具有正能的狀態，相當於負能海里出現了一個空穴。然而作為一個描寫一個粒子的方程，卻實際描述的是多個粒子體系，顯然已經不適用了。

於是人們轉而拋棄波函數的概率解釋，而是用幺正性來代替概率守恆這一性質。人們不再用波動方程來描述物理的本質，而是用運動方程的形式來描述一個場。場作為一個算符作用在真空態|0&>（粒子數表象）上，就可以激發出粒子和反粒子。

此時量子化的限制條件，從[x, p_x]=ihbar轉化為用場和其共軛的物理量的關係來描述，量子化的條件：

$[phi (x),pi (y)]=idelta (x-y)$ ，共軛的量不對易，其餘的均對易。

若對費米子的場而言，則把對易關係換成反對易關係。

這個量子化的條件（對易關係、反對易關係等），其中的 $phi$ 可以看做廣義位置，而 $pi$ 是廣義動量，對於同一個空間坐標的物理對象而言，這是一對共軛的量。所以實際上仍然是描述同一個對象的一對共軛的量不能夠同時有精確的信息的反應。

用這樣的條件，代入到哈密頓量的表達式中，經過一番推導，我們會發現：對於Klein-Gordon場、Dirac場等，都能得到其能級是分立的這一結果。

從以上的討論，我們可以看到：所謂量子化，都是通過一番條件限制，通過一番對於所描述的物理量的定義和刻畫方式上的改變，得到關於在不同情況下我們所關心的量子（微觀）體系的數學描述方式。

關於普朗克常量，如 @趙永峰所言：

而 $hbar$ 是一個能量標度，告訴你量子化的效應在什麼樣的尺度下會明顯地與經典力學不同。

我們通常把它融入自然單位制的定義中，取為1，而在具體的計算中不顯示。意思是我們默認在微觀的尺度下去討論問題，選取了一個這個尺度下的典型能標，而且它是一個不變的量，作為標度。同理還有光速c。

關於完全沒有能量的量子理論，從 @Conti Nuum 的答案來看應該是有的，但是我完全不了解，還請了解的前輩們多多指教。

如果有說的不對的地方，還請指出~

其實「量子化」這個過程，最核心也是最重要的一步，就是把粒子當成一個波來處理。後面的不管是正則對易關係，還是路徑積分量子化，在把粒子當成一個波來處理之後都是十分自然，而且是必然的。因此，如何把一個單粒子轉換成一個單色波，就是量子化需要回答的問題。

在設法從一個勻速運動的粒子構造出一列單色波的時候，它的相位必然是i(At-Bx)的形式。而為了能保證洛倫茲協變（或者非相對論下的伽利略協變），可以猜出來A大概就是它的能量，B就是它的動量，除此之外，在粒子身上很難再找到一個協變的矢量。

但是要注意，指數上的項必然是不能有量綱的，因此必須要除以一個帶量綱為Et或者Px的物理量來平衡它的量綱，就是普朗克常數。你很容易發現，這個量綱是在描述粒子的能動量與它的波長、頻率之間的關係。所以說，普朗克常數回答了這個粒子怎麼波動的問題。、

那麼量子效應在什麼時候出現呢？可以得出是在看微觀尺度的時候，這時候x的範圍很小，可以很清楚的看清楚粒子的波動。而在宏觀尺度上，x範圍很大（因此解析度也會很差）的時候，粒子的波動性就會被一種平均效應抹平。

同理，在能量低的時候，振動頻率會變得更慢，因此可以探測到量子效應，而在能量變高之後，量子效應會因為急速震蕩而變成平均效應。

量子理論不一定會出現 $hbar$ .

反例是拓撲量子場論 (Topological quantum field theory), 例如Witten的Chern-Simons theory. 這東西沒有長度尺度, 沒有物理上所謂的經典極限, 是一個完全量子的理論. 而且這個理論只有Lagrangian描述 -- Hamiltonian恆等於0.

當然了, 這個純屬抬杠...

量子化理論中必定存在hbar . 這是量子理論中，能量的單位。而一個力學系統沒有能量是無法想像的。（能量是基本的不變數，變分的目標函數）當然在某些單位系統中可以令hbar=1.

量子化的定義是這樣：

[x,p]=i hbar

當年，電燈泡被發明了出來。於是許多人都投入到了對熱輻射的研究中去了，畢竟，每個人都希望自己的電燈泡又亮又省電。但隨著研究的深入，很快就有人發現問題了：實驗結果和根據理論所計算的結果相差太大。於是，許多人都提出了新的假說，但都不符合實驗的結果。直到普朗克提出了量子假說。

普朗克認為能量的發射或吸收不是連續地進行的，而是一份一份地進行的。這每一份能量都是最小單位，都是不可被分割的。因為每一份能量的大小隻和頻率有關，它和頻率是一種成直線的正比關係：E＝hf。只要頻率不變，它的每一份能量的大小就不會變。這個h是當時首次出現的一個全新的常量，後來被稱為普朗克常量，它在量子力學中是極其重要的，它在量子力學中的地位和光速在相對論中的地位差不多，可以說，正是因為有了普朗克常量，才有了量子力學；還可以反過來說，沒有普朗克常量的都不是量子力學。普朗克調整了一下h的值的大小，於是根據他的公式所計算的結果就和實驗結果符合得相當好了。

不久之後，初出茅廬的青年科學家愛因斯坦提出了一個全新的理論——光子理論。他在該理論中引用了普朗克的能量和頻率的關係式：E＝hf，提出了「光子」這個全新的概念，並證明了光能量的發射或吸收是一份一份地進行的的假說。

泊松括弧（Poisson bracket）是怎麼量子化到李括弧（Lie bracket）的？ - Jean Proust 的回答

又把以前的答案搬出來了。。。交代了 $hbar$ 的來歷。。

量子化的意思是說我們把一個經典物理的系統用量子物理的方式來處理。比如寫下一個哈密頓量或者拉式量，加上[x,p]=i或者路徑積分（又或者把對象選擇為粒子/場，以及對易和反對易處理玻色和費米場）就構成了正則量子化或者路徑積分量子化。。

不一定。也有可能出現i j k，

或者2h，或者h/2（大不了公式的係數變一下。）

二次量子化就是指量子場論，是吧？