微積分的物理意義？

01-05

對物理而言，功是力在時間上的累積，路程是速度在時間上的累積........，那麼均勻帶電圓環在中心軸線上某點的場強，是什麼在什麼上的累積呢？如果用微元法求出一極小短微元在軸線某一點處的場強，再對整個圓環積分，那麼「對這個圓環積分」是什麼含義呢，難道是場強對圓環的累積嗎？總覺得彆扭。

全班同學圍著輔導員站成一圈，每人打他一耳光，結果他挨了xx個耳光；

這是均勻情況的積分；

如果每個人攻擊他一下，每人攻擊力y不同，比如說與此人身高的3次方成正比，那麼輔導員一共損血zz點。

這是普通的標量積分；

如果輔導員站得很直，每人用一個大木錘把他往地下錘，但是錘的方向你隨意，最後輔導員會被錘多深？與地面什麼角度？

這是普通的矢量積分；

want more?

微分體現了宏觀物體（及物理量）的局域性質；積分則為微觀性質提供了宏觀理解。一般而言，我們能觀測到的只有宏觀性質，而微觀性質一般只基於第一性原理。

就這個問題本身來說，微積分在物理中的應用，基於一種最基本的古典物理思想，即是微元法（不能否認的是這只是一個假設）。在第一性原理中，我們將一個物理量微分的物理量（有點兒像分母的那個），一般是距離/時間/體積。由於微分的數學性質，還會有更多的物理量可以被當作分母。而被微分的那個（分子）可以是任意可以被宏觀觀測到的量，一般是距離/能量/概率。

有時物理規律也會被寫成積分的形式。但都是要和最小最用量原理一併使用的。

在基本的自然哲學概念中，我們談論一個物體的質量時，我們選擇將物體切分為有限的小塊，將每一部分相加；那麼我們將有限的小塊進一步切分變為無限，就到了微積分的領域；

到了經典靜力學，將弦繃緊時，我們默認弦的一個段對兩端形成了拉伸力，那麼有限小段的拉伸力相加，便成為了兩端的力，將有限無限細分，就變成了微積分。

經典動力學中，我們考慮有限的物體單元產生的力和受到的力、以及他們的質量產生互動，遵循牛頓三大定律。那麼將有限化為無限，變成了微積分。

（其實到現在我要來解答一道經典力學題，還得強迫自己從有限角度入手列出方程，再化為無限小的微元）

具體到你提到的問題。在電磁學中有一個基本的庫侖定律（其實很多人沒有意識到麥克斯韋方程組並不比庫侖定律高級），和基本的電場疊加原理。把圓環沿著過圓心的半徑切分為無限微小的微粒，每一個微粒遵循庫侖定律，無數個微粒遵循電場疊加原理將它們的對場的貢獻相加，就得到最終的結果。

所以你說場強對圓環的累積有那麼點不對，最好說「每一點對場強的貢獻對圓環的累積」。

圓環的某個微元記為dl，它在軸線上的某點產生的場強記為dE，那麼：

E = $dE = $(k*e/r*r)dq = kp $(e/r*r)dl

其中：k：庫侖常量；p：電荷線密度；e：單位方向矢量；$：積分符號。另外，E和e上面都帶有矢量符號的，手機沒法打出來。

所以，最終將場強問題轉化成了一個純數學的積分。

微積分的本質是什麼呢？

簡單的說，就是「整體是部分之和」。即

A = $dA

對於某個物理量A來說，它可以這樣表示的前提是：A是一個可疊加的量。

更進一步，如果A = B * C。而且B恰好是C的函數，即B = B(C)，那麼

A = $dA= $BdC

比如你在題目里描述的例子。

微積分的本質意義就是加和。對於趨近於無窮小的某個特徵值，比如沿著圓環的距離，再把另某一個和它相關的特徵值，比如電場強度，在圓環距離這個方向上加和，就構成了微積分的物理意義。

首先你的提幹有個問題，功是力在空間上的累計而不是時間上的累計。同理，對這個圓環積分，實際上是把這個圓環上每一個非常小的一小節的場強都加起來，換句話說是把場強在空間上的分佈加起來。

來自隨便翻了幾頁的熱統書和固體物理書…

題主你說微積分的物理意義？對不起它就是個工具，沒它物理玩不轉~

我還沒拍數物書和量子力學書…

首先問題部分太籠統了，再次題主好像只學過大物，推薦題主看看理論力學，電動力學，再思考下自己到底要問啥？

功是力對時間的累積？oh，no，那是衝量，功是力對位移的累積。電場強度對圓環積分，只是求矢量和而已

速度的積分是距離，速度的微分是加速度........依此類推還挺多

我們總是希望事件的發展總是沿著我們計劃著那樣發展，可是事實總是不那樣盡如人意，總有各種突發事件發生和環境的影響，所以我們就需要想辦法去盡量把這些突發事件和環境因素的影響都計算到，使事件的發展更加可控，所以微積分的出現便順利成章，微積分是從微觀的角度分析問題，把一個事件整體分成無數個極小事件，先找到這個極小事件所存在的突發性和環境影響在通過積分整合還原到事件整體

圓環整體不好分析對吧?好，咱們把這個圓環拆成無數個小圓弧，每段的弧度非常非常小,以至於你可以認為這個小圓弧就是個點。那事情就好辦了，點電荷對某點場強公式學過吧?這個小點帶多少電荷可以用△r*λ(線密度)算出來對不?然後由場強疊加原理，整個圓環對這點的場強就是這無數個小點對這點場強的總和。

原來聽過一句話，物理的精髓就在於近似，抓住事物本質，忽略邊邊角角的問題。題主結合這個例子思考試試?

所謂A對B的積分是dA乘dB再進行累加運算，這裡並沒有指出積分的路徑，或者區域也就是積分區間，而A在B上的積分，積分對象就是dA，B則是給出的積分區間。像力對路徑的積分，注意不是對時間，積分對象是物體在某一微小位移上收到的力和該位移的乘積，也就是微功，此處沒有給出積分區間，而場強在圓環上的積分，積分對象是每一微小環的場強，同時也給出了積分的區間，就是整個圓環。這麼解釋不知道能不能明白。。。

Ampere『s Law ，over！

電場是由庫侖定律定義的。電場的線積分在麥克斯韋方程組裡給出了很好的詮釋

首先功是力在空間的累積

其次你說的帶電圓環軸線上的電場本質上還是點電荷電場強度的疊加只不過是連續的情況所以要用到積分數學上是沒有對電荷的積分的無非就是線積分面積分體積分帶電圓環可以近似看成是一條線所以還是轉化為一維的線積分

我對微積分不清楚，不過我看過一個詭譎數學這本書介紹說過，過去的數學總是研究靜止的，不變的狀態，但時代發展，事物總是運動的，這就需要跳出過去的數學領域，進入一個全新的數學時代。比如，飛船飛行時，燃料在消耗，隨著燃料的消耗，它的速度會越來越快，問燃料的質量與飛船的速度是如何變化的？這和過去靜止的數學領域是很難被解答的。

答主似乎對積分的概念沒有完全理解... 你前面所說的「功是力在路程上的累積」的確切意義是總功等於元功F*ds之和，寫成積分式就是W=∫Fds，上下限分別是做功起始與終止的位置。（寫到這才發現答主問題中的一個知識錯誤，力對時間的積分是衝量，不是功^_^）

而後面的圓環場強問題，微元法求出的就是圓環上一小段貢獻的「元場強」，計算總場強根據場強的疊加原理直接將圓環上每小段貢獻的場強求和即可。本質是算一個線積分，但考慮到每小段對軸線處貢獻的場強相等，所以可以簡化......balab省略一大堆文字。

所以說「a在b上累積」的意思是指a這個變數在b這個區間上積分。