協變張量和逆變張量有何區別？僅僅是上下標的區別嗎？

01-05

在研究物理問題的時候，我們很習慣於在一個坐標系中用一組數來描述矢量。但是額外引入一個坐標系具有任意性，不同的坐標系選擇會導致不同的難度，或者我們有時候需要分析不同坐標系下的同一個體系來研究體系的對稱性，這時候就需要頻繁的改變選取的坐標系。

在改變坐標系的時候，顯然描述矢量的這一組數會產生變化，而有些量則不變（比如矢量的內積，它只與矢量的長度和夾角有關）。由於物理現象理應與描述它的坐標系無關，在變化坐標系的時候不變的那些東西才更值得重視，例如矢量的長度，夾角，換言之也就是內積。

如果我們只在直角坐標系下研究坐標系的旋轉，則可以用一個正交矩陣來描述矢量各個分量的變化關係。由正交矩陣的性質，可以很容易的得出在坐標系旋轉前後矢量的內積不變。

但是，如果我們想研究坐標系的伸縮，以及非直角坐標系，描述矢量變換的矩陣就變成了一個非正交矩陣，如果強行使用正交矩陣的內積定義來計算，則會得到一個與參考系有關的數字，前面說過，這種坐標系依賴的對象是物理學家不關心的。

這時候，我們就需要用兩組數來描述一個矢量，其中一組以正常的方式變化，另一組則以變換矩陣的逆矩陣的形式變化（而不是直角坐標系中的轉置矩陣），在兩個矢量做內積的時候，依然可以得到一個坐標系無關的數。

我們把這兩個矢量稱為協變和逆變矢量，同時也會有另一組坐標架，以原坐標架逆矩陣的形式變化，這兩組坐標架也稱為協變和逆變坐標系。

同時對於每一組坐標架會有一個矩陣，可以將協變和逆變的矢量相互轉化，被稱為度規。

矩陣的逆是相互的，因此協變和逆變也是相互的，把哪一個叫協變哪一個叫逆變，很大程度上源於歷史和約定。

我的理解是：

1，引入度規g，就是矢量空間V上一個對稱且非退化的（0，2）型張量。也就是說，它可以從VxV的空間到實數R可以做一個雙重線性映射;

2，根據梁燦彬的張量面面觀，於是g可以看成是V到其對偶空間V*的一個線性同構映射，從而使得V和V*自然認同;

3，這樣一來，通過g和它的逆g-1，我們可以把上指標代表的矢量變換為其對偶矢量從而下降指標，反之亦然;

4，將矢量這種（0，1）型張量擴展為任意形張量T，並將g作用於T，即是協變與逆變的差異，其中，上指標的張量被叫做逆變張量，下指標的張量被叫做協變張量。

具體更詳細的論證，請看參看梁燦彬的《微分幾何入門與廣義相對論》上的第2章相關內容。

我給你講講這兩個概念的來龍去脈。為了在描述上儘可能簡單清晰，我以矢量（也就是1階張量）為對象來說明。你針對矢量理解了協變、逆變的概念後，自然可以推廣到任意階張量。下面的內容分為幾個部分，用到的基礎知識為微積分及線性代數。

一、基底變換和坐標變換

對於一個矢量，我們可以選擇新、舊兩組不同的基矢量來描述它，得到兩組不同的坐標。

在這個過程中，存在兩個變換矩陣，一是將舊基變換為新基的變換矩陣 ,另一個是將矢量在舊基下的坐標變換至新基下坐標的變換矩陣。

舉個例子。

圖中舊坐標系 $xOy$ 和新坐標系 $x$ 之間相差一個角度 $heta$ 。基矢量 $old{e}_{1}$ 是沿 $Ox$ 方向的單位矢量，基矢量 $old{e}_{2}$ 是沿 $Oy$ 方向的單位矢量；基矢量 $old{e}_{1}$ 是沿 $Ox$ 方向的單位矢量，基矢量 $old{e}_{2}$ 是沿 $Oy$ 方向的單位矢量。

首先計算將舊基變換為新基的變換矩陣。根據幾何關係 $old{e}_{1}$ 在舊基{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ }下的坐標為 $egin{bmatrix} cos( heta)\ sin( heta) end{bmatrix}$ ，即 $old{e}_{1}$ 。同理可得 $old{e}_{2}$ 。用矩陣語言表示為 $egin{bmatrix} old{e}_1$ 。其中， $egin{bmatrix} cos( heta) -sin( heta)\ sin( heta) cos( heta) end{bmatrix}$ 就是將舊基變換為新基的變換矩陣，不妨稱其為 $old{T}$ ，即 $old{T} = egin{bmatrix} cos( heta) -sin( heta)\ sin( heta) cos( heta) end{bmatrix}$ ，則有 $egin{bmatrix} old{e}_1$ 。

再計算將矢量在舊基下的坐標變換至新基下坐標的變換矩陣。對任意矢量 $old{A}$ ，其在舊基下存在一組坐標 $egin{bmatrix} A_1\ A_2end{bmatrix}$ ，滿足 $old{A} = egin{bmatrix} old{e}_1old{e}_2 end{bmatrix} egin{bmatrix} A_1\ A_2end{bmatrix}$ ；其在新基下同樣存在一組坐標 $egin{bmatrix} A_1$ ，滿足 $old{A} = egin{bmatrix} old{e}_1$ 。則 $egin{bmatrix} old{e}_1$ ，可得 $egin{bmatrix} A_1$ 。

總結一下， $left{ egin{aligned} egin{bmatrix} old{e}_1$ 。我們以基矢量變換矩陣 $old{T}$ 作為參考，發現矢量 $old{A}$ 的坐標變換矩陣為 $old{T}^{-1}$ ，即 $old{T}$ 的逆。這時我們就說，矢量 $old{A}$ 在{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ }及{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ }下的分量 $egin{bmatrix} A_1\ A_2end{bmatrix}$ 及 $egin{bmatrix} A_1$ 為矢量 $old{A}$ 的逆變分量（contravariant components）。同時，{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ }，{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ }稱為協變基底（covariant basis）。

為了更好地從符號上區分協變、逆變數，約定用下標序號表示協變數，用上標序號表示逆變數。則 $old{A} = egin{bmatrix} old{e}_1old{e}_2 end{bmatrix} egin{bmatrix} A^1\ A^2end{bmatrix} = egin{bmatrix} old{e}_1$ 。

二、對偶基底（或叫倒數基底，即dual/reciprocal basis vectors）及協變、逆變概念

對偶基底的概念與協變、逆變概念是一回事，但對偶基底這個概念更加「modern」一些。一旦你搞清楚了對偶基底的概念，那明白協變、逆變概念就是水到渠成的事了。

下面以三維空間為例說明。

對於空間中任意一點 $P$ 的一組基{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }，我們希望在 $P$ 點找到另一組基{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }，使得 $left{ egin{aligned} old{e}_i^Told{e}^j=0,i e j\ old{e}_i^Told{e}^j=1,i= j\ end{aligned} ight.$ ，即 $egin{bmatrix} old{e}_1 old{e}_2 old{e}_3 end{bmatrix} ^T egin{bmatrix} old{e}^1 old{e}^2 old{e}^3 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 0 0\ 0 1 0\ 0 0 1 end{bmatrix}$ .

那麼{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }是不是一定存在呢，答案是肯定的。因為{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }線性無關，所以 $egin{bmatrix} old{e}_1 old{e}_2 old{e}_3 end{bmatrix}$ 可逆，即必然存在{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }，且 $egin{bmatrix} old{e}^1 old{e}^2 old{e}^3 end{bmatrix} = egin{bmatrix} old{e}_1 old{e}_2 old{e}_3 end{bmatrix} ^{-T}$ 。我們稱{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }就是{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }的對偶基底/倒數基底。

現在 $P$ 點新設一組基{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }，當然也就存在新基的對偶基底{ $old{e}^1{$ , $old{e}^2{$ , $old{e}^3{$ }，滿足 $egin{bmatrix} old{e}^1{$ 。

根據第一部分論述 $egin{bmatrix} old{e}_1{$ ，則 $egin{bmatrix} old{e}^1{$ 。可見，從舊對偶基底到新對偶基底變換矩陣為 $old{T}^{-T}$ ，其中出現了矩陣取逆操作，於是我們稱對偶基底{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }，{ $old{e}^1{$ , $old{e}^2{$ , $old{e}^3{$ }為逆變基底（contravariant basis）。

同時，在對偶基底{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }，{ $old{e}^1{$ , $old{e}^2{$ , $old{e}^3{$ }下，矢量 $old{A}$ 的分量滿足 $egin{bmatrix} A_1$ 。此時變換矩陣為 $old{T}^{T}$ ，無取逆操作，於是我們將矢量 $old{A}$ 在基底{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }，{ $old{e}^1{$ , $old{e}^2{$ , $old{e}^3{$ }下的分量 $egin{bmatrix} A_1\ A_2\A_3end{bmatrix}$ ， $egin{bmatrix} A_1$ 稱為矢量 $old{A}$ 的協變分量（covariant components）。

總結一下，矢量沒有所謂逆變、協變之分，其分量才有逆變、協變之分。矢量在協變基底{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }下的分量為逆變分量，在逆變基底{ $old{e}^{1}$ , $old{e}^{2}$ , $old{e}^{3}$ }（協變基底的對偶基底）下的分量為協變分量。協變、逆變的概念是在變換矩陣 $old{T}$ （將舊基變{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }換為新基{ $old{e}_{1}$ , $old{e}_{2}$ , $old{e}_{3}$ }的變換矩陣）的基礎上建立的。

協變和逆變關係無非是一個矢量或張量的兩組分量而已。它們可通過度規張量聯繫起來。它描述了一個矢量在仿射空間中各分量之間的關係。雖然這只是兩組分量，但實際上已包含了任意的分量。由此，就可建立物理量和具體的坐標系無關的協變關係。

來抄個書湊個熱鬧。。。

已知線性函數 $f,g$ 可以引入其線性組合的定義，對任意 $alpha ,eta in R$ ，令

$(alpha f+eta g)(x)=alpha f(x)+eta g(x)$

之後對所有的線性函數構成向量空間 $V$ 的定義其為對偶空間 $V^{*} =L(V,R)$

稱 $V^{*}$ 中元素為共變向量， $V$ 中為反變向量

在 $V$ 的給定基底下，可以在線性函數與n元數組之間找到找到一一對應，並將n元數組視為一個 $R^{n}$ 空間中的向量，由前面給定的線性組合定義與n元數組和線性函數的特性可得到 $R^{n}$ 同構於 $V^{*}$ 。

之後可構造線性函數 $e^i( extbf{e}_j )=delta_{ij}$ 作為對偶空間的基底。

現在我們用這樣的記號 $(f, extbf{x})$ ,並以一種雙邊的視角來代替原來僅僅只是把 $f$ 看做作用於x上，現在它們是一個二元關係。稱其為雙線性的。

利用基底將其展開，然後相乘，然後，注意到神奇的上下標了嗎？

未完，可能待續。

比如說逆變（反變）張量是線性空間V的張量積空間中的元素，那協變張量就是線性空間V的對偶空間V*的張量積空間中的元素

協變張量可以看成基底，逆變張量可以看成坐標。以一階張量(向量)為例，如高票答案所說，一個不依賴坐標系的向量可以表示成坐標和基底的內積。用矩陣語言表示，坐標x^i是列向量，基底e_i可表示為行向量，它們的乘積就表示一個一階張量V，如果我們把坐標定義為這個一階張量的逆變分量，則另一個就是協變分量。然後變換坐標系，這個變換可以用一個二階張量A(矩陣)表示。基底從e變換到e"，e"_j = A^i_j * e_i。而坐標從x變換到x"，x^i = A^i_j * x"^j，這時是用新坐標表示舊坐標，為了形式一致，我們在兩邊乘一個A^i_j的逆矩陣A^j_i，從而得到 x"^j = A^j_i * x^i 的形式。

因此一階張量V在原坐標系下有 V = e_i * x^i，將坐標和基底都用變換後的形式表示，就有，V = A^i_j * A^j_i * x"^j * e"_j，其中兩個A互為逆矩陣，所以可以V = e_i * x^i = e"_j * x"^j，可見張量V在坐標系變換下是不變的，改變的只有基底和坐標，而定義基底變換是A矩陣乘以舊基底，那麼坐標變換則是A的逆矩陣乘以舊坐標，因此前者稱為協變，後者稱為逆變。也可以反過來定義坐標為協變，則基底就是逆變的，這樣不影響定義的自洽。

線性函數的對偶空間里的基底和坐標的協變逆變也是按這種形式定義。

一張圖說明，圖片有兩個式子，上面的是Contravariant vector, 下面的是covariant