量子力學第一假定中的物理體系的定義是什麼？怎麼區分各希爾伯特空間？

01-05

對於量子力學的第一假設，簡單來說，即一個物理體系某時刻的狀態由希爾伯特空間的一個態失量描述。
我的問題是，這裡的"物理體系"是怎麼定義的？比如，舉個例子，一個粒子處在自由狀態下的體系和處在有限深勢阱下的體系是同一個物理體系嗎？如果一個物理體系不是絕對封閉的(無物質能量交換)，那以什麼區分各物理體系呢？比如對單粒子體系，是以其內稟性質和動能區分嗎？是否與外場有關？
以上疑問其實來源於題主的另外一個問題:第一假設中的希爾伯特空間是怎麼區分的？比如對於多粒子體系，無相互作用時和有相互作用時分別對應的態失是同一希爾伯特空間的嗎？有外場和無外場對應的態失是同一希爾伯特空間的嗎？如果把這些粒子分裂成其他粒子(內稟性質改變)，體系的態失還在同一希爾伯特空間嗎？
P.S.總感覺用波函數空間來解答以上問題不太準確，不過也可能是我不會。。。
題主愚鈍，想了許久沒想清楚~&>_&<~，希望各位學長學姐學神學霸指點一下，我先跪謝了_(′□`」 ∠)_

謝邀，我還是在這裡稍微討論一下吧。區分物理與數學，其實這是一個很麻煩的問題。之前本來想針對這個專門寫個專欄的，結果發現我還是講不清楚，就放棄了。你的問題就在於分不清物理圖像與數學結構。

我先不討論量子問題，就從最簡單的結構來說，比如可數的同類物體的數量。

類似於量子物理的假設，我們公認，或者說假設，物體的數量可以由 $mathbb{N}$ 來描述。

一. 數學結構

$mathbb{N}: (mathbb{N},a,S_{(n)})$ 由Peano Axiom所定義:

元素 $a$ 屬於集合 $mathbb{N}$
$S_{(n)}: mathbb{N} omathbb{N}$ 定義在整個集合 $mathbb{N}$ 上
$forall n,minmathbb{N}, (m=nleftrightarrow S_{(m)}=S_{(n)})$
$forall n in mathbb{N}, S_{(n)} eq a$

這是一個良定義的數學結構。這裡沒有數字，只有元素和映射！我故意使用符號 a 而非常用的符號 0 就是為了強調結構的抽象性。

二. 數學表示

數學表示首先需要一套固定的字母表 $Sigma$ , 其中字母表中每一個符號都是固定的(區別於數學結構定義中符號的任意性)。比如我們最常見的十進位表示，字母表就是 $Sigma=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)$ 。有了字母表還需要一套標記法，比如十進位中我們使用"串" 作為標記，一般所有的串的集合記為 $Sigma^*$ ，這裡不贅述。最後我們需要一個對應關係來確定數學結構中的元素與我們的標記如何對應。

當然，如果我們把自然數作為一個獨立的結構，它的表示就只能通過後繼數定義，也就是用一套遞歸定義來構建對應關係。這並不自然。十進位表示在 $mathbb{R}$ (或者 $mathbb{Q}$ )上的定義更加自然，所以通常表示的時候我們會把自然數集作為實數集的一個子集處理。

十進位表示法是一套良定義的自然數的表示！

三. 物理事實

這是一個很麻煩的東西，不同的人有不同的本體論觀點。但至少我們做科學的，應該承認，我們能感知到的確實有些什麼存在於一個存在的物質世界裡。至少我們大腦中的信息預示著有什麼東西存在。關於這個問題我之前寫的文章里更詳細的討論了一點隨筆？隨筆

當然，我那篇東西寫的有點亂，也許不太好理解。不過這個問題關係不大，我們主要講一下物理圖像。

四. 物理模型

物理模型是什麼，其實這正是我之前的那篇文章想表達的。物理模型是我們對物理事實的抽象。當我們說蘋果的時候，我們腦海中會浮現一個蘋果，但它不是真的蘋果，它不會與時間上任何一個物體有著相同的性質。但它同時又是蘋果，它代表著一切我們可以叫之蘋果的物體一切共有的性質。

但是「蘋果」這個概念本身不是一個物理模型，它除了一個名字，本身不包含任何信息，只有性質才包含信息。物理模型是某些性質的集合。比如質點就是「質量」，「位置」與「時刻」三個性質的集合。對於「物質數量」的問題，我們的物理模型包含四個概念「個體」，「無/有」，「增加」與「數量」。這皆是我們在生活中抽象出的概念。

五. 物理圖像

當我們說物理圖像的時候我們在說什麼？物理圖像其實就是物理模型與數學結構的對應關係。比如說我們將「時刻」，「位置」與 $mathbb{R}$ 對應，或者說建立一個物理性質到數學結構的isomorphism。我們將「移動」這個概念作為「時刻」到「位置」的一個morphism。「物體的數量」這個問題是先將「個體」對應到集合的元素，將「無」對應到起始數a，將「數量」對應到 $mathbb{N}$ ，將「增加」對應到後繼函數。如果這種對應是自洽的（包括數學上與物理上），我們就說這個物理圖像可由這個數學結構所描述。

THAT"S IT !!!! 我們在科學中討論的所有概念都是上述五種之一。甚至從我的觀點來說，物理事實是不可描述的，我們一切的概念都是剩下的四種。

你的問題就在於，你並沒有想清楚，當你說希爾伯特空間的時候，你到底在說什麼；當你說「態」的時候，你在說什麼。物理系統是什麼，演化是什麼，波函數是什麼，粒子是什麼。當你想明白了這些，我想你肯定不會再有這種疑惑了。

這個問題的關鍵不是去找具體的空間，你肯定是找不完的。所以用波函數去理解也並不顯得有優勢，其中的根源就在於波函數是位置空間的概率密度的算術平方根與某個規定相位的相位差因子的乘積。所以你一提波函數，就把位置放到最重要的地方上去了，順便你規定的0相位也有影響。

這其中有3點不好：

1.從坐標表象到動量表象，描述方式不同，特別是緊空間裡面，動量還是離散的，就更不好玩了，兩個表象看起來差別好大，結果描述的是同一個東西。

2.光靠坐標有時候不足以確定一個粒子的全部狀態，最著名的大概就是自旋了，當然顏色、手征也可以表示不服。最重要的是，也許還有我們不知道的內部自由度呢。

3.處理多粒子系統乏力。多粒子系統有天然對稱性或反對稱性，而且還得有不同粒子數的區別，直積態還好辦，糾纏態的話多來幾個粒子眼睛都要看花。

所以最佳的方案就是：用基本力學量來區別。

所謂的基本力學量就是可以確定一個系統狀態所需要的最少的一組力學量，他們應該滿足：

1.獨立性：所有力學量的取值幾率是相互獨立的。

這可以推出他們相互對易，但比對易還強。比如坐標 $x$ 和 $x^2$ 是對易但不獨立的，而兩個坐標 $x,y$ 是獨立的，也是對易的。

獨立性的數學描述就是共同的概率測度可以寫成獨自的概率測度的乘積測度：

$P(X)=inf{sum_{n} P(X_{1n})P(X_{2n})|Xsubsetigcup_n X_{1n} imes X_{2n}}$

2.完備性：所有力學量的共同本徵子空間無簡併。

對於離散譜好說，所有量的本徵值確定後，得到的空間只能是一維的。連續譜要稍微難理解一點，總體來說，我們通過某種手段來描述抽象希爾伯特空間，可以看作態空間到具體希爾伯特空間（如函數空間）的連續同態，而完備性要求這是一個等距同構。

所以如果兩個系統要確定一個態可以使用一套相同的基本力學量，而且這些基本力學量能夠取得的值，以及他們取得這些值的概率都是等同的，那麼他們就是可以用相同的希爾伯特空間來描述了。

請注意，這個理解是物理的不是數學的，所以這些基本力學量的物理意義是有作用的。只考慮數學的話，任何維數（理解為正交歸一基的基數）相等的希爾伯特空間都是等距同構的，比如 $L^2(R)$ 和 $L^2(R^2)$ 完全可以在數學上建立同構關係（找到各自的一組基，由於基數都是 $aleph_0$ ，於是對應起來就同構了）。這種同構在物理應用上目前還沒有任何意義，所以企圖從純數學的角度去區分不同希爾伯特空間不顯得有意義。

用一些簡單的例子可能比較容易理解，例如考慮Bose-Hubbard model中的兩個粒子運動，可以通過選取一套完備的坐標來作為基矢，這時候就能完整地描述對應的希爾伯特空間了。這個無論有沒有相互作用存在都是一樣的。

而如果在這個的基礎上引入粒子自旋，則希爾伯特空間需要再加入自旋的自由度。

物理體系就是你要研究的對象，對量子力學來說就是微觀粒子的體系，比如電子、光子等等，以及他們的集合。

希爾伯特空間由算符來區分，每一個算符可以張成一個自己的希爾伯特空間，由此態矢可以在這個希爾伯特空間中展開。