既然實空間和動量空間完全是對偶的，為什麼我們對空間的直覺認識是建立在實空間上的呢？

01-05

突然想到一個問題：動量空間與位置空間之間互為傅立葉變換的空間，但普通人在學物理之前對空間的理解完全建立在實空間上。是什麼導致這兩個對偶空間的地位如此懸殊呢？換句話說為什麼人類只能分辨坐標空間而不能分辨動量空間呢？@白如冰@曾加@聶鑫

因為愚蠢的人類是一小簇生物大分子的集合，而不是一群彌散在充滿宇宙的LCL海里回蕩的格波。

倘若題主是那種形態的智慧生命的話，你享受到的自然就不是清晨從知乎方向射來的陽光，而是被星系塵埃散射帶來的別樣溫暖；你的生命中雖然沒有活塞運動，動量被反覆抽走和注入的過程卻同樣可以給你帶來非凡的快感；你們的世界裡沒有地球人與天頂星人的戰爭，卻常常為香港波包和西方波包誰跑得更快爭論不休。

題主你他娘的真是個人才，這是寫Sci-Fi的好題材啊。

因為相互作用在實空間中是定域的，在動量空間中不定域。特別的，當我們用「光照」來觀測物體時，得到的都是位置。

嚴格來說，動量空間是余矢叢，與其對偶的是切矢叢，晶體學裡的實空間應該是個切空間，雖然在平直時空我們常混淆流形和其切空間。而我們感受到的其實是時空底流形，因為時空對稱性是底流形上的killing vector field，我們的感受的某種同一性依賴於這些對稱性；根據noether定理對應餘切叢上的守恆荷，那才是動量，它的特點是守恆而非對稱。

雖然在數學上是對偶的，但是你是活在實空間的人型自走生物/AI啊。在可操作性有不可逾越的難度。

眼睛這樣的視覺輸入設備判斷實空間足夠簡便，而且每一次採樣都是有充足的意義的。

而要對動量空間進行採樣，對於只在空間中只佔據很小一個區域的人類來說就非常困難。每次取坐標根據差值計算動量？我們現在就是這麼做的。單次採樣毫無意義，採樣頻率慢了好像也沒什麼用。

要想採樣，電磁相互作用基本是唯一的選擇。眼睛的實質是，收集通過實空間一小片區域的電磁信號。光線在實空間內以光速傳播，可以迅速地將其他實空間區域內的信息傳遞過來。從獲得實空間坐標信息的渠道實在是太方便了。動量空間完全沒有這種便利。這種信息獲取難易程度的天壤之別直接決定了我們的思考模式，我們思維的所有出發點都是從實空間出發的。

這樣，即使理論上我們都可以接收動量空間的信號（多看一會），但對未經過這種思維訓練的人，這有很大的障礙。

作為一個科幻點子還不錯，一種以波函數彌散在全空間的智能，沒準可以先採樣動量。

其他答案直接揭示了其背後的深層物理，廣相完全還給柳爺的人自愧不如。

數學上的對偶關係不意味著對人類是等價的，因為人類的意識所基於的信息來源是有所偏重的。因此其實這個問題也跟人類的感覺機制有關。

人類對空間的直覺認識主要建立在視覺信息的持續輸入之上。人類的視覺有一個現象叫做視覺暫留：

「物體在快速運動時，當人眼所看到的影像消失後，人眼仍能繼續保留其影像，約0.1-0.4秒左右的圖像，這種現象被稱為視覺暫留現象。人眼觀看物體時，成像於視網膜上，並由視神經輸入人腦，感覺到物體的像，但當物體移去時，視神經對物體的印象不會立即消失，而要延續0.1-0.4秒的時間，人眼的這種性質被稱為「眼睛的視覺暫留」。」（引自中文維基百科）

對人腦來說，周圍環境的視覺信息是一系列接連出現的靜態畫面。因此對人類來說，對空間的最直觀感覺是一系列事件的位置。速度（動量）的信息則是來源於人腦對位置差與時間差的分析，已經是「第二手」的信息了。

所以對位置的感知比對速度（動量）的感知更直觀。我覺得這也就是為什麼人類對空間的直觀感知是建立在實空間而不是動量空間的原因之一。

長文預警！！！

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我表達一下對「是什麼導致這兩個對偶空間的地位如此懸殊呢？」的看法。

我希望在量子力學和理論力學的框架內解釋這個問題，我假設讀者已經足夠熟悉量子力學和理論力學。對於更深層次的，從微分幾何的理論來看@Minglei Xiao回答的很到位了。

這個問題問得非常好，直擊理論力學和量子力學的要害。實際上，我打算把這個問題分為2個問題解釋。實際上，接下來我會說明，這種對偶更多的只是數學上對稱性的表象，他們依賴於更深刻的物理背景，然而，也正是這個物理背景決定了他們不可能是同等地位的。實際上，動量和坐標不是同等地位這是毫無疑問的。

1：為什麼廣義動量空間和廣義坐標空間有這種優美的對偶？

2：為什麼在量子力學中，會有動量表象空間和坐標表象空間互成傅里葉變換這麼優美的結論？

關於問題1， @Minglei Xiao 解釋得很深刻，比我想說得透徹得多，畢竟我學識尚淺，但是我還想談一下我的看法：拉格朗日方程是一個二階微分方程，我們可以對其做Legendre變換將其變成一個非常對稱的形式，這個並非是一個純粹的數學巧合。我談一談我所理解的內在物理背景：

鑒於我們有H-J方程這一工具，我們下面只考慮拉格朗日量和哈密頓量不含時的情況。

我們知道， $Ldt$ 就是 $dt$ 時間裡的作用量，如果我們引入Legendre變換： $L=p_i dot{q_i} -H$ 那麼 $Ldt$ 就可以被寫成： $p_idq_i -Hdt$ 。而 $H$ 是運動積分，在等時變換中的效應為0，所以作用量可以被寫作 $p_idq_i$ 。

——這形式，是不是很像黎曼積分？。。。但實際上真正深刻的內涵實在辛幾何下給出的：

這一條是辛幾何的結果：如果在 $(p_i,q_i)$ 空間中任意給定一個函數 $H$ ——這是一個標量場，注意，不一定是Hamilton函數。它在空間的「梯度」中對應的「矢量場"利用餘切叢和切叢的自然同構給出(其實就是勒讓德變換)。

$dot{p}=- frac{partial H}{partial q}$ 和 $dot{q}=frac{partial H}{partial p}$ 這個就是Hamilton方程，或者說，具有Hamilton方程的形式。

可以看出，辛流形上什麼函數都會有這個性質，然而這個方程只是數學語言自然給出的矢量場，並沒有辦法證明它是真實的運動方程。

實際上，可以嚴格證明：只有沿著這個矢量場運動， $H$ 才可以是運動積分，與此同時， $dp_iwedge dq_i$ 是積分不變數。沿著這個切叢運動其實也等價於承認Liouville定理，這些都是認同數學結構所必須的物理內涵，正是因為有這些物理內涵才決定了這個矢量場是運動微分方程的線素場。而不是辛流行上自帶的結構。

證明略，詳見Arnold所著的《經典力學的數學方法》

關於問題2：為什麼是傅里葉變換，這個實際上是有很深刻的量子力學背景在裡面的。具體來說，就是Feynman的運動積分理論使然。

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補充一個類比:

學過光學的都應該對惠更斯原理有所了解。球面波的相位部分就是ikr。（要知道，這個和定態的自由粒子的球面波方程完全一樣！！！）路徑積分的數學結構和這個是完全類似的！但是不妨構想一下。粒子並非直線飛過去，而是「漫無目的地飄過去」的。

這種情況下，p和r之間的關係會是什麼？

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下面給出Feynman所著的《路徑積分》中的推導。

...我們必須知道從a到b的過程中，每個軌道對總幾率幅的貢獻為多少....所有的路徑對總幾率幅度都是用貢獻的....

這個過程中的傳播子： $K(b,a)=int_{a}^{b} exp(2pi iS[b,a]/h)[Dx(t)]$ 其中 $[Dx(t)]$ 表示對所有可能的路徑求和。

粒子在t=T內運動到x點的幾率幅為： $psi (x,T)=int_{-infty }^{+infty} K_0(x,T;y,0)f(y)dy$
代入自由粒子傳播子，積分（計算過程略）
我們可以得到 $phi(p)=int_{-infty}^{+infty} exp(-2pi ipy/h) f(y)dy$

推廣到三位空間 $phi( extbf{p})=int^{r} exp[(-frac{i}{hbar})( extbf{p}cdot extbf{r}) f(r)d^3 extbf{r}]$

這就是我們所熟知的坐標表象空間和動量表象空間的傅里葉變換公式。

綜上所述，實際上，互為傅里葉變換是量子力學的深刻特性使然，並非理論力學中兩空間的對偶。理論力學中固然有等價性，可是也有人認為q和p的變分不獨立——最著名的當屬吳大猷老先生，這部分是否存有爭議我無資格評論。

總之，動量空間和坐標空間之間的差異是巨大的，決不能因為數學形式上稍有相似就混淆物理內涵

因為絕大多數情況下波包的尺度遠小於人的尺度啊。

設想你現在用收音機聽廣播，突然出現了雜音，你的第一反應肯定是調一調頻率或者給天線轉一個方向，而不是給收音機挪一個位置。（就算挪位置也是因為哪個方向被障礙物擋住了）這不就是以動量空間為基礎的例子嗎？這裡電台信號的波包長度就遠遠大於人的尺度了。

記得小學課文里學過，青蛙對靜態的物體沒有響應，而對運動的物體有響應，這就是一個在動量空間識別運動模式的例子。所以我們之所以不習慣在動量空間識別物體運動，是因為經驗不足而已。

啊，你讓剩下的那無窮多組正則坐標和正則動量情何以堪

與其問為什麼這兩個空間差別如此懸殊不如問為何它們自己如此特殊

這就是理論與實際情況的差距，理論總要領先實操的，對偶問題應用於物理，一般表徵其中的相似性，並不代表完全等價，而且量子力學中經常出現一些悖論，和普物解釋完全相反，這些結論都是得建立在一個前提下的，具體問題具體分析。

並且在實際的分析情況下，大多數是從已知情況來分析的，很多大膽的猜想是需要一閃而逝的靈感的，例如，化學中苯環，首尾相連，當時很多人都沒有想到的，並且人所處在的空間和動量空間之間肯定是有一定聯繫的，但是這不能說明完全一致，這就是人類認知方面的不足，生活的維度決定了我們眼界範圍。當然，科技手段可以更好的幫助我們去觀測到很多我們看不到的現象，但是這得付出很大的精力來將一些理論賦予實踐

我們不知道。有人在思考這個問題，不過它好像還沒有一個統一的名字……

Max Tegmark 在 Consciousness as a State of Matter 這篇文章（他把這個問題叫做 quantum factorization problem）嘗試解決這個問題，不過似乎還沒有成功

對偶畢竟不是等價啊。能量動量守恆但時空平移不變啊！一個東西你花時間平移一下，你還認為是一個東西。光能量移動下，你就未必覺得這是一個東西了～這就像一首歌，你把歌延時，你還會覺得是一首曲歌，但頻率平移1000赫茲，你就會覺得這歌有問題了。

可能我們的視覺聽覺更好地感知到位置吧速度動量不太好感知

新世界的大門向你開啟

我之前看到知乎上的一個經典回答。問的是為什麼人類無法理解四維空間。首先你先想像一隻綠顏色的狗，顯然這種顏色的狗是不存在的，但是你可以腦補出綠顏色的狗是什麼樣的，因為你知道綠色是什麼顏色，其次你知道狗張什麼樣，所以你可以想像出來。但是這兩個條件中的任何一個你不知道，你是腦補不出這個畫面的。這就是為什麼我們無法理解的原因。

動量空間的人也是如此

因為它只能出現在坐標上

先自問自答拋磚引玉一下：

我是在思考為什麼許多哈密頓量（相互作用）都是定義在實空間局域的而在動量空間無限制的。轉而感覺這個應該和我們平時為什麼只能感覺到實空間有關，但不清楚它們之間誰是因誰是果。

不過也肯能是由於其他原因，總之提個開腦洞的問題大家討論下～