如何用量子力學的語言嚴謹地描述等概率原理？

01-05

題主發現作為量子統計最根本的假設，等概率原理在各教材中的描述都略有差別，並且經常帶有類似＂各種狀態＂這些含混的詞語。因此希望有一個毫不含糊的，不帶任何經典殘留的方式，來嚴格地表述等概率原理。
主要注意這些方面：

如果用密度矩陣表示混合態，那麼參與態的組合有多種選擇方式。
微觀狀態中如何處理連續譜的問題。
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大家好像覺得這個問題目的不明確，不知從何說起，那就把一個多半是錯了的理解放在這裡，大家可以具體談談哪裡錯了，在這個框架下怎麼說才是對的：
一個微正則系綜由一個混合態描述，這個混合態中的每一個參與態都具有確定的能量E，因此所有參與態都是具有本徵值E的能量本徵態。總能量作為觀測量有相當大的簡併度，具有本徵值E的所有態矢量構成了一個希爾伯特子空間，而這個子空間的每一個元素都作為混合態的參與態，並且具有同樣的係數（概率）。因此如果先不考慮連續譜等因素，把子空間元素個數認為是有限的，那麼系綜的密度算符寫成：
∑|φ&>P&<φ| 其中∑表示對子空間中所有態矢量求和，P是子空間元素的個數的倒數。

樓主的這個問題大致可以分成兩個部分來回答：

（1）對於經典系統以及量子系統，如何來表示系統的一個微觀狀態；

（2）在什麼情況下，系統的微觀狀態是等幾率分布的。

首先回答第一部分。

對於經典系統，根據哈密頓力學，具有 $N$ 個自由度的系統滿足 $N$ 組正則運動方程，於是由微分方程解的存在性和唯一性，我們只需知道 $N$ 個廣義動量和 $N$ 個廣義坐標的初始值，即可確定系統的一個解，亦即確定了系統的一個微觀狀態。因此，我們可以用廣義動量和廣義坐標的笛卡爾積來標記系統的微觀狀態，此即統計物理中所謂的「相空間」。

對於量子系統，系統的廣義動量和廣義坐標不再是數而是算符，根據正則量子化條件，它們不具有共同的本徵態，因此這時如果仍然使用廣義動量和廣義坐標的笛卡爾積來表徵相空間，相空間中的點將會失去物理意義。很多教材中使用了一種argument，即這時可以認為相空間中一個大小為 $h^{N}$ 的體積元表徵了系統的一個微觀狀態，其中 $h$ 為普朗克常量， $N$ 為系統的自由度數。這顯然只是一種argument罷了。其實，對於如何標記量子系統微觀狀態的問題，量子力學本身就給出了回答。量子力學用希爾伯特空間中的一個矢量來描述系統的狀態，相應的相空間可由一組完備的量子數的笛卡爾積來描述。

以一個無自旋的自由粒子為例，經典力學中，需要知道該粒子的初始位置（廣義坐標）和初始動量（廣義動量）才能確定其狀態，而量子力學中，只需知道該粒子的動量就可以確定其狀態了。

然後是第二部分。

有了第一部分做基礎，這一部分的回答其實就很簡單了，即微正則系綜的所有微觀狀態等幾率分布。物理上，微正則系綜描述的是一個孤立系統，具有確定的能量、粒子數和體積。不論是經典系統還是量子系統，只要它是一個孤立的體系，由微正則系綜來描述，其微觀狀態的分布就滿足等概率原理。

PS1. 密度矩陣是描述系綜的數學工具，採用何種表象，或者說採用哪一組完備的基矢來表示它，並不影響最後的結果。不同的表象之間只是相差一個幺正變換。

PS2. 從實用主義角度而不是數學嚴謹性來看，連續譜主要影響的是密度矩陣的歸一化問題。分立譜採用概率，統計平均用求和，連續譜採用概率分布，統計平均用積分即可。

1.單位陣在幺正變換下不變

2.統計力學僅處理平衡態，對應的微觀態只能是束縛態，自然沒有連續態一說